Appunti di statica

Teoria dei vettori liberi

= 3i - 2j + kv = -i + j + 3k

1. Controllare se e v sono perpendicolari: uso il prodotto scalare.Se è nullo allora sono perpendicolari (cosα) · v = -3 + 4 + 3 = 4 => no ortogonali

2. Controllare se e v sono paralleli: uso il prodotto vettoriale.Se è nullo allora sono paralleli (sinα)

   | i j k | | 3 -2 1 | = 8 - 10 + 4 = 2^i4 => no paralleli| -1 1 3 |

3. Calcolare l'angolo che formano (x): uso il prodotto scalare: · v = |u| |v| cosα = -4 => -44- - - = - - - -|u| |v| √14√14 √14

   |u| = √9 + 4 + 1 = √14|v| = √1 + 1 + 9 = √14

N.B

Per trovare l'angolo, svolgere l'arcos.

Teoria dei vettori liberi

=3i+2j+kv=-i+j+3k

1. Controllare se u e v sono perpendicolari: uso il prodotto scalare.Se è nullo allora sono perpendicolari. (cosλ) ⋅ v=-3+4+3=4 ≠0 =>No ortogonali

2. Controllare se u e v sono paralleli: uso il prodotto vettoriale.Se è nullo allora sono paralleli. (senλ)

   • i -5 k

   • 3 -2 1 = 8-10+4 = 2+4= ≠ 0 => No paralleli

   • -1 +2 3

3. Calcolare l’angolo che formano (x): uso il prodotto scalare:

   ⋅ v= |u| |v| cosλ => cosλ = ⋅ v |u| |v| = -4 |u| = -4|u| |v| = √14 ⋅ √14

   |u| = √9+4+1 = √14

   |v| = √1+4+9 = √14

N.B. Per trovare l'angolo, svolgere l'arcoθ

CALCOLO DELLE GRANDEZZE DERIVATE AI VETTORI APPLICATI

INDICHIAMO IL VETTORE FORZA CON f E VOGLIO RAPPRESENTARE L’EFFETTO DI f SU UN PUNTO O CHE NON APPARTIENE AL SUO ASSE DI DIREZIONE QUESTA OPERAZIONE LA FACCIO TRAMITE IL:

PRODOTTO VETTORIALE ⇒ (P-O) ∧ f

=> SE AUMENTO LA DISTANZA, MI SERVIRA PIU FORZA

RAPPRESENTO IL VETTORE MOMENTO DI f RISPETTO A UN PUNTO O:

m(O)=(P-O)∧f

SO CHE |m(O)| È DATO DA |P-O| E |f| PER IL SENO DELL’ANGOLO θ SCRIVERE:

|m(O)|=|P-O| · f⊥ = |md⃗ | · sinθ

POSSO FAR SCORRERE f LUNGO LA SUA RETTA D’AZIONE MA IL SUO EFFETTO MOMENTO SARÀ SEMPRE QUELLO, CAMBIERA SOLO LA DISTANZA (P-O) MA NON f, LA DISTANZA LA CHIAMERÒ BRACCIO E AVRÒ:

f⊥

AVRÒ DUE SCALARI E IL VERSORE GLIE LO DEVO DARE IO.

Applicazione con i vettori:

6i = 3i + 2s     P = (2,3)     O = (0,0)l'unità di r = l'unità di P

Calcolo il prodotto vettoriale tramite la matrice simbolica:

Prima calcolo (P - O) = (2,3) - (0,0) = (2,3)

= (i.2) - (j.3) = 4 - 9 = 5k

Ora calcolo il prodotto vettoriale con f.d.:

• Alla forza 3k il braccio è 3 quindi f.d. con 3 che ruota intorno a O in senso orario quindi -> 3.3 = 9
• Alla forza 2 il braccio è 2 quindi f.d. con 2 che ruota intorno a O in senso anti-orario quindi -> 2.2 = 4

-9 + 4 = -5

Momenti di più forze rispetto a un polo:

M(O) = Σ dei singoli momenti delle varie fM(O) = Σ (P - O) ∧ fi

Ci sarà una risultante (R) pari a: R = Σ f = sommatoria di tutte le forze applicate

Ma se cambio polo cosa succede?

m(O') = (P - O') ∧ f     Scriverò (P - O) + (O - O')

m(O) = [(P - O) + (O - O')] ∧ f

m(O')≡(P-O')^λf+(O-O')^λf

⇩

↳m(O)

∑ m(O')=∑ m(O)+∑ (O'-O)^λf

μ(O')=μ(O)+(O-O')^λR ⇒ FORMULA DI TRASPOSIZIONE DEI MOMENTI OPPURE FORMULA DEI TRASPORTI DEI MOMENTI

VEDIAMO CASI IN CUI μ(O)=0 E R=0

•R=0 ⇒ SI GENERA UNA COPPIA DI FORZE (UGUALI E CONTRARIE)

{R=0 μ(O')=μ(O)+(O-O')^λR ⇒ μ(O')=μ(O)=μ(O) ⇒ ESSO PRENDE IL NOME DI CAMPO UNIFORME DI MOMENTI (μ(O)=cost.)

LA RAPPRESENTAZIONE PIÙ SEMPLICE DEL CAMPO UNIFORME DEI MOMENTI È LA COPPIA DI FORZE:

R=f-f=0 μ(O)=-a⋅f-l(d-a)=-l⋅d SE M METTO NEL PUNTO P: R=f-f=0 μ(O)=0-l⋅d=-l⋅d

N.B. IL MOMENTO È UGUALE OVUNQUE METTA IL PUNTO

•PER VEDERE SE C'È UN PUNTO IN CUI μ(O)=0 DIVIDIAMO LO SPAZIO IN DUE SOTTOSPAZI: 1)ASSOCIATO ALLA DIREZIONE DI R=1DIMENSIONALE //R 2)ORTOGONALE ALLA RISULTANTE = 1UNIDIMENSIONABILE

VEDIAMO COSA SUCCEDE NELLO SPAZIO SE ALLINEIAMO TUTTE LE NOSTRE QUANTITÀ SECONDO R, FACCIO IL PRODOTTO SCALARE:

μ(O')⋅R=MI DA LA COMPONENTE DI μ(O') SU R m(O)⋅R= [μ(O')+(O-O')^λR]⋅R ⇩

⇩QUANTITÀ È PARI A ZERO IN QUANTO SONO PARALLELE

MI RIMARRÀ SOLO ⇒ m(O')⋅R=m(O)⋅R= μ(O)⋅R=ε (INVARIANTE SCALARE DEL SIS