Appunti completi "Progettazione e Costruzione di Macchine"

Progettazione e

Costruzione di Macchine

Tubi in pressione, piastre, gusci e dinamica strutturale

Prof. Claudio Braccesi – Ing. Luca Landi

A.A. 2015/2016

S

OMMARIO

I. RECIPIENTI IN PRESSIONE .................................................................................................... 1

1 Recipienti sottili ....................................................................................................................... 1

2 Recipienti spessi ....................................................................................................................... 5

3 Accoppiamento forzato albero-mozzo ................................................................................... 13

4 Recipienti forzati (blindatura recipienti sotto pressione) ....................................................... 15

5 Accoppiamento albero-mozzo con ruota dentata (ferma) ...................................................... 18

6 Elementi rotanti delle macchine ............................................................................................. 21

Disco sottile rotante ......................................................................................................... 21

Disco spesso rotante ........................................................................................................ 22

Ruota dentata alleggerita rotante ..................................................................................... 26

II. LE PIASTRE.............................................................................................................................. 28

7 Piastre sottoposte a flessione pura ......................................................................................... 28

8 Relazioni tra momenti flettenti e curvature ............................................................................ 32

9 Casi particolari di flessione pura ............................................................................................ 34

10 Calcolo delle sollecitazioni .................................................................................................... 36

CASO 1: Flessione pura con momenti concordi m = m = m e m = 0 .................... 37

x y xy

CASO 2: Flessione pura con momenti discordi m = - m = m e m = 0 ................... 38

x y xy

CASO GENERALE: Piccole deflessioni in piastre caricate lateralmente ................... 39

Condizione di vincolo: Lato x = a ................................................... 41

INCASTRATO

Condizione di vincolo: Lato x = a ................................................... 41

APPOGGIATO

Condizione di vincolo: Lato x = a ........................................................... 41

LIBERO

CASO PARTICOLARE: Piastre rettangolari semplicemente appoggiate .................. 43

III. GUSCI CILINDRICI ............................................................................................................. 45

11 Teoria generale dei gusci cilindrici ........................................................................................ 45

Equazioni indefinite di equilibrio: ............................................................................... 46

Equazioni di congruenza .............................................................................................. 48

Equazioni di legame ..................................................................................................... 48

Equazione risolvente .................................................................................................... 49

12 Casi particolari ....................................................................................................................... 50

Cilindro sollecitato solo all’estremo x = 0 ................................................................... 50

Cilindro con carico circonferenziale, in una certa sezione .......................................... 52

Cilindro con pressione interna ..................................................................................... 53

Cilindro senza tappi .............................................................................................. 53

Cilindro con due tappi piani ................................................................................. 53

Cilindro con tappi sferici ...................................................................................... 54

Serbatoio cilindrico incastrato alla base ....................................................................... 56

Tappi e flange............................................................................................................... 57

IV. DINAMICA DELLE STRUTTURE ..................................................................................... 58

13 Sistemi ad 1 g.d.l. ................................................................................................................... 58

Casi particolari di sistemi ad 1 gdl ............................................................................... 61

≠

Caso 1: C.I. nulle e f(t) 0 ................................................................................... 61

≠ ẋ

Caso 2: x (0) 0, (0) = 0 e f(t) = 0..................................................................... 61

ẋ ≠

Caso 2: x = (0) 0, (0) 0 e f(t) = 0..................................................................... 61

ẋ

Caso 2: x = (0) 0, (0) = 0 e F(s) = 1 ................................................................... 61

≠

Caso 2: C.I. 0 e F(s) = 0 .................................................................................... 63

Analisi della funzione di trasferimento H(s) ........................................................ 64

Sistema ad 1 gdl: risposta in regime sinusoidale ......................................................... 66

Risposta in frequenza ............................................................................................ 69

Risposte in velocità ed accelerazione ................................................................... 72

14 Trasmissibilità ........................................................................................................................ 74

Applicazioni della trasmissibilità ................................................................................. 75

15 Sistemi a molti gradi di libertà ............................................................................................... 77

Analisi modale ............................................................................................................. 78

Applicazione: Trave ..................................................................................................... 83

Troncamento modale.................................................................................................... 86

16 Matrici di rigidezza ................................................................................................................ 88

