Appunti di Progettazione assistita dal Calcolatore

Programma PAC

1. FE tramite esempi

   • Trave incastrata soggetta a proprio peso.
   • Soluzione "vera" ed approssimata, differenze, discussione.
   • Discussione generale su tipi di elementi, nodi, approssimazione.
   • Caso applicato due travi incidentate.
   • Calcolo analitico giacitura placcata a partire da giurzi locale e assemblaggio. (Metodo di puto).
   • Cambio sistema di riferimento e soluzione originale del problema.

2. Teoria 02 —> EF in formulae [formulazione di dell'elemento]

   • Formulazione problema in forma differenziale.
   • Formulazione integrale del problema come metodo generale di soluzione. (+ DIM. che soluzione esatta non è possibile).
   • Metodi di soluzione collocante (calcola R=0 in determinati punti). Resudu pesato (DIM uso specifico).
   • Metodi di assegnazione pesi:
     • Petrov-Galerkin
     • Galerkin
     • Minimi quadrati
     • Collocazione
   • Condizioni di derivabilità per funzioni interpomente.
   • Formulazione debole (Sposito requisiti da funzioni interpolante ai polin.).
   • Dettagli su metodo di Ritz, residue pesati, Petrov-Galerkin, Galerkin.

1. Teoria 03

   • Calcolo statico di struttura con metodo energetico
   • Esempio monodimensionale
   • Dalle funzioni interpolanti alle funzioni di forma
   • Legame spostamenti nodali - deformazioni e spostamenti nodali - tensioni
   • Esempio errore nel calcolo delle tensioni
   • Metodo valutare per errore
   • Processi di convergenza, continuità e requisiti che le funzioni interpolanti devono avere
   • Esempio piastra forata

2. Teoria 04 - Assemblaggio

   • Richiamo formulazione integrale ed espressione in forma debole
   • Integrazione su più elementi sviluppata grazie a concetto di operone di integrazione
   • Sviluppo conti per arrivare a funzione completa modello
   • Condizioni fisiche e condizioni al contorno da rispettare

3. Teoria 05 - Carichi

   • Metodi di applicazione carichi distribuiti
   • 1. Direct Load Jumping
     2. Metodo Work Equivalent

4. Teoria 06 - Vincoli

   • Verificazione e tipi di vincolo
   • Implementazione teorica vincoli
   • Metodi di implementazione
     • Moltiplicatori di Lagrange
     • Eliminazione Master-Slave
     • Metodo delle penalità

In generale le Matrici Aggetto dei vari elementi si annullano

Wungo gli assi ed in curvw tra elemenj contigui.

Ottegno allora una matrice con elementi non nulli adeiesah vicina alla diagonale principale.

ESEMPIO Cadduta dei SDR Percio da sol non 1 (q), a cui cor 1 (x-y). Spostamenti: a¹=La Conclus : q^Ta = q¹T^a1 = q¹TLa → q^T = q¹T L Allora; q = LTq¹

Matrice L e la matrice Rotazione.

Problema del tipo:

-_d/_dx(a(x)(_du/_dx))+c(x)u=p

Ipotesi FEM u_h=∑ C_iφ_i(x) φ_i sono funzioni note della variabile x C_i coefficenti da determinare.

Condizioni al contorno. u(0)=x₀; [a(x)_du/_dx]_xL=Q_a

Per avere numero di equazioni = numero di incognite e ottenere i vari C_i, si utilizzano le: FORMAZIONE INTEGRALE. Metodo di soluzione detto per sostituzione porta in genere ad avere un diverso numero di equazioni ed incognite (vedi slides per chiosostanze).

1. _aR(x) dx= 0 ∀S → Scelgo tanti ω quanti sono le c_j da determinare.

Vari metodi con cui ω può essere scelto: Galerkin, Petrov–Galerkin, Mintimum–Quadrati, Collocazione → Scelta di ω influenza la soluzione!!

