Appunti di Teoria delle strutture Parte 11 (metodo degli elementi finiti problema flessionale di Timoshenko)

Trave inflessa con deformazione a taglio (Timoshenko)

A_S = KA → prove di corrosione e taglio

Spostamento

u_x = ψ(x) in direzione asse travev’ = ε(x)γ = ϕ(x)

γ = ∂u / ∂x + ∂v / ∂y → ε(x) - ϕ(x)

Introduco parametri cinematici

• V_2^(e) = V_A
• V_3^(e) = V_B
• ϕ_2^(e) = ϕ_A
• ϕ_3^(e) = ϕ_B
• s_2^(e) - ϕ_A
• U_3^(e) = -U_B
• ϕ_2^(e) = - ϕ_B

Le forze nodali sono:

• S_3^(e) = S_2^(e)
• Q_2^(e) = T_A
• S_2^(e) = -H_A
• Q_0^(e) = -T_B
• S_0^(e) = -M_B

Le forze nodali sono connesse con le caratteristiche della sollecitazione!

Faccio un passaggio di coordinate

Coordinate localiSistema di riferimentoDi curvatura

Come si calcola il cambio di coordinate?

X_a, X_b → ξ=-1

X_b, X_a → ξ=1

x = X_a &left(;√&xi+1&xr;&right; over 2&vrt;>

+ X_b &left(1+ξ

&10;)

2X(ξ= −1) = X_a+X_ξ0;

X(ξ=1) = X_b+X_a+ξ0

Selecta:

x(ξ) = x_aω₁(ξ) + x_b ω₂(ξ)

Definizione.

dx over dξ → dx = Jdξ → dξ over dx = J →

∫

Giacitura.

Vaglio, introduzione della legge sol. sist. di riferimento in ξ.

Tra quei due coordinate iniziali e poi faccio il passaggio:

Π(y,φ) = 1 over 2∫_Xa^X_b EIη²dx

+ 1 over 2∫_Xa^X_b

GA (ψ_x)² dx

Termine flessibile (de no in es).

Φ (esercizio interno)

x^{_(valverde delle cocchie)}

Per h che tende a zero:

• FF primo termine è frizionale del tipo h² posto α-1 e quindi come mostra il grafico, per h che tende a zero il primo termine tende a zero

• FF secondo termine tende a zero per h che tende a zero.

Avviene, al contrario della soluzione continua, la soluzione FEH fa rendere a zero lo spostamento quando h tende a zero.

Si ha così il fenomeno del LOCKING che consiste in una struttura degli spostamenti troppo smorzata (troppo rigida). La struttura blocca se stessa contro le deformazioni.

Numericamente l’origine del Locking è dovuta al mal condizionamento del sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali. All’interno delle equazioni ci potrebbero essere dei parametri molto piccoli (proprietà critica) che portano ad elevati coefficienti nel sistema discretizzato di equazioni.

MARCE DI RICERCA – CALCOLO AUTOVALORI E AUTOVET

eq=[eq₁, eq₂, eq₃, eq₄]; mmk=[m₁₁, om₁, om₂, phi₁₂]; kk=symm([eqs],[a,l]); for i=1:3:4 for j=3:3:4

MATLAB 3^o coordinazione statica

estraggo la matrice di rigidezza

(Ricordo che k_us k_ut)

Applico la definizione di k^* e calcolo gli autovalori e autovettori.

I primi 2

sono nulli

(anche solo

per rotazioni)

• Traslazione
• Rotazione
• rigida
• rigida
• Per si hanno.
• Definizione
• Deformazione
• Flessuale
• Reale
• Pr
• eta
• (0,0)
• (0,1)

NON É AFETTA DA LOCKING!

Nel problema assiale + problema flessionale uno:

• eq assiale
• eq flessionale
• eq flessionale

ESERCIZIO K Continua...

%nd numero di nodi

nd = size(nodi,1)

%ne numero degli elementi

ne = size(elem,1)

% nd numero di gradi di liberta per nodo ndl = 2