Appunti di statica

TEORIA DEI VETTORI LIBERI

= 3i - 2j + k v = -i + 3j + 3k

• Controllare se u e v sono perpendicolari: uso il prodotto scalare. Se è nullo allora sono perpendicolari (cosᾶ). u ⋅ v = 3 ⋅ (-1) + 3 + 4 ≠ 0 => Non ortogonali
• Controllare se u e v sono paralleli: uso il prodotto vettoriale. Se è nullo allora sono paralleli (s/m).

  _{i      j     k}

   -3   -2    1

  -1     3     3

  = i 8 - 10 + 4+14 => No Paralleli
• Calcolare l'angolo che formano (ᾶ): uso il prodotto scalare: u ⋅ v = ∣u∣⋅ ∣v∣ cos ᾶ => cos ᾶ =^{u ⋅v}/_{∣u∣⋅∣v∣}=^-4/_{√14 ⋅ √14} =^{- 4}/₁₄

  ∣u∣ = √9+4+1 = √14

  ∣v∣ = √1+4+9 = √14

N.B. Per trovare l'angolo, svolgere l'arcos

Calcolo delle Grandezze Derivate ai Vettori Applicati

Indichiamo il vettore forza con f e voglio rappresentare l'effetto di f su un punto O che non appartiene al suo asse di direzione.

Questa operazione la faccio tramite il:

Prodotto vettoriale:

(P - O) ∧ f

O---P         distanza

---> Se aumento la distanza, mi servirà più forza

retta d'azione di f

Rappresento il vettore momento di f rispetto a un punto O:

m(O) = (P - O) ∧ f

So che |m(O)| è dato da |P - O| e |f| per il seno dell'angolo θ

Scrivere:

|m(O)| = |P - O| |f| sin(θ)

Posso far scorrere f lungo la sua retta d'azione, ma il suo effetto

Momento sarà sempre quello, cambierà solo la distanza (P - O) ma non

la distanza, la chiamerò braccio e avrò:

f.d

Avrò due scalari e il versore glie lo devo dare io.

             -              +

Condizioni di invarianza:

1) Il vettore f può scorrere lungo la propria retta d'azione senza creare disturbo;

2) Aggiungere o togliere coppia di vettori;

3) Composizione dei vettori secondo la somma;

4) Trovare le componenti del vettore somma;

Generalizziamo il discorso nel caso dei sistemi piani (insieme di rette o forze)

Vogliamo calcolare il punto R e il punto Ω => il punto in cui la risultante dei momenti si annulla e tutto il sistema può essere rappresentato da un'unica risultante

Il punto R si trova => Sommatoria dei vettori

Il punto Ω si trova => Scomponiamo i vari vettori in due componenti: verticale e orizzontale; Prendendo in considerazione solo le componenti in questo caso troverò due sistemi paralleli (uno verticale e uno orizzontale) e andrò a determinare l'asse centrale due volte, con la formula:

x = _ʸM_R e y = _ᵡM_R

Il punto di incontro di queste due assi centrali è il punto Omega Ω

Se ho una coppia di forze, cosa succede?

Sempre con x = _ʸM_R e y = _ᵡM_R

d = -l

=> La quantità con cui sposto f

La formula generale dello spostamento è molto simile a:

μ₀ := [μ(0) + (σ - σ')ᵀ λR]

ANCHO QUI POSSIAMO AVERE: σ'₀ => λI. DA S₂ - S₁ E QUINDI TUTTI I PUNTI DEL CORPO TRASLANO DELLA STESSA QUANTITA' ⇒ PURA TRASLAZIONE

σI - σ => μI. DA S₂ - (μ₀ + μ₃ (Pσ - Pμ)) ⇒ ROTAZIONE

Introduciamo il concetto di centro di rotazione, cioè il punto attorno al quale ruota tutto. Lo possiamo trovare tramite 2 vie:

1. Forma grafica;
2. Forma analitica;

Vediamo nello specifico la forma grafica:

La rotazione mi fa avvenire degli spostamenti ortogonali.