Metodo degli spostamenti imposti ............................................................................... 88

Metodo delle forze imposte .......................................................................................... 90

Metodo F.E.M .............................................................................................................. 92

17 Metodo agli elementi finiti ..................................................................................................... 93

Matrice di rigidezza dell’elemento finito ..................................................................... 94

Elemento finito: A ........................................................................................... 96

STA

Elemento finito: T ........................................................................... 97

RAVE INFLESSA

Elemento finito: T ...................................................................... 102

RAVE COMPLETA

Partizione della matrice di rigidezza ................................................................... 104

Matrice di struttura ..................................................................................................... 105

ESEMPIO: sistema di aste schematizzato con molle ......................................... 107

Riferimenti globali di struttura ........................................................................... 108

Risoluzione del problema statico ............................................................................... 110

Matrice di massa ........................................................................................................ 111

Elemento particolare: ASTA .............................................................................. 111

Elemento particolare: TRAVE INFLESSA ........................................................ 112

Metodi di riduzione dei gradi di libertà ..................................................................... 112

Riduzione di Guyan ............................................................................................ 113

Riduzione di Graig-Bampton .............................................................................. 114

I. RECIPIENTI IN PRESSIONE

1 R

ECIPIENTI SOTTILI ≪ ,

Si consideri un recipiente di forma cilindrica, raggio interno , spessore , lunghezza in cui

>

vi è una pressione interna omogenea , di cui si vuole calcolare lo stato di sollecitazione.

1

L’ipotesi ≪ 1 <

(solitamente si assume ossia il raggio deve essere almeno cinque volte lo

5

spessore) permette di calcolare con buona approssimazione le tensioni trascurando la flessione della

parete; si suppone quindi che le tensioni tangenziali di trazione sulle pareti siano costanti lungo lo

spessore (stato di tensione membranale).

Sfruttando la simmetria, si seziona il cilindro con un piano diametrale; tutte le pressioni infinitesimali

agenti perpendicolarmente sulla superficie interna danno luogo a una risultante normale al piano di

verso l’esterno, per l’area diametrale

2:

sezione, rivolta di intensità pari al prodotto di

= sin = sin = 2

0 0

E’

da notare che le componenti verticali delle forze infinitesime si sommano poiché tutte

concordi, mentre quelle orizzontali si elidono a due a due poiché di segno opposto: per questo motivo

.

nella formula compaiono solo i termini con

Affinché la metà del recipiente sia in equilibrio, agiscono sulle due sezioni delle pareti (ognuna di

)

area due tensioni circonferenziali , costanti in virtù dello spessore esiguo del serbatoio, in verso

.

contrario a Si ottiene per confronto:

2 = 2 → = ≫

pag. 1

= −

Oltre alle tensioni circonferenziali, sulla superficie interna agisce una tensione radiale

= 0

(negativa perché risulta una compressione per il cilindro), che decresce fino a sulla superficie

esterna (non agiscono pressioni).

In un cilindro chiuso alle estremità esistono anche delle tensioni assiali. Sezionando ora il cilindro

con un piano radiale, si osserva che genera sul coperchio una forza longitudinale rivolta verso

l’esterno, di intensità: 2

=

Per lo stesso ragionamento fatto prima, devono agire due tensioni assiali dirette in direzione

ed effettuando nuovamente l’equilibrio si ha 1

; ≪ ,

opposta rispetto a poiché :

2

2 = → =

2

Le 3 tensioni giacciono su 3 piani mutuamente ortogonali, per cui nel sistema di riferimento di assi

le direzioni circonferenziale, assiale, radiale, si ottiene un tensore delle tensioni principale. Per i

volumi infinitesimali sulla circonferenza interna (i più stressati) risulta:

0 0

0 0 .

> >

Con

0 0

= =

0 0

0 0 2

0 0 −

Applicando il criterio di Tresca si ottiene:

= − = ( + 1) ≅

deriva dallo sviluppo in serie di Taylor dell’espressione dell’area di un cerchio cavo

1 2

Il termine

arrestato al primo ordine. pag. 2

Questa tensione andrà confrontata con la del materiale, il quale, onde evitare pericoli in caso di

rottura, dovrà essere duttile.

