Appunti di Progettazione agli Elementi Finiti di Strutture Metalliche + Progetto ANSYS [PEFSM - ex PASM]

Me esario.1.4 Vettore delle forze nodali equivalenti f

Il vettore delle forze nodali equivalenti è f e

T_T = f dV + f dS (20)N

f_e B sV S f

Si supponga che sul bordo dell'elemento agisca un carico distribuito con componenti f e f costanti, come in Figura 2.

Figure 2: Carico uniforme applicato sul bordo 2 - 3 dell'elemento triangolare.

Potremo allora scrivere:

[0 N 0 0 1,2-3]

[0 N 0 0]

[1,2-3]

{N 0 f f (x, y(x)) 0 N}

{∫ ∫}

{f = dldl =e}

{f f (x, y(x))0 N 0 N}

{l l}

{2,2-3 2}

{f N 0 (x, y(x)) 0 N}

{3,2-3 3}

{0 N 0 N (x, y(x))3,2-3 3}

essendo nulla la funzione di forma N sul bordo 2 - 3.

La funzione y (x) non è altro che l'equazione della retta per i nodi 2 e 3x

• − x x − xy − y 2 22 = → y = y + (y − y ) (21)2 3 2y − y x − x x − x3 2 3 2 3 2e, quindi, [ ]x − x 2+yN = N (x, y(x)) = a + b x + c (y − y ) (22)2,2−3 2 2 2 2 2 3 2x − x3 2 ][ x − x 2= N (x, y(x)) = a + b x + c + (y − y ) (23)yN3,2−3 3 3 3 3 2 3 2x − x3 2Figure 3: Relazione tra coordinate curvilinea l e ascissa x.
• Effettuando il seguente cambio di variabile l → x e quindidx √ √21 + tan α = dx 1 + y (x) , (24)dx = dl cos α → dl = = dx 2′cos α∫ (x, y(x))dl diventa:Nl’integrale di linea 2l 2−3 x 1∫ 3 √(x, y(x)) . (25)N l1 + y (x) dx =2′2 2−32x 2 8 ∫
• Stesso risultato si può dimostrare si ottiene anche per (x, y(x))dl = l /2.N 3 2−3l 2−3In definitiva, il vettore delle forze nodali equivalenti si esprime come

00            l ff 2−3   1  xx 2 l== (26)f e 2−32l ff 2−3   y y  2       l ff   2−3   xx   2       lf f  2−3   y y2cioè, il carico uniforme applicato sul bordo si equiripartisce sui due nodi del bordostesso.2 Elemento triangolare quadraticoPer ragioni legate alla geometria che si vuole discretizzare (che, ad esempio, potrebbeavere dei contorni curvi) e/o alla precisione di calcolo desiderata, è possibile ricorrereall’utilizzo di elementi triangolari con funzioni di forma quadratiche.Figure 4: Elemento triangolare a 6 nodi.9In questo caso, nella costruzione dell’elemento sarà necessario considerare dei nodiaggiuntivi posizionati sulla mezzeria di ogni lato (si veda Figura 4).

1. Funzioni di forma

Dalla definizione di coordinata di area, con riferimento ad esempio alla coordinata L, è immediato capire che tutti i punti che giacciono su rette parallele al bordo 2-3 (su cui L1 assume valore nullo) sono a L costante. In particolare, sui punti della retta parallela al bordo e passante per i nodi 1 e 2, L1 assume valore pari a 1/2, mentre assume valore unitario sulla retta parallela al bordo 2-3 e passante per il nodo 1. Analogo ragionamento può essere ripetuto per L2 e L3.

Per determinare le funzioni di forma è comodo in questo caso usare il metodo di ispezione. A tal proposito, in relazione alla funzione N, per la δ-function property essa deve assumere valore nullo su tutti i nodi tranne che sul nodo 1, dove N1 = 1.

dovendo essere pari a 0 sui nodi 3, 5 e 2, ovvero dove L è nulla, dovrebbe esserci sicuramente un termine (L - 0) in modo che nell'espressione di N quando L è nulla lo sia anche N. Inoltre, N deve essere nulla anche sui nodi 4 e 1 pari a 1/2. Ci sarà pertanto anche un termine del tipo (L - 1/2).6, ovvero per L = 1.

