Appunti di scienza delle costruzioni

Calcolo Tensoriale

Spazio Vettoriale

Un insieme V è detto spazio vettoriale o spazio lineare su un campo K se sono definite due operazioni:

• +: V × V → V
• •: K × V → V

Detto rispettivamente addizione e moltiplicazione tali che:

1. L'addizione è commutativa: u+v = v+u ∀ u,v ∈ V
2. L'addizione è associativa: (u+v)+z = u+(v+z) ∀ u,v,z ∈ V
3. L'addizione ammette elemento neutro: ∃ 0 ∈ V, ∀ u ∈ V + 0 = u
4. La moltiplicazione ammette un unico elemento neutro: ∃ 1 ∈ K: 1•u = u ∀ u ∈ V
5. La moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione: α(u+v) = αu+αv ∀ α ∈ K, u,v ∈ V
6. La moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione in K: (α+β)u = αu+βu ∀ α, β ∈ K, u,v ∈ V

Gli elementi di uno spazio vettoriale sono detti vettori.

Rappresentazione dei Vettori

Sia {e₁, ..., e_n} una base di V sul campo dei reali, allora un generico v ∈ V ha rappresentazione unica:

v = vⁱe_i

vⁱ = la i-esima componente di v in quella base.

Prodotto Scalari

Un prodotto scalare su V è una applicazione:

⟨·,·⟩: V × V → ℝ

tale che:

1. Sia commutativo: ⟨u,w⟩ = ⟨w,u⟩ ∀ u,w ∈ V
2. Sia distributivo rispetto all'addizione in V: ⟨u+w,z⟩ = ⟨u,z⟩ + ⟨w,z⟩
3. Associativo rispetto alla moltiplicazione: ⟨αx,y⟩ = α⟨x,y⟩
4. Definito non negativo: ⟨u,u⟩ > 0 ∀ u ≠ 0, con uguaglianza solo se u = 0.

Quando V è dotato di prodotto scalare, si dice spazio euclideo.

Base Ortonormale

Sia {e₁, ..., e_n} una base di V dotato di prodotto scalare, si dice che tale base è ortonormale rispetto al prodotto scalare in V se:

⟨e_i, e_j⟩ = δ_ij

Essendo δ_ij la delta di Kronecker.

Tensore metrico

Sia _{e1, ..., en} una generica base di V, si definisce tensore metrico il termine:

g_ij = <e_i, e_j>

è definito positivo se > 0

Esso è simmetrico g_ij = g_ji invariato se la base è ortonormale si ha g_ij = d_ij e la metrica si dice piatta la sua inversa è denotata come g^ij

Campi vettoriali su varietà

Siano uno spazio topologico (che localmente mi assomiglia a uno spazio euclideo) una insiemistica di punti soddisfa infatti proprietà assiomi (Hausdorff)

Sia M una varietà differenziabile, sia T_pM lo spazio tangente a M in un suo punto P, intendiamo con spazio tangente lo spazio di tutte le possibili direzioni lungo cui posso passare per P. Per descrivere localmente la varietà in intorno di P si sceglie una carta, ossia un insieme di coordinate (x¹, xⁿ) e una mappa che a ogni punto associa il punto della varietà: P = P(x¹, ..., xⁿ).

Base coordinata

Ogni carta comporta spontaneamente la scelta di una base per lo spazio tangente, definita da:

e_i := d/dxⁱ

Detta base coordinata, nella in cui e_i è tangente alla i-esima linea coordinata.

Cambiamento di coordinate

Si consideri un cambiamento di coordinate biunivoco e differenziabile in tutti e due i sensi (diffeomorfismo) allora, applicando le regole della catena:

e_i = (d/dxⁱ d/dy^k) e_^k e_^k = (dxⁱ/dy^k) e_i

Come si vede il nuovo vettore tangente e_^k nei coordinate (y^k) è ottenuto attraverso lo jacobiano della trasformazione indiretta x -> y, una tale trasformazione si dice covariante (gli elementi con indici in basso trasformano in modo covariante in seguito a un cambiamento di coordinate).

