Appunti di Statica

STATICA

STÁTICA:

1. INTRODUZIONE (LEGGI DI NEWTON)
2. STATICA DEL PUNTO MATERIALE
3. CORPO RIGIDO - STATICA NEL C.R.
4. GEOMETRIA DELLE AREE (BARRICENTRO)
5. STRUTTURE
6. ATTRITO
7. FLUIDI

STATICA

È UNA PARTE DELLA MECCANICA

• CORPI RIGIDI
• CORPI DEFORMABILI
• FLUIDI

STUDIA LE CONDIZIONI DI QUIETE O MOTO DEL CORPO SOTTO LAZIONE DI FORZE

- MECCANICA = SCIENZA APPLICATA

CONCEZIONE DI: SPAZIO

• POSIZIONE, SISTEMI DI RIFERIMENTO
• COORDINATE

TEMPO (A NOI NON INTERESSA COME UN CORPO CAMBIA NEL TEMPO)

MASSA è CI PERMETTE DI COMPRENDERE I CORPI TRA LORO (ATTRAVERSO L'ATTRAZIONE GRAVITAZIONALE)

FORZA = RAPPRESENTA L'AZIONE DI UN CORPO SU UN ALTRO CORPO

LEGGI DI NEWTON

1. SE ABBIANO UNA PARTICELLA SOTTOPOSTA A VARIE FORZE, E LA RISULTANTE DI QUELLE FORZE È NULLA ALLORA LA PARTICELLA O È FERMA O SI MUOVE SU UNA LINEA RETTA IN MANIERA COSTANTE (MOTO RETTILINEO UNIFORME).

2) Se abbiamo una particella di massa m a cui è applicata una forza F, la particella si muove

F = m ⋅ a

3) Le forze di azione e reazione tra due corpi, hanno la stessa retta d'azione, hanno lo stesso modulo, ma hanno verso opposto.

Forza di Azione

Forza di Reazione

Legge di gravitazione universale:

Se abbiamo 2 masse, una di massa M e una massa m, esse sono attratte da forze uguali ed opposte, uguali ad una costante

G ⋅ M⋅ m / r²

G ⋅ m / r² ⋅ g

F = M ⋅ g

g = 9,81

• Grandezze scalari (tempo, massa, ...) si caratterizzano solo con un numero, detta "grandezza".

• Grandezze vettoriali → si caratterizzano con un modulo, una direzione e un verso.

F

Modulo

Verso

Direzione

Forza applicata in un punto O

Prodotto di una forza per uno scalare: A = λ F

A + B = regola del parallelogramma

B è la risultante

Geometricamente il prod. vettoriale rappresenta l'area del parallelogramma individuato dai 2 vettori.

Se ho 2 vettori // ho area nulla.

-Se A e B sono espressi per componenti, cioè: A = Axi + Ayj + Azk

Bxi + Byj + Bzk

E se facciamo A × B, otteniamo:

• x y z
• Ax Ay Az
• Bx By Bz

= 0 x //

Per vedere z, che si sovrappone a k in senso antiorario, devo essere attestata in giù quindi -y

quindi: A × B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k

Componenti lungo x

Componenti lungo y

Componenti lungo z

Cx = AyBz - AzBy

Cy = AzBx - AxBz

Cz = AxBy - AyBx

Il risultato di A × B si ottiene tramite lo sviluppo formale di un determinante:

• i j k
• Ax Ay Az
• Bx By Bz

= | Ay Az |i - | Ax Az |j + | Ax Ay |k

= | By Bz | j | Bx Bz | k | Bx By |

Cx Cy Cz

Prodotto misto (tra 3 vettori)

(Geometricamente è il volume del solido che si ottiene)

= momento di una forza lungo un asse

Quindi: A vettore 3D si ottiene uno scalare

- Se A, B e C sono dati per componenti:

Facciamo prima B × C, otteniamo un vettore di componenti date da:

• i j k
• Bx By Bz
• (Cx Cy Cz)

Teorema di Varignon

Date n forze F₁ (con i = 1, 2, ..., n) in un punto (in questo caso O), per calcolare il momento ci serve il vettore posizione r̅

r̅ = y₁f₁ + y₂f₂ + y₃f₃ + ... + yₙfₙ

Varignon dice che calcoliamo per la risultante che forze e facendo il momento della risultante rispetto ad un punto, è uguale a fare il momento di ogni forza rispetto al punto.

