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GEOMETRIA DELLE AREE
Sottinsieme sufficientemente notevole di ℝ2
Come posso descrivere con pochi numeri il dominio?
- AREA DEL DOMINIO
A = ∫D 1 dα
es.
A = ∫02H1 dx1 dx2 = [x1]0H[x2]0H = 2H2
ESERCIZIO
Q1 x2 - 2H + x2
Q3 = 2H
Q4 x2 = x1 + 2H
A = ∫2H x2x3 = 2
Q2 = ∫02Hx3 dx2 - ∫2Hx3 dx2 = Q4x2Q2 - x3
L'h - x1,Q2x2 = 2H
Il valore di A è proporzionale all'estensione, non c'è MULTE, ma è somma.
- BARICENTRO G
1/A ∫D r dα è mezzo del vettor posizione (+)
vettore posizione
r = f(x1, x2)
(+) OSS
rG = 1/A ∫Dx1 dα , 1/A ∫D x2 dα
{
xG = ∫D x1 dα
xG = ∫D x2 dα
es. BARICENTRO DEL RETTANGOLO
x1
Q3 x0
H
x2
x1 dx dα
Q4x3 = 1/(2H2)
Q3 = 1/a ∫∫0H x1 dα dx1 = 2H
2H = 1/2
02H
MOMENTO STATICO
S = ∫∫
Momento Statico S = Aτo
Rappresentazione dei tensori (applicazioni lineari)
Supponiamo la base {₁, ₂} e un vettore v⃗.
Possiamo esprimerle v⃗ come combinazione lineare di ₁ e ₂: v⃗ = ₁₁ + ₂₂.
In questo modo stiamo descrivendo oggetti reali (v⃗) tramite oggetti astratti (₁, ₂ numeri reali, oggetti matematici).
La coordinata di questo vettore dipende dalla base {₁, ₂} scelta.
Dato un vettore possiamo sempre ottenere l'applicazione lineare corrispondente e viceversa.
Bisogna sempre considerare che le coordinate cambiano cambiando base.
Applicazioni lineare L(v⃗ + a w⃗) = L v⃗ + a L w⃗
Ogni applicazione lineare può essere scritta come combinazione di tensori:
- L₁₁₁ ⊗ ₁ + L₁₂₁ ⊗ ₂ + L₂₂ ₂ ⊗ ₁ + L₂₁₂ ⊗ ₂
Prodotto Tensore
Possiamo scrivere la matrice:
- (L₁₁ L₁₂)
- (L₂₁ L₂₂)
Stabilire se un'operatore è un tensore
Supponiamo H = ⃗ e applichiamolo ad un vettore ⃗ + ⃗, avremo:
- H(⃗ + ⃗) = (⃗ + ⃗) = ⃗ + ⃗ = H⃗ + H⃗ → H⃗ − ⃗ è un tensore
Prodotto Tensore
v⃗ ⊗ ⃗ = ⃗ ⊗ (⃗ · w⃗) (*).
Nota: (₁ ⊗ ₁) = () ₁.
Proiezione su un subspazio ₁
Proiezione
(₁ ⊗ ₂) ⃗ = (₁ · ) ₂
= ₂ ·
Nota: (₁ ⊗ ) (ᵢ · )
CASO PARTICOLARE n = 3
(α ≠ 0)
Sistema di riferimento isocinetico
Per vedere cosa accade, si usiamo le formule in termini di basi fisse.
∆ГG = ГG* + A* ma ∆ГG = 0 → ⧵ГG* = A*
Di solito però si cerca d ≠ 0
Quindi, avremo:
Tecnica: calcolare in un riferimento isocinetico
կJ = J* + A*⧵ГG*
Chiamiamo J* il momento di inerzia calcolato in un sistema di riferimento isocinetico
e.g., se JG* = {0, 0,4, M} avremo:
⧵ГG* = {⧵ГG*} = { 0 0 0 0 }
Vexiamo cosa accade se ruotiamo il sistema
Abbiamo:
S = S1 a1 + S2 a2 + S3 a3 + S 4 a 4
Si = S" a'⧵ , i = S4 a'⧵ , i = S4 a'⧵ (a 4 a'⧵)
S2, a'2 = S4, a'2 = a'2, a'2
avremo quindi:
[S'] = { cos φ -sen φ } [S" a ]
(sen φ cos φ)
che rappresenti matrici aventi elementi scambiati usando un base in rotazione
[հJ] = [O] + [S] [A] (JG)
Disegnare l'ellisse noto il dominio senza conti (qualitativamente)
- Disegnare dominio
Il baricentro di un dominio è la media pesata dei singoli contributi
ab = /
- Disegnare assi principali ( e )
- Traccia le direzioni di e (tangenti)
considerando che:
∫-π/2π/2 (1/) ∫- d2 ≤ 1/(d2ln) = 2
Richiami
F =
u(X) = X(X + X)
G =
TEOREMA
Poiché F = G, possiamo esprimere E
1/2 (
(G-G)
Questa nuova definizione
Nota
NORMA di una matrice
Decomposizione del vettore
Possiamo scrivere E come
es:
Se M
COSA SIGNIFICA
Cerchio di Mohr
Consideriamo un tensore E e S
Consideriamo un vettore
- λ₁
- λ₂
- cos(2θ)
Possiamo calcolare
estracimenti di valore
- xmm(θ) =
- θ =
- cos(2θ)
CERCHIO DI MOHR
Disegnare il cerchio
- Scegliamo R = O
- Centro:
- R =
- E₁₂
POLO
Problema di rotazione
Se considerando Enz = x2 tranne il j: ci rendiamo conto che non ha senso come Ezz = 0 perché E3,2 = E2,1 + E1,2 + i ≠ 0 Ezz =
⇒ se rot(rotE)≠0 ⇒ En non è sua decomposizione En è un campo tensoriale simmetrico se il suo doppio rotore è zero
PER CASA: scrivere tutte e 6 equazioni
RICORDA: Simboli di Levi Civita Ei..xy.. ≠ 1 ≠ 2 (i,j,k) permutazioni pari (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2) ≈ 0 x ≠ (i,j,k) permutazioni dispositivi (3,2,1), (1,3,2), (2,1,3) ≠ 0 x ≤ 3 è lo stesso x= 0 ≠ 0 ≤ 2
(Rot Rot E)mn := 0 ⇒ εmnl εlnk En,k,l = 0
Se numero elevato e’ giacere in R^3
CONDIZIONE NECESSARIA PERCHÉ Ψ(u)=0
PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI
∫(Ω_e) ∂Ψ(u)/∂E(u)E*(u) - ∫(Ω_e) b*u* - ∫(Ω_o) t*v* = 0 ∀ v
La derivata dell'energia totale nel punto di colse esse zero x ∀ f
∂Ψ/∂E = τ
→ uguale a derivata rispetto a tutti le potenciali componenti dell'energia E
τij = ∂Ψ/∂Eij simmetrico
RICORDA: trE = l*E
perché Ψ(u), ∈ E : ε , 2 (tr E )2
τ = ∂Ψ(E)/∂E = 2μE + λ(tr E)1
TENSORE DEGLI SFORZI
(1 - E)2
→ perché ∂trE/∂E = I
Vuol dire tr E = ∑i=1n Cii
→ ∂trE/∂y (∂trE/∂σij)
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