Nelle zone prossime ai fondi, allo stato di tensione trovato si sommano tensioni di perturbazione

provocate dei fondi stessi (o dalle chiusure flangiate), dipendenti evidentemente dalla forma di questi.

Un cilindro contenente gas in pressione si espande e i vari punti subiscono spostamenti radiali che,

= ().

data la simmetria del problema, risultano al più dipendenti dal raggio, cioè Tuttavia,

≪ ,

considerato che ci si aspetta che tutto il cilindro si espanda alla stessa maniera Figura 1-1(u

non dipende da r), dando luogo ad uno spostamento rigido radiale senza deformazione:

= =0

Per quanto riguarda la deformazione circonferenziale (allungamento relativo della circonferenza), si

ha: 2( + ) − 2

= =

2

si ricorre all’equazione di legame 2

Per calcolare , trascurando la sollecitazione radiale :

2

1 1

= − = [ (1 − )] = → = = (1 − )

2 2

>

In caso di , le relazioni sono le stesse, ma è il raggio esterno ed è necessario cambiare i

segni.

Da ricordare che se si parla di recipienti in pressione, la tensione assiale ci sarà sempre, invece se

quest’ultima sarà nulla.

siamo in presenza di accoppiamenti forzati albero-mozzo

p

Figura 1-1 Espansione radiale di un cilindro per effetto della pressione

Per effettuare il dimensionamento deve essere:

≤ ⟹ ( + 1) ≅ ≤

La teoria dello stato di tensione membranale (quella fin qui sviluppata) vale solo ad una sufficiente

distanza dalle discontinuità di forma quali tappi, aperture etc. (i tappi devono sopportare sforzi

maggiori quindi si realizzano con spessori variabili, di conseguenza si generano tensioni disuniformi).

2 Equazioni di legame generiche: 1

= [ − ( + )]

1 )]

= [ − ( +

1

= [ − ( + )]

pag. 3

= √.

La distanza oltre la quale la teoria cade in difetto è si cambia l’ordine delle tensioni in questo modo:

Se la pressione invece che interna al tubo è esterna, − 0 0

0 0

0 − 0

0 0

= = 2

0 0

0 0 −

La tensione ideali massima la si ha sempre per il valore nullo della e quindi nella superficie interna

del tubo:

= − = − − (− ) = −

pag. 4

2 R

ECIPIENTI SPESSI

Nei cilindri di grosso spessore non si può ammettere il comportamento membranale e deve essere

considerata la variazione della tensione circonferenziale lungo il raggio; inoltre non si possono

trascurare le sollecitazioni radiali (nel caso in cui la pressione agisca internamente, in

= − = 0).

corrispondenza del raggio interno si ha e di quello esterno

Preso un cilindro indefinito, soggetto a pressione interna, si isoli un semicilindro di spessore

,

infinitesimo a distanza dal centro, ottenuto mediante tagli con un piano diametrale e con due

superfici cilindriche coassiali al cilindro spesso.

Le azioni presenti sulla calotta interna ed esterna del semicilindro di spessore infinitesimo, sono le

interazione dovute al materiale non considerato. L’equilibrio orizzontale è garantito, come prima,

dalla simmetria del problema.

l’equilibrio

Per verticale, in direzione perpendicolare al piano diametrale, si ha:

(

2 ( + ) + ) − 2 − 2 = 0

2

Dividendo per e svolgendo i conti:

2

+ + + − − = 0

2 si ottiene l’equazione 3

Trascurando il termine in e dividendo per indefinita di equilibrio :

( )

− + =0

Essendo un problema elastico, alle equazioni di equilibrio, per trovare la soluzione, vanno aggiunte

le equazioni di congruenza e di legame.

Per quanto riguarda le equazioni di congruenza si ha che il cilindro infinitesimo si gonfia variando di

= ()

raggio, indicheremo tale variazione con u (la funzione ancora incognita, ma verrà

determinata con la soluzione del problema elastico).

che garantisce l’equilibrio dell’elementino, in coordinate

3 È un equazione differenziale nelle componenti di tensione

cilindriche pag. 5

Sotto l’azione della pressione, ;

ogni punto del semicilindro si sposta radialmente di una quantità

trascurando gli effetti di (e quindi ) si introducono ora le equazioni di:

Congruenza:

= =

E di legame (la tensione assiale &egr