Appunti di statica

Teoria dei vettori liberi

Controllare se e e v sono perpendicolari: uso il prodotto scalare. Se è nullo allora sono perpendicolari: (cosα) · v = -3 + 4 + 3 = 4 => no ortogonali.

Controllo parallellismo

Controllare se e e v sono paralleli: uso il prodotto vettoriale. Se è nullo allora sono paralleli:

(sinα) | i j k |
| 3 -2 1 | = 8 - 10 + 4 = 2ⁱ
| -1 1 3 |

=> no paralleli.

Calcolo dell'angolo

Calcolare l'angolo che formano (x): uso il prodotto scalare: · v = |u| |v| cosα = -4

= √14√14 √14|u| = √9 + 4 + 1 = √14|v| = √1 + 1 + 9 = √14

N.B. Per trovare l'angolo, svolgere l'arcos.

Teoria dei vettori liberi

=3i+2j+kv=-i+j+3k

Perpendicolarità

Controllare se u e v sono perpendicolari: uso il prodotto scalare. Se è nullo allora sono perpendicolari. (cosλ) · v=-3+4+3=4 ≠0 => No ortogonali.

Parallellismo

Controllare se u e v sono paralleli: uso il prodotto vettoriale. Se è nullo allora sono paralleli:

(senλ) i -5 k
3 -2 1 = 8-10+4 = 2+4 ≠ 0

=> No paralleli.

Calcolo dell'angolo

Calcolare l’angolo che formano (x): uso il prodotto scalare: · v= |u| |v| cosλ => cosλ = · v |u| |v| = -4 |u| = -4|u| |v| = √14 · √14|u| = √9+4+1 = √14|v| = √1+4+9 = √14

N.B. Per trovare l'angolo, svolgere l'arcoθ.

Calcolo delle grandezze derivate ai vettori applicati

Indichiamo il vettore forza con f e voglio rappresentare l’effetto di f su un punto O che non appartiene al suo asse di direzione. Questa operazione la faccio tramite il:

Prodotto vettoriale ⇒ (P-O) ∧ f=> Se aumento la distanza, mi servirà più forza

Rappresento il vettore momento di f rispetto a un punto O: m(O)=(P-O)∧f

So che |m(O)| è dato da |P-O| e |f| per il seno dell’angolo θ:

Scrivere: |m(O)|=|P-O| · f⊥ = |md⊥ | · sinθ

Posso far scorrere f lungo la sua retta d’azione ma il suo effetto momento sarà sempre quello, cambierà solo la distanza (P-O) ma non f. La distanza la chiamerò braccio e avrò:f⊥

Avrò due scalari e il versore glie lo devo dare io.

Applicazione con i vettori

6i = 3i + 2s P = (2,3) O = (0,0) l'unità di r = l'unità di P

Calcolo il prodotto vettoriale tramite la matrice simbolica:

• Prima calcolo (P - O) = (2,3) - (0,0) = (2,3)
• i j k
• 2 3 0
• 3 2 0= (i.2) - (j.3) = 4 - 9 = 5k

Ora calcolo il prodotto vettoriale con f.d.:

• Alla forza 3k il braccio è 3 quindi f.d. con 3 che ruota intorno a O in senso orario quindi -> 3.3 = 9
• Alla forza 2 il braccio è 2 quindi f.d. con 2 che ruota intorno a O in senso anti-orario quindi -> 2.2 = 4
• -9 + 4 = -5

Momenti di più forze rispetto a un polo

M(O) = Σ dei singoli momenti delle varie f

M(O) = Σ (P - O) ∧ fi

Ci sarà una risultante (R) pari a: R = Σ f = sommatoria di tutte le forze applicate

Ma se cambio polo cosa succede?

m(O') = (P - O') ∧ f Scriverò (P - O) + (O - O')

m(O) = [(P - O) + (O - O')] ∧ f

m(O')≡(P-O')^λf+(O-O')^λf⇩↳m(O)∑ m(O')=∑ m(O)+∑ (O'-O)^λf

μ(O')=μ(O)+(O-O')^λR ⇒ Formula di trasposizione dei momenti oppure formula dei trasporti dei momenti

Casi particolari

Vediamo casi in cui μ(O)=0 e R=0

• R=0 ⇒ si genera una coppia di forze (uguali e contrarie)
• {R=0 μ(O')=μ(O)+(O-O')^λR ⇒ μ(O')=μ(O)=μ(O) ⇒ esso prende il nome di campo uniforme di momenti (μ(O)=cost.)

La rappresentazione più semplice del campo uniforme dei momenti è la coppia di forze:

R=f-f=0

μ(O)=-a⋅f-l(d-a)=-l⋅d se m metto nel punto P:

R=f-f=0

μ(O)=0-l⋅d=-l⋅d

N.B. Il momento è uguale ovunque metta il punto

• Per vedere se c'è un punto in cui μ(O)=0 dividiamo lo spazio in due sottospazi: 1) Associato alla direzione di R=1 dimensionale //R 2) Ortogonale alla risultante = 1unidimensionabile

Vediamo cosa succede nello spazio se allineiamo tutte le nostre quantità secondo R, faccio il prodotto scalare:

μ(O')⋅R=Mi da la componente di μ(O') su R m(O)⋅R= [μ(O')+(O-O')^λR]⋅R ⇩⇩

Quantità è pari a zero in quanto sono parallele

Mi rimarrà solo ⇒ m(O')⋅R=m(O)⋅R= μ(O)⋅R=ε (Invariante scalare del sistema).