Coppia di Forze

Definizione: una coppia di forze è data da 2 forze F̅ e -F̅ opposte, che agiscono su 2 rette di direzione parallela.

Calcoliamo M₀ rispetto al punto O:

M₀ = yₐ x F̅ = yᵦ x (-F̅)

= yₐ x F̅ = yᵦ x F̅

= (yₐ - yᵦ) x F̅

^yₐ/_yᵦ = r̅

(yₐ - yᵦ) = y̅

y̅ è chiamato = ᴘᴀ

N.B.: Se faccio il momento rispetto ad un altro punto il momento non cambia, quindi è indipendente dal punto che scelgo.

Fd = r · sinφ

Classificazione dei vincoli

1. Appoggio o carrello

• Ha come unica reazione una forza ortogonale al piano di scorrimento.
• Impedisce gli spostamenti in direzione Y, quindi la forza che esercita è detta reazione Y (R_y = forza verticale)
• Spostamento Y ≠ 0 → R_y ≠ 0
• Tenuto ad una distanza D diversa da 0

2. Cerniera

• Impedisce ogni spostamento nel piano: sia in direzione orizzontale, sia in direzione verticale.
• Spostamento X = 0 → M = 0
• Spostamento Y = 0 → V = 0
• Dotato di R_x ≠ 0, R_y ≠ 0

3. Pattino

• Impedisce lo spostamento orizzontale, ma impedisce anche le rotazioni α
• ω = 0 → R_y ≠ 0
• α = 0 → R_t ≠ 0
• V ≠ 0 → R_y = 0

4. Manicotto

• Impedisce lo spostamento verticale e le rotazioni α, permette gli spostamenti orizzontali
• V = 0 → R_y ≠ 0
• α = 0 → M ≠ 0
• ω ≠ 0 → R_x = 0

5. Incastro

• Impedisce i 2 spostamenti e anche le rotazioni
• ω = 0 → R_x ≠ 0
• V = 0 → R_y ≠ 0
• α = 0 → M ≠ 0

ES:

(É UN ARCO A 3 CERNIERE)

8 _d.l.v. = 6

8 _d.l.i. = 6

IL SISTEMA PUÓ ESSERE STATICAMENTE DETERMINATO

SCHEMATI DEL CARICO DISTRIBUITO SULLE 2 TRAVI

A: V_A + V_B - 2*9.L = 0

V_A = 9.L

Σ: H_A + 0 = ???

A: V_B - 2.L + 9.L = 0

V_B = 9.L

MANCA UN' EQUAZIONE CHE DÉ INFORM. SUL SIST. DEL VINCOL. INTERNO

PRENDO METÁ STRUTTURA (1 TRAVE):

MOMENTO RISPETTO ALLA CERNIERA INTERNA:

H_A.L - 9.L² + 9.L²/2 = 0

H_A = 9.L/2

H_B = 9.L/2

QUINDI < H_B

LA STESSA SOLUZIONE SI PUO OTTENRE "ESPLODENO" LA STRUTTURA CIOÉ

PRENDO I SINGOLE PARI DI STRUTTURA AL SOMA APPLICO LE FORZE, LE R.V.:

TRAVE 1:

3: V_A - V_C - 9.L = 0

A: H_A - H_C = 0

5: V_C - L + H_CL - 9.L²/2 = 0

TRAVE 2:

V_B - V_C + 9.L = 0

A: H_B - H_C = 0

H_C.L + V_CL + 9.L²/2 = 0

RISOLVENDO OTTENGO LE STESSE R.V.

DOMANDA:

Se nel piano la sezionie A ha momento statico nullo rispetto ad ogni coppia di assi Y, X, se prendiamo un altro asse che passa per l'intersezione degli assi due?

S_y = ∫_A y' dA

S_x = ∫_A x' dA → ∫_A (y' cosα - x' sen α) dA

S_x = senα ⋅ S_y + cosα ⋅ S_x

S_x = S_y = 0

Quindi S_x' = 0

Il baricentro è quindi l'unico punto in cui ogni asse che lo contiene, la sezione avrà I_s rispetto a quell'asse nullo.

Nel nostro caso quando abbiamo una trave:

L: L _>> 10

B: H _> H

Sono sempre travi slender c----------no

Quindi hanno la dimensione L dominara rispetto alle dimensioni nella sezione B H

→ Si dicono "Elementi monodimensionali"

← La linea che unisce i baricentri di ogni sezione interna alla trave, è la cosiddetta linea d'asse.

→ Linea d'asse