Appunti di Tecnica delle costruzioni

05/11 – I GUSCI

Si prende una generica superficie di rivoluzione, ottenuta considerando una generica curva meridiana e

facendola ruotare di 360° (2π) attorno ad un asse di rivoluzione; la superficie di rivoluzione nel complesso si

considera equilibrata rispetto alle generiche azioni esterne, che come già detto rispettano anch’esse l’assial

simmetria coì come la geometria.

Sulla superficie complessivamente in equilibrio si vanno a prendere due meridiani tra loro infinitamente

vicini, ovvero separati da un angolo infinitesimale dΨ, ma si vanno a prendere anche due paralleli

infinitamente vicini tra di loro e quindi separati da un angolo infinitesimale dθ. In questo modo è stato

individuato un elementino della superficie di estensione infinitesimale e siccome l’intero guscio è in equilibrio

sotto l’azione delle forze esterne, si estrae questo elementino di vertici: a, b, c e d.

Estraendo l’elementino da un sistema nel

complesso equilibrato, anche il singolo

elementino deve continuare ad essere

equilibrato e per fare questo sulle superfici

laterali dell’elementino si dovrà andare

abcd

dθ ad applicare le sollecitazioni interne che lo

mantengono in equilibrio.

Andando a vedere da più vicino l’elementino:

Le dimensioni dell’oggetto sono infinitesimali come già visto, quindi la prima

ipotesi che si avanza è che il segmento sia circa uguale a perché pur non

ab cd,

essendo perfettamente uguali la loro variazione di lunghezza è un infinitesimo di

ordine superiore.

e sono dei tratti del parallelo, quindi si deve ragionare sul parallelo per

ab cd

valutare quanto sono grandi; la curvatura Ry, come visto in precedenza, aveva

raggio di curvatura sull’asse di rivoluzione, per cui:

b a Siccome la superficie è stata sezionata con due paralleli allora in pianta il segmento è

ab

r un arco di circonferenza, per cui se si conosce l’apertura dΨ e il raggio r, il calcolo è

dΨ immediato.

Nel calcolare la lunghezza dei tratti e non si fa alcuna approssimazione perché i due segmenti sono

ac bd

esattamente coincidenti visto che essendo la superficie assial simmetrica, tutti i meridiani sono coincidenti e

quindi se si prendono due tratti di due meridiani adiacenti, intersecati dagli stessi paralleli, i due archi di

meridiano sono coincidenti e quindi la loro lunghezza è esattamente la medesima.

In generale il punto Ox generalmente è in un punto

che non si sa bene come individuare, esterno rispetto

all’asse. Siccome ci si sta spostando lungo il

meridiano di una quantità infinitesima l’angolo al

centro è dθ e quindi la lunghezza dell’arco di

meridiano è data dall’angolo al centro per il raggio di

curvatura Rx nell’intorno del punto: 1

In questo modo è stato possibile definire la lunghezza dei quattro lati dell’elementino infinitesimo, ma si deve

ancora capire però quali sono le azioni che si esplicitano lungo queste quattro superfici laterali; in particolare

sono presenti azioni che appartengono a due famiglie distinte: la prima famiglia è l’analogo dello sforzo

assiale per gli elementi “asta” e sono azioni che vengono chiamate MEMBRANALI.

ha lo stesso significato visto nelle lastre, se la lettera

n

è piccola allora sono azioni per unità di lunghezza o di

larghezza più specificatamente, per cui non è una

n

forza ma è una forza per unità di larghezza.

Per esplicitare la forza occorre moltiplicare la forza per

unità di larghezza per la lunghezza del segmento di

nx

riferimento; partendo dal segmento sapendo che

cd,

vale Ry*dΨ*senθ, allora la componente di vale:

cd

Sulla faccia opposta ci sarà una componente analoga

ma non uguale, ovvero si avrà sempre un che però

nx,

non è più nello stesso punto perché ci si è spostati di

una quantità infinitesima, quindi si avrà nx + la sua

variazione prima e quindi nx + (dnx/dx)*dx. Questa

quantità dovrà essere moltiplicata nuovamente per la

lunghezza del lato in modo da ottenere:

ab,

Queste forze sono ortogonali alla superficie (spessore dell’elementino) con la quale è stato eseguito il taglio

per individuare l’elementino infinitesimo, quindi gli spessori delle due facce considerate hanno come

lungo le loro normali e

componenti di sollecitazione interna nx nx + la sua

A Siccome si chiamano sono componenti parallele alla

derivata prima. nx

direzione x nell’intorno del punto in cui si fa il taglio, per cui sono tangenti

al meridiano nel punto in cui si applicano.