Centro di rotazione = Intersezione delle due rette ortogonali ai due rispettivi spostamenti. (Ruota solo, non si sposta)

Pongo u₁ = 0 e v₁ = 0 in quanto il centro di rotazione non si sposta e voglio calcolarne le coordinate. Parto sempre da:

(μ₁ = μ₁ₒ + φ (y₂ - y₁) ) (v₁ = v₁ₒ + φ (x₂ - x₁) => (μ₁ - μ₁ₒ) + φ (y₂ - y₁) = 0

• w₄ + φ (y₄ - y₁ₒ) = 0
• y₂ - y₄ = (μ₁ - μ₁ₒ)

(v₁ - v₁ₒ) + φ (x₂ - x₁) = 0

=>

• v₁ + φ (x₂ - x₁) = 0
• x₂ - x₁ₒ = (-v₁ / φ)

Le coordinate del centro di rotazione saranno:

y₂ = (μ₁ / φ) x₂ = (-v₁ / φ)

Il punto uno coincide con l'origine quindi è (0,0)

SOSTITUISCO Q_i:

w_i = ^S/_l (q₂ - x_p)

V_i = - ^S/_l (x₂ - x_p)

Q_p e X_p sono nulle perchè si trovano nel centro di rotazione

w_i = ^S/_l q₂

V_i = - ^S/_l x₂

⇒

{^S/_l h

V = - ^S/_l l

⇒ { w = S ^h/_l

    V = ± S

Principio dei Lavori Virtuali

Altro metodo per calcolare le reazioni, esso ci dice che il lavoro o le forze esterne è pari a zero dove il lavoro è il prodotto scalare tra forze e spostamenti.

L= F · S

Si dice, virtuali perchè la parte statica o la parte cinematica viene ipotizzata, consideriamo S o Q come virtuale.

Se vogliamo calcolare tutte e tre le reazioni vincolari in un corpo rigido, piano dobbiamo applicare tre volte il principio dei lavori virtuali.

Vediamo come si applica con un esempio:

L= F · S

Voglio calcolare le reazioni del carrello: tolgo il vincolo e metto solo la reazione e calcolo il lavoro; ora ho una struttura declassata e l’asta ruoterà per via della cerniera rimasta.

C. R. = A

• P
• A
• B
• R
• V_M

• V_B

Ricordiamo:

ω = ω0 - φ(y - y₀)

V = V₀ + φ(x - x₀)

ω = ω0

V = V₀

ω = φ · y

V = φ · x

Costruiamo il campo degli spostamenti: la proiezione sulla verticale è un punto quindi non ci sarà. La proiezione sull’orizzontale ci sarà e sarà ruotata con una rotazione positiva φ.

L = -P · V_M + R · V_B

Trovo V_M e V_B in funzione di φ.

V_M = φ · l/2

e V_B = φ · l

L = -P · φ · l/2 + R · φ · l

Tutto ciò dovrà essere nullo =>

R = P/2

Ripetiamo i calcoli

_P^A

_P^B

_P^B

_P^A

_l1→_l2

_N = 0

_T = P/2 - P/2 = 0

^P₂

_P²

_ll2 - _x2

Passiamo ora a disegnare i grafici:

Grafico N

⇒ Non ha grafico, è una linea

Grafico T

P/2

Grafico M

P₂⁴

NB: Il diagramma del momento va disegnato dal lato delle fibre tese.

Vediamo il caso delle sollecitazioni con carico uniformemente distribuito

^l==q/2

_N= 0

^{T0 = q/2 q* lO-2q0}

_μ 0

⇒ 0===q(2)

_N = 0

_T = _q⁼² = _qp ⁼²

^Pq_{l. O2}^{== q.l ml}

↳

M.x

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