Statica - Appunti primi due parziali

Sistemi di Forze

• Unità di misura del peso: 1KN = 100kg
• e_y = 5÷10m

La forza è causa atta a produrre una variazione dello stato di quiete (o moto) di un corpo, oppure a deformarlo.

• La forza (F) ha:
  • Intensità
  • Direzione, formata da:
    • Retta di applicazione
    • Verso

per dire che il segmento rappresentato è proporzionale all'intensità della forza devo dare un'unità: 10 kn

Scomposizione delle forze

Intensità F = 10 kn

F_xx = F cos 30 ° = 5√3

F_y = F sin 30° = 5

Intensità F = 20 kn

F_xx = F cos 45°

F_y = F sin 45°

C_y = 200 kn

C_x = 0

Somma di forze - Calcolo della risultante (R) di un sistema di forze

Risultante: è forza il cui effetto è pari a quello di tutti gli addendi

Due sistemi di forze con stessa R si dicono staticamente equivalenti

• Postulato dello scorrimento: i segmenti possono scorrere lungo le rette di azione (vale per la somma di forze e per l'equilibrio dei corpi rigidi)

Sistemi di Forze

Forza è causa atta a produrre una variazione dello stato di quiete (o moto) di un corpo, oppure a deformarlo.

• La forza (F) ha:
  • Intensità
  • Direzione, formata da:
    • Retta di applicazione
    • Verso

Per dire che il segmento rappresentato è proporzionale all'intensità della forza, devo dare un'unità.

Scomposizione delle Forze

F = 10 kN

F_x = F · cos30° = 5√3F_y = F · sin30° = 5

F = 20 kN

F_x = F · cos45°F_y = F · sin45°

F = 20 kN

F_x = F · cos45° = 10√2F_y = F · sin45° = 10√2

G_y = 200 kNG_x = 0

Somma di Forze

Calcolo della risultante (R) di un sistema di forze

Risultante = Forza il cui effetto è pari a quello di tutti gli addendi.

Due sistemi di forze con stessa R si dicono staticamente equivalenti.

Postulato dello scorrimento: I segmenti possono scorrere lungo le rette d'azione (vale per la somma di forze e per l'equilibrio dei corpi rigidi).

Metodo grafico - regola del parallelogramma

es

R = F₁ + F₂ = F_t

Metodo analitico - metodo punto coda

es

F₁ → F₂ g₂: 0°F_Ax = 80 · cos60° = 40 kNF_Ay = 80 · sin60° = 40√3 kN

F_2x = F₂F_2y = 0

R = √(R_x² + R_y²)tanα = R_y / R_x = 0,76cosαα = atan(tanα) = tan^-1(0,76) ≅ 37°

Momento (M = F · b)

(kN·m) → intensità del M

H positivo → verso di HH negativo

Retta di azione di M (perpendicolare al piano)

Momento: tendenza di rotazione da coppia impresa dalle forze

Teorema di Varignon: Dato un sistema di F parallele, il M della

R è pari alla somma dei momenti delle F

es

M_tot = M₁ + M₂ + M₃ = F₁ · y₁ − F₂ · y₂ + F₃ · y₃ = Σ F_i · b

R = F₁ + F₂ + F₃ = R_xM_R = R · y_R = M_tot = -F₁y₁ - F₂y₂ - F₃y₃

se M_R < 0 → se M_R > 0 →

y_R = |M_R| / |R| (m)

EQUILIBRIO DEL CORPO RIGIDO

• CORPO RIGIDO = CORPO TALE CHE LA DISTANZA TRA I SUOI PUNTI NON CAMBIA & SE GIUNGOLO TRA LE RETTE DEL CODA NON CAMBIA
• I CORPI HANNO 3 GRADI, DI LIBERTÀ:
  • TRASLAZIONE ORIZ
  • TRASLAZIONE VERT
  • ROTAZIONE
• EQUILIBRIO (E) = STUDIO DI UN SISTEMA DI FORZE DI REAZIONE CHE IMPIODISCO IL MOVIMENTO DEL CORPO (REAZIONI VINCOLARE)
• VINCOLI
  • INCASTRO 3GDV
  • CERNIERA 2GDV (ν=0)
  • CARELO 1GDV (ν=0)
  • PUNTONE 1GDV
  • FUNE 1GDV
• REAZIONI VINCOLARE = FORZE E MOMENTI GENERATI DAI VINCOLI PER DARE EQUILIBRIO AL CORPO
• EQUAZIONI CARDINALI DELL’EQUILIBRIO
  • ΣF_x = 0
  • ΣF_y = 0
  • ΣM = 0

Appendici - Sistemi di forze

• Coppa di forze parallele opposte

  • R è nulla perchè ΣFx = 0

  • M = F·d

Scelgo (+)

ΣM = F·_d/2 + F·_d/2 = Fd

Con (+)

ΣM = -F·c + F(c + d) = Fd

• Cambiando il punto il M non cambia perchè R = 0

• Forze per unità di lunghezza - carichi distribuiti

  • y = peso specifico materiale (kN/m³)