Ma ci sono anche le componenti che emergono sulle altre due superfici infinitesime dell’elementino; che

sono dirette lungo Y, quindi le due componenti risultano essere tangenti all’asse Y, ovvero sono tangenti al

parallelo nel loro punto di applicazione.

Per questo motivo si chiameranno e siccome sono una forza per unità di larghezza, per trovare la

ny

componente occorre moltiplicare per la lunghezza di riferimento che è quella di o

ny ac bd.

Così facendo si ottiene il valore della prima componente, quella che agisce sul lato bd:

Sulla base di tutto quello che è stato detto l’altra forza è esattamente uguale alla precedente, perché il

sistema ha simmetria radiale e quindi la forza che emerge da una parte dovrà emergere uguale e contraria

dall’altra parte per rispettare la simmetria radiale. Non solo la geometria la rispetta ma anche le azioni la

rispettano e quindi produrranno componenti di azioni interna rispettose di questo tipo di simmetria.

In definitiva, queste sono le quattro componenti relative alle quattro superfici ottenute tagliando ed

estraendo l’elementino; ognuna di queste componenti è tangente o ai meridiani (nx) o ai paralleli (ny). Da

questo punto di vista sono analoghe a quanto si può vedere per lo sforzo assiale nelle aste (travi), nelle quali

n è la componente di azione interna tangente e quindi parallela all’asse longitudinale dell’asta stessa.

Siccome l’elemento è superficiale non esiste un asse ma si ha un piano medio (come nelle lastre), che è posto

a metà dello spessore, soltanto che non è più un piano posto su tutta la superficie ma è riferito soltanto

all’intorno del punto A, ovvero il piano tangente alla superficie in A, e le componenti e appartengono

nx ny

proprio a questo piano tangente. 2

Se il sistema fosse in equilibrio solo con le componenti e si avrebbe un regime membranale, che ricorda

nx ny,

lontanamente ciò che si può presentare nei sistemi reticolari, i quali sono molto efficienti dal punto di vista

meccanico e statico.

Anche in questo caso se si riesce a coinvolgere solo il regime membranale si sviluppa una grande efficienza

meccanica; ma non c’è solo questo tipo di componenti, infatti ce ne sono anche delle altre che appartengono

al regime FLESSIONALE, così come nelle travi non c’è solo lo sforzo assiale ma in generale ci sono anche taglio

e momento. Sullo stesso elementino visto in precedenza si va a descrivere il regime flessionale:

Partendo dalle superfici (lunghezza del segmento

infinitesimo per lo spessore del guscio) ortogonali

al meridiano e in si ha una possibile

ab cd: cd

componente di momento che tende le fibre lungo

il meridiano, o per meglio dire le fibre nel punto A

tangenti al meridiano; per cui prenderà il nome di

Però questa non è una coppia perché la si deve

mx.

ancora moltiplicare per la lunghezza del segmento

Ry*dΨ*senθ calcolata prima, ottenendo:

cd

Dall’altra parte si ha ancora mx, ma non solo,

perché lungo il meridiano mx può variare in

generale, per cui spostandosi da a si ha una

cd ab

variazione, per cui la componente è data da mx +

la sua variazione prima lungo x, tutto quanto

moltiplicato per la lunghezza del lato quindi:

ab,

Se adesso si guardano gli altri due lati si potranno avere dei possibili momenti flettenti, i quali tenderanno a

sollecitare le fibre le fibre parallele al parallelo, per cui queste componenti prenderanno in nome di La

my.

componente di destra è coincidente con quella di sinistra per via della simmetria e in particolare le due sono

uguali ma di segno opposto per rispettare l’equilibrio.

Nel lato la componente è data da per la lunghezza del lato che è Rx*dθ, così come anche nel lato

my

ac

opposto il generico valore della componente flessionale è lo stesso:

bd

(I 2 my sebbene siano uguali non si annullano ma esistono e nell’equilibrio la loro somma è 0 per simmetria).