Poncie: u_h=∑ C_jφ_j(x)=f(φ_j; x)

e deve verificare la (A) sul dominio di calcolo; u deve essere di classe C₂; dunque anche φ deve esserlo. → Vi sono delle condizioni di differenziabilità da rispettare

Tali condizioni, possomo venire incluse nel farmezza del problema se posta in forma: Debole! (Apprecio farmme INTEGRAZIONE PER PARTI)

∫₀^l[ω_3d/_dx(x_h(a_kl) -ωf] dx = ∫₀^l(x_h)_da_u/_dx)_d+x - ωf)dx] [ωa_du/_dx]₀^l + NBC

Adesso sia ω che u devono essere differenziabili ε volte. → Sopruttto in functionalz cubeianu in cui ω =ψo dondele un requisito di guesto tipo mostra parlculorenenne sesmat.

→ Formulenza Debole include le NBC (Normal Bonging Contmitions). Piunto dwhen scamos specificane solo le EBC o: Essential Baanby Conumstions

Formulenza debole fa referenced ad un'idebutte delle condizioni di differenzialsintà di u.

Condizioni affinché possa andare a buon fine un processo di CONVERGENZA

• a) Rispetto di Coercività → Diminuisce distanza elemento dove migliora approssimazione
• b) Condizione di Stabilità → Soluzione del sistema discreto deve essere unica e non influenzata da reazioni "spurie".
• Processo di Convergenza → Miglioramento PROGRESSIVO della mesh.

ASSEMBLAGGIO (TEORIA CIL)

Sulla base degli elementi sviluppati precedentemente (funzione integrale elevata e calcolo rigidezza), vediamo come gli elementi vengono assemblati tra loro per creare una soluzione coerente.

Problema in funzione integrale:

_xa∫^xb w [_da/du_dx] + cu - wf dx = 0

INTRODUCO FORM. DEBOLE:

• C

  _xa∫^xb (d/da_dx) + cu - wf dx - ^xa[(du/da)x] +... - Lw[xb]Qb + Lw(xa)Qa

In presenza di più elementi anche funzione analoga a quella usata:

∑ (Ci)i = 0

Da qui sviluppato i conti: grazie alla linearità dell'operatore di integrazione posso scrivere:

_e=1∑^nel(Ci)e = _xa∫^xe a d/da cdu/dx - cdu wf dx - w(xe)[adu/dx]x=xe... - w(xn)[adu/dx]x=xn

Raccogliendo termini elementari ed elementi:

0 = _xa∫^xn a d/da du/dx + cu - wf dx - w(xi)_[a di/da_dx l=(xl)x _{= xa}] ... - w(xn)]Qe

0 = _xa∫^xn a d/da du/dx + cu - wf dx - w(xi)_[a di/da_dx l=(xl)_x=xa] - w(xn)Qew - Lw(xn)Qew

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Riassunto Teoria 04 (Assemblaggio)

Formulone Integrale Elemento:

∫_V(-^d⁄_dx(a(x)^du⁄_dx) + c(x)u - f)dL = 0

Introduzione Formulone Debole:

∫₀^L[a^du⁄_dx ^dw⁄_dx - wf] dx - [wa^du⁄_dx]₀^L = 0

Supponiamo, per esemplificazione, di avere un certo numero di elementi.

Se allora ci viene numerato: n⁄2∑xi+1i=1 ∫xixi+1 [adu⁄dx dw⁄dx - wf] dx - [wadu⁄dx]0L = 0

Allora poiché: integrale è opz. inversa:

∫_xα^x_β (a ^dw⁄_dx ^du⁄_dx - wf) dx - w(x_i)_|xi ^du⁄_dx + w(x_l) ^adw⁄_xh

Che raccogliendo:

∫_xα^x_β (a ^dw⁄_dx ^du⁄_dx - wf) dx - _∑[w(x_c)] (^du⁄_dx)^c

Sostituisco condizioni FEN:

u(x) = _∑ j^ci ψ_i(x) (Funzione di Galerkin)

Sciegliendo n - elementi a formule integrale ottengo:

sistema n x v.