  • V_e = b·h·1

  • G = y·V

Peso per unità di lunghezza

q = ^G/₁ (kN/m)

G è la R del volume quindi R_tot = y·L e agisce esattamente al centro

Calcolo reazioni vincolo

Verificato

H_A = 0

V_A - (q·L) = 0

M_A + R = 0 (ΣF_x = 0)

H_A = 0

V_A = qL

M_A = ^qL/₂

Calcolo rispetto al C

Verifica:

qL

ΣF_x = 0

ΣF_y = 0

ΣM(0) = 0

R = μ - 2L

es

H_A = 0V_A = 2μL - L - T_D = 0T_D - μL * 0 - 2μL * 1/2 = 0

→

H_A = 0V_A = 2μL + T_DT_D = 2μL

→

H_A = 0V_A = 2μL + 2μL = 4μLT_D = 2μL

Verifica

ΣF_X = 0ΣF_Y = 0ΣM₍₀₎ = 0

Esercizi

es

F₂

R⃗ = F⃗ + F₁

es

F₂ = 100kN3F₂/4 = 150kN

→ F⃗₂ = F

a = 1,5m4a = 6m

Scomporre

F₁

→

H_A = F₂V_A = ...

Risultante dei carichi

d_Ry(a) = (ΣM(a)) / |R_y| = ...

→ 0,682 d_A

RISULTANTE DELLE REAZIONI VINCOLARI = F

EX1 = H1 = F₂

EY1 = V - √3/2 + F

Non conoscendo la retta di azione di H1 e momento (calcolo con VA GANCI)

dE = (a)

√3/4 = F₂ + F/2

a = 1,16,a

Es

H_A = F₂ = 0

Es

H_A + F = 0

V_A - V_B - 2F = 0

Pert avere equilibrio R ed E dovrebbero essere sulla stessa retta

|e_y| = |Ry| = √3/2 + F

|ex| = |ex| = F/2

Conoscendo avevo le componenti correlate anche la stessa inclinazione

tanθ_R = |Ry|/|Rx|

tanθ_e = |ey|/|ex|

Facendo qualche verifica grafica

Se tanα = tanαR - tanαC tanα = Δy/Δx

dV(π/2)

2√3} + 3

de_Y-Δ'| ^d_ex

a - dR + Y ^sup>

Equilibrio di un sistema di corpi

Un sistema è in equilibrio se sono in equilibrio le sue parti ovunque considerate sotto l'effetto di tutte le forze esterne agenti (reazioni vincolari e coesiti) e le forze interne.

1. Bisogna considerare le continuità reattive tra due corpi. Tenzio priamo uno dei due corpi, come si può muovere la seconda parte?

   Azioni reazione uguale in C.

2. Cosa si sviluppa in B e C (reazione interna)?

3. Incognite 3, equazioni 3 per ogni corpo ed equazioni cardinali:

   • 1ª

   • V_C, V_D e H_D rispetto AC hanno braccio nullo

   • ΣM_(CC) = V_D * H_D * _° = 0 ➜ V_D = 0
   • ΣF_x = H_B - H_C = 0 ➜ H_C = 0
   • ΣF_y = -V_C + V_D = 0 ➜ V_D =
4. 2ª
• ΣM_(S) = V_D * H_B - W = 0 ➜ V_C * ⊢_° = 0
• ΣF_xx = H_B - W = 0 ➜ H_B = W^L/3
• ΣF_yx = -V_C + V_D = 0 ➜ V_C =
5. 3ª
• ΣM_(a) = V_D * H_B - M_a * L = 0
• ΣF_yx = V_A * L + ⊢_L/2 = 0 ➜ V_A * ⊢_L = L/6
• ΣF_xx = H_A + ⊢₁/3 = 0 ➜ ⊢₂ = W^L/4

VERIFICA ANALITICA SEMPLICE

TRASLAZIONI GLOBALI

ΣF_x^glo = 0 → → = 0 ✓

ΣF_{y 40} = 0 → → = 0 ✓

ΣM_(o)^o = 0 → → = 0 ✓

ESERCIZIO D'ESAME

⓵ R_x = → R_x = →

d_{r x} = → d_{e y} = →

IR = → α_R = arctg →

⓶ →

ΣM_bo - V_c → V_c =

ΣF_x^glo = 0 →

ΣM^glo(a) = 0 →

ΣF_{y 0} = 0 →

VERIFICA

ΣM_(o) = 0 → = 0 ✓

3.

E_x = -E_zE_y = 0dE_x = 0l_E = 1β_E = arc tg...

4.

tan a = ...i_o = tan Θ_α, tan Θ_ε

Azioni Interne

P d/studio la parte piu semplicePrincipio di azione-reazioneN: azione assialeV: azione di taglioM: momento

ΣF_y = 0 ⟹ V₂ = μxΣM(o) = 0 ⟹...Parabola...

Disegno Diagrammi

V = positivo perche V = ...

M = ...