Queste sono le quattro componenti di momento che in generale si possono manifestare alle estremità

dell’elementino in equilibrio; ma ciò non basta perché non sono state messe ancora in luce le possibili

componenti di taglio.

Cominciando come prima dal lato la componente di taglio è tangente alla superficie di taglio, oppure in

cd,

altri termini questa componente di forza è ortogonale al meridiano nel punto in cui emerge. Siccome è

ortogonale alla direzione x prende il nome di e per farla diventare una forza la si deve moltiplicare per la

tx

lunghezza del segmento in modo da ottenere:

cd

Questa però non basta perché esiste una componente anche dall’altra parte, diretta nel verso opposto

rispetto alla precedente e analogamente a quanto descritto prima si può definire il valore di tale componente

come tx + la sua variazione prima rispetto ad x, tutto moltiplicato per la lunghezza del segmento ab:

Negli altri due lati non si hanno componenti di taglio, per cui le non ci sono nel rispetto della simmetria

ty

radiale; la componenti di taglio è solo la che è variabile lungo il parallelo a seconda delle azioni applicate.

tx 3

Tutte queste componenti appena individuate sono quelle che caratterizzano il regime flessionale. In generale

per carichi assialmente simmetrici ma di distribuzione generale i due regimi di sollecitazione visti finora,

membranale e flessionale, convivono.

Adesso è necessario affrontare per primo il regime membranale da un punto di vista quantitativo, andando

a capire quanto valgono le componenti individuate prima e come si possono legare alle azioni esterne.

Si prende una generica

porzione di guscio, di

meridiano qualsiasi, e si

immagina di tagliare il

guscio con un parallelo ad

una certa altezza,

caratterizzata dall’angolo θ.

Su questa porzione di guscio

si suppone che sussista una

distribuzione di carico che

rispetta la assial simmetria,

siccome il taglio è stato fatto

con un piano meridiano ciò

che sta a sinistra dell’asse è

simmetrico rispetto a ciò

che sta a destra dell’asse.

Nelle sezioni in cui è stato tagliato il guscio emergeranno le componenti rappresentate in figura, mentre

nx

le componenti non possono essere disegnate perché hanno direzione uscente dal piano (foglio), quindi

ny

per discutere l’equilibrio di questo piano meridiano ny non può essere coinvolto.

È possibile individuare la risultante verticale delle forze distribuite lungo la porzione di guscio considerata e

la si chiama ; rappresenta la forza che raccoglie tutte le componenti verticali del carico distribuito lungo

Q

θ

l’intera porzione di guscio.

Per valutare l’equilibrio nella direzione verticale occorre sommare anche le componenti verticali di che

nx,

però NON sono forze ma sono forze per unità di lunghezza e rappresentano una DISTRIBUZIONE DI

COMPONENTI LUNGO TUTTA LA CIRCONFERENZA DEL PARALLELO. Per ricavare le componenti verticali si

deve proiettare nx lungo la verticale e dopo aver individuato la posizione dell’angolo θ secondo il criterio

delle rette ortogonali che si intersecano, si nota che sta nel vertice basso del triangolo, per cui essendo

l’angolo opposto alla componente da trovare si usa il seno: nx senθ

A questo punto si può scrivere l’equazione di equilibrio:

Entrambi i termini hanno segno positivo perché hanno verso concorde; la componente di nx com’era scritta

prima non è ancora una forza ma solo una forza per unità di lunghezza, per cui occorre moltiplicare tale

componente per la lunghezza di riferimento, la quale non è altro che la circonferenza del parallelo (2π*r) con

cui è stato tagliato il guscio, in base a quanto visto in precedenza si ha che .

La somma deve essere posta uguale a 0; siccome l’unica incognita dell’equazione è può essere esplicitata:

nx,

In questo modo si è ottenuta una prima espressione che può fornire il valore di in un qualsiasi punto del

nx

guscio, una volta nota la risultante delle forze dirette lungo l’asse di assial simmetria (in questo caso verticali).

è una semplice costante; lo si può individuare esattamente come θ.

2π Ry sen 2 4

Quanto visto finora rappresenta soltanto una relazione biunivoca tra e ma ciò non è sufficiente perché

Q nx,

θ

in questa espressione non figura.

ny

Per ottenere si deve discutere un altro equilibrio, in particolare l’equilibrio dell’elementino individuato in

ny

precedenza, andando a discutere l’equilibrio delle forze in direzione Z, cioè lungo la direzione ortogonale al

piano tangente (XY) al guscio nel punto A. .

