Appunti di scienza delle costruzioni

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Author: donald_zeka

Revisionato il 30/05/2026

di donald_zeka

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Voto: 30/30Appunti personali e completi di teoria del corso di Scienza delle Costruzioni del prof. Mariano alla triennale in Ingegneria Meccanica.Comprensivi di:-introduzione al calcolo …

Esame Scienza delle costruzioni

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Mariano Paolo Maria

Università Università degli Studi di Firenze

A.A. 2019-2020

89 pagine

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Appunto

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CALCOLO TENSORIALE

SPAZIO VETTORIALE: Un insieme V è detto spazio vettoriale o spazio lineare su un campo K se sono definite due operazioni :

⊕ : V × V → V

• : K × V → V

detto rispettivamente addizione e moltiplicazione tali che:

L’addizione è commutativa : u + v = v + u ∀ u, v ∈ V
L’addizione è associativa : (u + v) + z = u + (v + z) ∀ u, v, z ∈ V
L’addizione ammette elemento neutro : ∃ 0 ∈ V | u + 0 = 0 + u ∀ u ∈ V
L’addizione ammette elemento opposto : ∃ (-v) : u + (-u) = 0 ∀ u ∈ V
La moltiplicazione è associativa : (a • b) • v = a • (b • v) ∀ u, v ∈ V, ∀ a, b ∈ K
La moltiplicazione ammette un unico elemento neutro : 1 • e = e ∀ e, v ∈ V
La moltiplicazione è distributiva rispetto all’addizione:
- a • (u + v) = a • u + a • v ∀ a ∈ V, ∀ u, v ∈ V
- (a + b) • v = a • v + b • v, ∀ a, b ∈ K, ∀ v ∈ V

- Gli elementi di uno spazio vettoriale sono detti vettori.

RAPPRESENTAZIONE DEI VETTORI

Sia {e1, ..., en} una base di V sul campo dei reali, allora un generico V ⁿ ha rappresentazione unica:

v = v_i e_i

v_i è la i-esima componente di v in quella base.

PRODOTTO SCALARE

Un prodotto scalare su V è una applicazione:

⟨.,.⟩: V × V → R

tale che:

Sia commutativo : ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩
Sia distributivo rispetto all’addizione in V : ⟨u, v + z⟩ = ⟨u, v⟩ + ⟨u, z⟩
Associativo rispetto alla moltiplicazione (a × u, v) = ⟨a * v, u⟩
È definita non-negativa : ⟨u, u⟩ ≥ 0 ∀ u ⟨u, u⟩ = 0 solo se u = 0

Quando V è dotato di prodotto scalare, si dice spazio euclideo.

BASE ORTONORMALE

Sia {e1, ..., en} una base di V dotato di prodotto scalare, si dice che tale base è ortonormale rispetto al prodotto scalare in V se:

⟨e_i, e_j⟩ = δ_ij

essendo δ_ij la delta di Kronecker.

Calcolo Tensoriale

Spazio Vettoriale

Un insieme V è detto spazio vettoriale o spazio lineare su un campo K se sono definite due operazioni:

+: U x V -> V ·: U x K -> V

detto rispettivamente addizione e moltiplicazione, tali che:

L'addizione è commutativa : U + W = W + U ∀ U, W ∈ V
L'addizione è associativa : (U + W) + Z = U + (W + Z) ∀ U, W, Z ∈ V
L'addizione ammette elemento neutro : ∃ 0 ∈ V t.c. U + 0 = U ∀ U ∈ V
L'addizione ammette elemento opposto : ∀ U ∈ V, ∃ -U ∈ V t.c. U + (-U) = 0
La moltiplicazione è associativa : (a·b)U = a(bU) ∀ U ∈ V, ∀ a, b ∈ K
La moltiplicazione ammette unico elemento neutro : ∃ 1 ∈ K t.c. 1·U = U ∀ U ∈ V
La moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione : a(U + W) = aU + aW, ∀U, W ∈ V, ∀a ∈ K
La moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione in K : (a + b)U = aU + bU, ∀ a, b ∈ K, ∀ U ∈ V

Gli elementi di uno spazio vettoriale sono detti vettori!

Rappresentazione dei Vettori

Sia {e₁, ..., e_n} una base di V sul campo dei reali, allora un generico v ∈ V ha rappresentazione unica :

U = Uⁱe_i

Uⁱ è la i-esima componente di U in quella base.

Prodotto Scalare

Un prodotto scalare su V è una applicazione:

⟨·,·⟩ : V x V -> R

tale che:

Sia commutativa : ⟨U, W⟩ = ⟨W, U⟩ ∀ U, W ∈ V
Sia distributiva rispetto all'addizione in V : ⟨U, W + Z⟩ = ⟨U, W⟩ + ⟨U, Z⟩
Associativa rispetto alla moltiplicazione : ⟨αU, W⟩ = α⟨U, W⟩ = ⟨U, αW⟩
Definita non-negativa : ⟨U, U⟩ >= 0 ∀ U, con l'uguaglianza solo se U = 0.

Quando V è dotato di prodotto scalare, si dice spazio euclideo.

Base Ortonormale

Sia {e₁, ..., e_n} una base di V dotato di prodotto scalare, si dice che tale base è ortonormale rispetto al prodotto scalare in V se :

⟨e_i, e_j⟩ = δ_ij

essendo δ_ij la delta di Kronecker.

Tensore metrico

Sia {e₁, ... e_n} una generica base di V, si definisca tensore metrico il termine:

g_ij = <e_i, e_j>

è definito positivo g_ij > 0

Esso è simmetrico g_ij = g_ji, inoltre

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