...la scatola

Σ Fx=0 ⇒ Ha=0

Σ Fy=0 ⇒ Va=NL

Σ M(o)=0 ⇒ M_o=NL²/2

STUDIO 1-2 COMP

SEMPLIFICAMENTE

BC

Σ Fx=0 ⇒ 0=0

Σ Fy=0 ⇒ V=NK

Σ M(o)=0 ⇒ M_o=NLK/2

AB

Σ Fx=0 ⇒ V=0

Σ Fy=0 ⇒ N=-nk

Σ M(o)=0 ⇒ M_o=NL²/2

UNISCO:

FOCUS NODO:

x=0 V=o

x=l/2 V=-NL/2

x=0 H=0

x=l M=-pL²/2

V

M

M=p(1-x/l)

x²

x=0

V

M

x=0

x=b

V-PL/4 3PL/2R

M=PL²/2

AB

Σ Fx=0 ⇒ V=+

Σ Fy=0 ⇒ N=-3PL/2

Σ M(o)=0 ⇒ M=-PL²/32

x=0

M=0

x-0

LE CRENTURE HANNO SEMPRE M=0

(anche i carrelli)

BC

Σ Fx=0 ⇒ V

Σ_y =0 ⇒ 1

Σ M(o)=0 ⇒ M=-mL/32

x=0

V=

3PL/2

costante

N=PL/2

PARABOLA

x=b

M=-PL²/64

V:

x=b/2

x=l

M=-PL²/2

M=4PL

8PL

b=-3PL

ΣFx = 0

ΣFy = 0

ΣM(o) = 0

V = ⁻⁷/₃₂ pℓ

M = ⁻⁷/₃₂ pℓ²

V = pℓ

V = p(^{x + ℓ}/₂)

ΣFx = 0

ΣFy = 0

ΣM(0) = 0

N = -³/₈ pR

M = ⁻¹¹/₆₄ pℓ²

N = 0

M = ⁹/₆₄ pℓ²

x = l₂

M = 0

N = -³/₈ pR

N(x) = N₀⁻ρ

H = 0

V = ⁻¹/₂ pR

N = 0

E_y

Azione interna - Corso di trave

dM = V.dx

V.

b.

dB

as

V = -^dM/_dx

{ (-p(x)) ^dV/_dx → -p(x) = ^d/_dx (-^dM/_dx)→ -p(k) m^d2M/_dx² }ΣFx = 0 → -pV + dN=0 dN=0 → Volorizzare dN e v(a), quindi La funzione V è costante

es.

- Non c'è carico distribuito quindi p(x) = 0 sia in AC sia in BC, quindi ante ^dV/_dx = 0 quindi V costante in entrambi i campi - V costante significa che dM = costante quindi M lineare

- equilibrio:     V a sx : =      V a dx : =  

- intuizione

- M ≠ lineare

- carico è costante quindi M >

es.

- - -

-p dv/dx

- -

int.

- intuizione

CM

- intuizione:

siano ugual vece.sia   ΣFx >0 N=0

es.

   ΣFx >0   VCE=F  ΣM(C) VC .

BC

&

Azioni Interne - Schema Pensolare

AD e CF = Bielle = aste con cerniere agli estremi.

In questo caso i bielle sparre perché tra i

loro estremi non sono applicate cariche

dato che possono pensurare sono piuttosto

pensolano.

7 reazioni vincolari

∑(ccz) = 0 Hgz= 0 (Hg=0)

∑(ccv) = 0 Hg= l/2

∑fx=0 -> Hsc=l/2

∑fy=0 -> Vcd=l

∑fy=0 -> Vcd=3/2F

V=0

N=3/2F

Azioni Interne

V=0

N=3/2F

B=> ∑(fx=0) -> V=F/2

-> 4 Campi

∑ fx= Nn

∑ fx=xc

Tronco teso N=l/2

V F/2

N F

M F/4

Qualsiasi cinematica

Il numero di gradi di libertà (gdl) di un sistema è dato dal numero di corpi - 3

es.

• 1

2 aste

• gdl = 2 ⋅ 3 = 6
• gdlv = 2 + 1 + 3 = 6
• (n_o aste - 1) ⋅ 2 - 1 = 2

La cerniera ha 2 gdlv, se fosse stato un carrello sarebbe stato:

gdlv sarebbe stato in questo carrello

• gdl > gdlv → struttura isostatica
• gdl = gdlv → struttura iperstatica
• gdl < gdlv → struttura ipoisostatica

gdl = gdlv è una condizione di stabilità, ma non è sufficiente, bisogna verificare che i vincoli siano ben disposti

Centro di Istantanea Rotazione (CIR) = punto intorno il quale ruota un corpo

Arco a 3 cerniere non vincolate

I vincoli sono ben posti

Asta cerniera - carrello

Il CIR della cerniera non giace sul CIR del carrello, perciò i vincoli sono bene disposti

es.

I vincoli non sono disposti bene

Bielle

Il CIR della biella è assimilato a quello di un carrello

es.

• 4 aste
• 12 gde
• 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 = 12 gdv

Il CIR della biella 1 è assimilato a un carrello, le bielle 3 e 4 hanno un CIR che si incontrano in un punto e questo può essere trasformato in una cerniera fissa a terra

Bisogna sapere puntare dai vincoli a terra!!