Nell’elementino vengono riportate le componenti e ma si ha anche p

nx ny, z

Siccome si ha un’estensione, per quanto piccola sia, le quattro azioni interne

hanno una componente lungo z.

Ora si procede a sezionare l’elementino prima con un piano meridiano e poi

anche con un piano parallelo, in modo da ragionare nell’ottica dell’equilibrio

delle forze nella direzione Z.

Partendo dalla sezione meridiana, si immagina di tagliare il meridiano lungo un

e se ne considera una porzione infinitesima, di lunghezza pari

piano meridiano

ai lati e dell’elementino:

ac bd

In questo caso si è interessati a valutare le componenti delle due azioni riportate nel disegno in direzione Z.

L’angolo al centro è (visto che la sezione è verticale) e siccome si devono proiettare le due componenti

dθ nx

e nx + la sua derivata prima lungo x (entrambe moltiplicate per ) lungo Z bisogna fare attenzione

al fatto che esiste un angolo relativo tra l’asse Z e il raggio Rx, per cui nx è ortogonale al raggio e non a Z e

tale angolo relativo è pari a dθ/2.

Tracciando la parallela a Z si vuole individuare il valore delle componenti lungo Z; semplicemente si può

notare che si è formato un triangolo rettangolo, di cui si conosce l’ipotenusa e che nel vertice esterno avrà

come angolo l’angolo relativo dθ/2.

Noti questi due valori è possibile ottenere anche il cateto a cui si è interessati, infatti basta moltiplicare la

componente (ipotenusa) per il seno dell’angolo dθ/2; ma dθ/2 è un angolo infinitesimo per

nx*Ry dΨ senθ

cui è lecito confondere il seno dell’angolo con l’angolo stesso. Così è possibile definire il valore della

componente lungo Z: 2

Lo stesso identico ragionamento può essere applicato anche per definire la componente superiore:

2 5

Però in questa scrittura si presenta un infinitesimo di ordine superiore, dato dal prodotto tra due quantità

infinitesimali, quindi per semplicità si può considerare trascurabile il secondo contributo; ecco che allora nella

parte superiore rimane la stessa espressione vista per la parte inferiore, con la sola componente nx:

2

Essendo ormai note tutte le componenti lungo Z, a questo punto è possibile scrivere l’equazione di equilibrio

andando a sommare i contributi delle in direzione Z su questo piano meridiano:

nx

Questo contributo è la componente generata da sull’elementino lungo la direzione Z, ma non è l’unica.

nx

Adesso occorre fare un discorso analogo, però questa volta tagliando il guscio con un in modo

piano parallelo

da ottenere una circonferenza in pianta (quella del parallelo); se se ne considera soltanto una porzione

infinitesima, lunga quanto la base dell’elementino e caratterizzata da un’apertura angolare che vale dΨ, si

ricava:

Ora non si vogliono più fare emergere gli nx ma piuttosto gli i quali però non sono ortogonali all’asse Z

ny,

per le stesse ragioni di prima, per cui siccome si è interessati a capire la proiezione lungo Z dei due ny uguali

tra loro. Per trovare le loro proiezioni lungo Z si può ragionare come è già stato fatto, in modo da ottenere:

2

In realtà l’asse Z non appartiene al piano parallelo, perché nel piano parallelo ci sta l’asse

Y, quindi l’asse Z disegnato in figura è soltanto la proiezione dell’asse Z sul piano parallelo,

per cui anche le componenti che si stanno discutendo sono parallele alla proiezione di Z

sul piano parallelo.

Per cui adesso è facile riuscire a capire il valore delle due componenti, infatti la somma delle due ny*dΨ/2

dovrà essere moltiplicata per la lunghezza del segmento di riferimento, o che è Rx dθ:

ac bd,

Attenzione, perché fermarsi a questo punto significherebbe dire che la seconda componente appena ricavata

lavora sul piano parallelo, però questo non è sufficienti perché si è interessati alla seconda componente lungo

Z per cui dovrà essere proiettata lungo tale direzione. 6

Quindi, si deve trovare il cateto relativo all’asse Z conoscendo l’ipotenusa

(componente appena ricavata) e l’angolo opposto θ; per farlo basta moltiplicare

l’ipotenusa per il seno dell&rsqu