Per quanto riguarda le coordinate invece:

v_^k = vⁱ(dy^k/dxⁱ) e_i = (dy^k/dxⁱ) vⁱ v_^k

Come si vede le nuove componenti di un vettore v^{^k} rispetto alla nuova base sono ottenute attraverso lo jacobiano della trasformazione inversa, per questo si dicono controvarianti, gli elementi con indici in alto si transformano in modo controvariante in seguito a un cambiamento di coordinate.

Aⁱ ∈ Hom(V, U)

A = A^j_i e_i ⊗ e^j

Prodotti tra tensori:

Prodotto di saturazione: dati due tensoriA, B ∈ Hom(U, V), si definisce il prodotto (A, B) → AB

come un tensore del secondo ordine:

(AB)ⁱ_j = Aⁱ_k B^k_j

Saturazione totale:

(A, B) → A · B

Trasposto di un tensore: dato A ∈ Hom(V, W), si definisce trasposto di A quell'unico A^T ∈ Hom(W, V), tale che:

<Au, v> = <u, A^Tw>

L'operatore di derivata spaziale si può definire per un

campo tensoriale generico T(x) di tipo (p,q) :

_i,j =

esempio _i,j → _i,j,k

Divergenza

Divergenza di un campo vettoriale :

Si definisce divergenza in

un campo vettoriale la traccia della sua derivata :

_, =

è uno scalare.

Laplaciano :

Divergenza di un campo tensoriale :

In generale dato un

campo tensoriale di tipo (p,q) la sua divergenza si definisce

come un campo di tipo (p-1,q) oppure (p,q-1) ottenuta contraendo

Esempio :

Stato indice D _i,

Rotore :

Dato un campo vettoriale

Il rotore curĸ di come il vettore

Cur A = [E ]

Proprietà principali

()=∙+∙

Cur ()=(cur )

Teorema della divergenza

Ricordando inoltre che n = + ⁿ ʰ ʰ = ⁿ essendo ⁿ e ⁿ vettori associati, è possibile trovare la seguente formula diventa:

ñ A = (det F) ^F ʰ ^A → ̃ A = (det F) ^-* A

F^-* = ^-*

Queste due formule sono dette formule di Nanson, ed esprimono in generale la relazione tra le misure di superficie orientata nella configurazione attuale e in quella di riferimento.

Deformazioni Finite

Sia ω ₙ, ω^{∈ R³}, ⊆ ^R³ un vettore unitario rispetto alla metrico , siano $\underline{ω}$ $\underline{}$ il rispettivi elongamenti indici trasformati dal cambio di deformazione F, si ha:

ℓ² = ⟨ω, $₆\rangle$ = .q = .qg

ℓ*² = ⟨ω̃,$₍ω̄₎,ω̄² = .q = ^2q = @long$

• Queste due misure non possono essere paragonate tra loro perché calcolate ciascuna riportamento a coordinate in spazi differenti, quindi si sceglie uno dei due spazi (poniamo quello di riferimento) come ambiente di paragone.

ℓ*² = ⟨ω̃,$ Fw,Fw = .Fgω̃ = ℓ^2⟨ℂ.FeFg₂.〈E〉

Posto: ℂ : $=F - ℌF$

Si ha:

ℓ**² = ℓ² = (ℂ - ℌ) $\underline{}$

ℂ AB = (_A ) ^g AB F _B

• Si definisce tensore della deformazione il tensore:

= ¹/₂(ℂ - )

• Ha il significato di una differenza tra metriche in R³.

Proprietà: il tensore di Cauchy-Green è simmetrico, infanti perché è due volte suo invariato, il trasposto coniugato coniugato risulta:

= ^-_qg(^T_F)^* = ^Tg()^T = ^{q̌ ⌹-_ℌg}