Appunti di Teoria delle Strutture - Parte 10 (metodo degli elementi finiti, problema flessionale, assiale+flessionale)

MATLAB:

Devo definire due directory (dove prendo i dati di input).Definisco un file di output.f = selector('dir', 'coord.txt') -> prendo i dati input dalladirectory.load (id) -> carico dati input.vel = ? -> collega al nodo per elemento.Tabella dei nodi: nodo, Nodi, spostamento xxx.

PROBLEMA FUNZIONALE (EB) 16/05/2023Effetto PendoloMODULO EB -> TRAVI SOTTILI h << LMODULO TIKHONENKO -> TRAVI TOZZE (se h < L allora EB)

• Nella teoria monodimensionale varie derivano.Spostamenti: u -> in direzione x σ -> in y w -> in z
• Nei domini finiti sono:Spostamenti: u -> in direzione x asse θ σ -> in altezza y flessionale w -> in direzione y flessionale /piano

ψ = σ' /non ψ = - σ'

Quale funzione d’elemento finito?

Parametri cinematici sono:(scontro orizzontale verticali rotazionale)-> 2 GDL

• σ(x_A) = σ^Eσ(x_B) = σ^B
• φ(x_A) = - σ^Eφ(x_B) = φ^E

Q^e=T(x_A)

Q^e=-T(x_B)

Q^e=-M(x_A)

Q^e=M(x_B)

σ(x)=σ₁ψ₁(x)+σ₂ψ₂(x)+σ₃ψ₃(x)+σ₄ψ₄(x)

φ(x)=σ′(x)=σ₃ψ₁(x)+σ₂ψ₂(x)+σ′(x)=σ₃ψ₃(x)+σ₄ψ₄(x)

Devo imporre delle condizioni:

Voglio che: σ(x_A)=σ₁ e che φ(x_A)=σ₂

σ(x_B)=σ₃ e che φ(x_B)=σ₄

Allora:

ψ₁(x_A)=1

ψ₂(x_A)=0

ψ₁'(x_A)=0

ψ₄'(x_B)=1

Quindi:

• ψ(x_A)=σ₁ ⇒ ψ₁(x_A)=1

• φ(x_B)=σ₄ ⇒ φ_B=σ₃

ψ_i(x)=a_i+b_ix+c_ix³

4 parametri incogniti da determinare

Ottengo dei polinomi di interpolazione → POLINOMI DI HERMITE

PROBLEMA ASSIALE + FLESSIONALE (problema delle travi coupled)

L'energia potenziale totale è data dalla parte assiale più parte flessionale.

Idea:

u_x = u(X) - yφ'(X) = U(X) - ye^-1(X) , ε = U'

u_y = U(Y) → problema flessionale

u_z = 0

Nel caso dell’elemento finito aria:

Parametri nodali:

• u(X₁) = u₀ → ϕ₁(X_A) = 1, ϕ₄(X_A) = 0
• u₂(X₁) = 0 → ϕ₂(X_A) = 1, ϕ₅(X_A) = 0
• u(X₂) = u₃ → ϕ₃(X_A) = 0, ϕ₆(X_A) = 0
• u(X₃) = u₄ → ϕ₄(X_A) = 0, ϕ₃(X_A) = 1
• u(X₄) = u₅ → ϕ₅(X₃) = 0, ϕ₄(X₃) = 0
• u(X₅) = u₆ → ϕ₆(X₅) = 1

Le forze nodali sono:

• Q_e^x = -N(X_A)
• Q_e² = T(X_A)
• Q_e³ = -M(X_A)
• Q_e⁴ = N(X_B)
• Q_e⁵ = -T(X_B)
• Q_e⁶ = M(X_B)

Approssimazione dell’elemento:

U = U₁ϕ₁ + U₂ϕ₂ azione di forze, rilievo di risultati

* U = U₂ + U₃ + U₅ + U₆ + U₅ + U₆

ε = u, ε = u₁ϕ₁ + u₂ϕ₂ "ϕ₅"

x = -u₁ϕ₂ + u₂ϕ₃ + u₄ϕ₅ "ϕ₆"

ψ(x) = ax + b

ϕ(x) = 2x + 2bx + c

+ c_a + c_b

L'energia potenziale totale sarà:

Il problema flessionale → oscillazione per approssimazione

Per calcolare k posso usare anche il metodo degli spostamenti.Preso il generico elemento della Trave lo sblocco con il vincolo da cui nascono le porti e.g. fisso lo spostamento μ₁, poi e 1 e μ₂ = 0.Successivamente, il caso opposto μ₁ = 0 e μ₂ = 1. In questo modo calcoliamo le reazioni dei vincoli che saranno rispettivamente la prima colonna della matrice di rigidezza del caso 1 e le 2ᵃ colonna del caso 2.

k = μ_i^(e) F_i^(e)

μ_i^(e) = (μ_i^(e))

CASO 1 : { μ₁ = 1, μ₂ = 0 }K =

• K₁₄ K₁₂
• K₂₄ K₂₂

1/e 2

CASO 2 : { μ₁ = 0, μ₂ = 1 }

• K₁₁ K₁₀
• K₂₁ K₂₂

[0] 1 = [K₁₂ K₂₂]

1/e

EAμ' = 0μ = ax + bμ(x=0) = 1, -> b = 1μ(x=h_e) = 0, -> ah_e + b = 0, -> a = -1/h_eμ = 1/h_e x + 1

N = EA dμ/dx = -EA/h_c -> [ - ]