Appunti di Scienza delle costruzioni 1

Scienze delle costruzioni I

Stefanovicali: site.uniroma1.it -> SDc 1 (programma, esami, appelli, ricevimento)

Esame: scritto e orale (2 esercizi)

SDC I -> modello corpo deformabile

• Teoria dei corpi deformabili (Cauchy)
  • deformazione
  • tensione
  • criteri di resistenza
• problema di De Saint-Venant

Geometria delle aree

β ⊂ ℝ²

Area

A := ∫_β 1 dA [m²]

Momento statico

Sistema di riferimento ortonormale

Con un qualsiasi punto basta creare un vett.

E sai le coordinate.

Ogni vettore si può esprimere come c.l. di a₁, a₂

r := (x – o) = x₁a + x₂a

Il momento statico è

S := ∫_β r' dA [m³]

r = || r⃑ || n̂ = ρ n̂

ρ² ( r⃑⋅n̂ ) n̂ misura una distanza² e la direzione del vettore r̂

J := ∫_β (r ⊗ r) dA => momento d'inerzia

due domini con baricentro e aree uguale differenziano per l'asse delle due figure

i punti si annullano, così per ogni punto

per ovviare il problema si fa l'integrale del quadrato

così ci si accorge della distanza del baricentro

28 - 09 - 2023

A = ∫_β 1 dA

S = ∫_β F dA ↔ r_G = S / A

J = ∫_B r⨂r dA

J ∈ P Sym

è positivo ∀m≠0, m>0 e simmetrico

J_m = ∫_β (r ⋅ m)²

la massa concentrata in m

J è positivo: ogni autovalore di J è positivo

Oss:

Consideriamo in un dominio J min

ψ* è l'intersezione fra l'asse del s.d.x e del min.

Riprendiamo l'esercizio dell'altra volta

A = 3HS

r_G = ¹/₆ H a₁ + ²/₃ H a₂

[J] = ( ¹/₃   0   0   ⁸/₃ ) H³S

A = 3HS    [r̂_G] = ( 0   0 )

[Ĵ] = [J] - A (r_G ⊗ r_G) =

( ¹/₃   0   0   ⁸/₃ ) H³S - ( ¹/₁₂   ¹/₃   *   ⁴/₃ ) H³S =

( ³/₄   -1   -1   4 ) ^H3S/₃

X ⟶ {

X₁(x₁, x₂, x₃)

X₂(x₁, x₂, x₃)

X₃(x₁, x₂, x₃)

}

• Biettiva: prende punti distinti in R sono distinti in X(Ω) e viceversa (non vale per la frattura e ne per la compenetrazione)
• ||v|| = ε << 1 , anche se si deforma la distanza fra X e X+v è molto piccola

Quindi: X(x+v) - X(x) = Fv + o(||v||^β)

(i punti rimangono vicini), questo tipo di funzione è differenziata

Quindi deve essere biettiva e differenziabile (punti vicini in Ω sono vicini in X(Ω))

Esercizi

β < 1

∫ n⊗n dA =

[n] =

• (X₁)
• (X₂)

• (ρ cos θ)
• (ρ sin θ)

∫ n⊗n dA

[n⊗n] =

• (ρ² cos² θ) (ρ² sin θ cos θ)
• ∗ (ρ² sin² θ)

J ≡ J

∫_BH^H ∫₀^2π

• (cos² θ)
• ∗ (cos θ sin θ) ρ³ dρ dθ =
• (sin² θ)

• (1 0)
• (0 0)

• (1 0)
• (0 1)

(H⁴ π / 4)(1 - β⁴)

5/10/2023

Spostamento: u(x) = X(x) - x

X(x) = x + u(x)

ES:

id(X(x)) = x

id(x + v) - id(x) = x + v - x = v ⇒ Grad id = I

Quindi G = Grad u = F - I

[G]_ij = ∂u_j / ∂x_i

Esercizio f@c c@sa

A = 2 · ³/₂ πH = > ^3πH/₂ - ^πH/₂ = πH

S = ∫ r dA

r_G = ^S/_A

J = ∫ ρn dA

S := ∬ ( ^x₁/_x2 ) d x₁ d x₂ = ∬ ( ^ρcosθ/_ρsinθ ) dρdθ =

1. ∫₀^π ∫₀^H ( ^ρcosθ/_ρsinθ ) ρ dρ dθ = ( ^{H2/2 cosθ}/_{H²/2 sinθ} ) dθ = ⎛ ⁰/_{- H²} ⎞

Prendiamo una deformazione piana:

E = _{E11 E12} 0

_{E21 E22} 0

0 0 0

una direzione qualunque del piano

m(φ) = {cosφ, sinφ, 0}

m(ψ) = {sinψ, -cosψ, 0}

ε_φ = E m(ψ) · m(ψ) = (_{E11 E12 0}) (_cosφ)

_{E21 E22 0 sinφ}

0 0 0

= E₁₁ cos²φ + 2 E₁₂ sinφ cosφ + E₂₂ sin²φ

E m(ψ) · m(ψ) = (_{ε11 cosφ + ε12 sinφ}) (_sinψ)

_{ε12 cosφ + ε22 sinφ -cosφ}

0

= ...