Quindi per N, possiamo scrivere:

(27) = c(L - 0)(L - N)

La costante c può infine essere calcolata, osservando che per L = 1 deve risultare N = 1, cioè:

(28) c = 2

E, in definitiva:

(29) 1 = 2L (L - N)

Analogamente per le funzioni di forma N2 e N3, si ottiene:

(30) N2 = 2L (L - 2)

(31) N3 = 2L (L - 3)

Reiterando il ragionamento per la funzione N4, possiamo osservare che essa dovrà annullarsi per L = 0 e L = 1, e quindi avrà espressione della forma: N4 = c (L - 0) (L - 1). Inoltre,

dovendo essere N = 1 per L = L = 1/2, si ricava1 2 4 1 2c = 4.Indefinitiva, per N avremo4 = 4L L (32)N 4 1 2e similmente = 4L L (33)N 5 2 3N = 4L L . (34)6 1 3Note le funzioni di forma, il calcolo della matrice di compatibilità, e di quelle dirigidezza e delle masse (che si lascia per esercizio al lettore), può essere effettuato conprocedura identica a quella già vista per l’elemento triangolare lineare.

3 Elemento rettangolare lineare

Si consideri l’elemento rettangolare a 4 nodi mostrato in Figura 5.Avendo 2 gradi di libertà per nodo, il numero totale di gradi di libertà perl’elemento sarà pari a 8 e le matrici di rigidezza e delle masse saranno quindi diordine 8.

Si indichino con 2a e 2b rispettivamente la base e l’altezza del rettangolo.Per comodità risulta utile introdurre un sistema di coordinate normalizzate, dettecoordinate naturali: x − x y − yO O′ ′, η = . (35)ξ = a b11

5: Elemento rettangolare a 4 nodi. Essendo il centro geometrico dell'elemento e origine del nuovo sistema di riferimento. Nel nuovo sistema di coordinate naturali, l'elemento rettangolare viene mappato nel quadrato mostrato in Figura 6.3.1.

Funzioni di forma

Le funzioni di forma, nel riferimento di coordinate naturali, possono essere determinate per ispezione. Ad esempio, per la funzione di forma N, si ha che deve annullarsi nei nodi 2, 3 e 1, sarà del tipo:

N4, 1N = c(1 - ξ)(1 - η) (36)

(−1, −1) = 1, cioè:

dove la costante c è ricavabile imponendo che N1 1c(1 - (−1))(1 - (−1)) = 1 → c = .4

Lo stesso procedimento può essere ripetuto per le altre funzioni di forma, ottenendo così:

1 (1 + ξ)N = ξ)(1 + η η) i = 1, ...4 (37)

i i i4 12

Figure 6: L'elemento rettangolare nel riferimento di coordinate naturali viene

map-pato in un quadrato., η sono le coordinate naturali del nodo i-esimo.dove ξ i i3.2 Matrice di rigidezza k eLa matrice di compatibilità è per definizione = dove la matrice degli oper-B L N,atori differenziali è composta dalle derivate fatte rispetto alle coordinate fisiche.LLe funzioni di forma, tuttavia, sone espresse in termini delle coordinate naturalidell’elemento. Per cui avremo∂N ∂N ∂N ∂N ∂N 1∂x ∂y ∂Ni i i i i i= + = a → = (38)∂ξ ∂x ∂ξ ∂y ∂ξ ∂x ∂x a ∂ξe ∂N ∂x ∂y ∂N∂N ∂N ∂N ∂N 1 ii i i i i= + = a → = (39)∂η ∂x ∂η ∂y ∂η ∂y ∂y b ∂ηDerivando, pertanto, le (37) si ottiene1∂N i = ξ (1 + η η)i i∂ξ 4e 1∂N i = η (1 + ξ ξ) (40)i i∂η 413e quindi  1−η 1−η 1+η 1+η0 0 0 −

0− a a a a  1  1−ξ 1+ξ 1+ξ 1−ξ . (41)= =B LN 0 − 0 − 0 04 b b b b  1−ξ 1−η 1+ξ 1+η1−η 1+ξ 1+η 1−ξ− − − −  b a b a b a b ae le tensioni σ = ε varieranno linear-Ne consegue che le deformazioni ε = cB d emente all’interno dell’elemento.

La matrice di rigidezza si ricava dalla definizione+1 +1∫∫ ∫ ∫T T T= dA = dx dy = ab dξ dη (42)k B Bc B c B B c Be A A −1 −1e eavendo effettuato il cambio di variabili x → ξ e y → η e osservato chey − yx − x OO ′ ′ξ = → dx = adξ η = → dy = bdη. (43)a b

In questa forma l’integrale è facilmente risolvibile mediante la regola di inte-secondo cuigrazione di Gauss, m+1∫ ∑f (ξ)dξ = w f (ξ ) (44)i i−1 i=1cioè l’integrale

La funzione nell'intervallo ξ ∈ [−1, 1] è pari alla somma dei valori, detti pesata conche la funzione assume in determinati punti ξ punti di Gauss, iopportuni c