Appunti completi "Progettazione e Costruzione di Macchine"

QUAZIONE DI LEGAME

Anche le tensioni, come le deformazioni, sono state definite tramite un vettore 6x1; [D] è la matrice

ν

di legame elastico che contiene i coefficienti E ed tali da soddisfare la precedente relazione. Quindi

sostituendo: {()} {}

= () E +

QUAZIONE DI LEGAME CONGRUENZA

Quindi il vettore delle deformazioni unitarie in ogni punto dell’elemento ed il vettore delle tensioni,

possono essere espressi, attraverso matrici di funzioni, in funzione degli spostamenti nodali.

elastico manca ancora l’equazione di equilibrio che si introduce con il

Per risolvere il problema

teorema dei lavori virtuali adattato nella forma degli spostamenti virtuali (così facendo esprimo tutto

in funzione degli spostamenti nodali).

Introduciamo nell’elementino che discretizza il corpo:

{ }

- Campo di spostamenti nodali virtuali

{}

- Campo di forze equilibrate

In pratica, assunto un campo di spostamenti virtuali nodali dobbiamo avere che le forze nodali

compiono un lavoro che è il lavoro esterno introdotto nel sistema, che dovrà uguagliare il lavoro

interno fatto dalle componenti di tensione.

{} } {}

= −{} ∙ e = { ∙

48 Il tensore delle deformazioni di un generico punto di un corpo è un tensore simmetrico a nove componenti, di cui solo

{()} {()}

=

sei indipendenti, è definito come la derivata del campo di spostamento e può essere scritto come:

o anche nella sua

{()}

() = =

forma vettoriale

{ }

pag. 95

I due contributi sono entrambi scalari, V è il volume dell’elementino e sostituendo 49

a :

{} {}

= () e

} {}}

{ = { () = {} si ha:

({} {})

= ∙

Per il teorema dei lavori virtuali si eguagliano i due contributi ottenendo:

{} ({} {})

= → −{} ∙ = ∙

{}

{}

I vettori e non dipendono dal dominio di integrazioni e quindi posso portarli fuori

dall’integrale; uguagliando e semplificando rimane la matrice di rigidezza [k]:

{} ( ) {}

−{} ∙ = {} [ ∙ ]

⏟

{} {}

=

Quindi essendo avremo che:

( )

= ∙ ( 17-2 )

di quelli visti in precedenza, l’unica

Il procedimento seguito ora, per trovare [k], è molto più generale

[N(P)] dell’elemento.

complicazione sta nel trovare le funzioni di forma

Elemento finito: A

STA

L’asta è l’elemento più semplice perché presenta due soli nodi ed un solo g.d.l. per nodo

 Matrice di forma dell’elemento

() = [(1 − ) ; ]

Notiamo, solo per inciso, che le due funzioni di forma dell’asta corrispondono alla deformata dell’asta

col primo nodo spostato di 1 e l’altro bloccato ed il secondo nodo spostato di 1 e l’altro bloccato,

ovvero richiamano il procedimento adottato al paragrafo precedente per trovare la matrice di

rigidezza.

 Eq. Di congruenza

dell’asta

Nel caso abbiamo una sola deformazione unitaria, quella lungo x, quindi avremo a che fare

con una sola derivata che sarà totale e non parziale:

1 1

() = [1 − ; ] = [− ; ]

Quindi l’equazione di congruenza per l’asta sarà:

49 =

La seconda relazione è valida secondo la regola delle trasposta di un prodotto di matrici: pag. 96

1 1 1 ∆

1 2

1

() {} ( )

= () = [− ; ] { } = − + = − =

2 1

2

lungo l’asta e si ritrova la definizione = ∆/.

La deformazione è costante

 Eq. di legame + congruenza

Per l’asta soggetta a sforzo normale abbiamo visto che la funzione di forma è lineare (polinomio di

1° grado) e non differisce dalla funzione di forma esatta trovata dalla teoria della trave soggetta a

sforzo normale.

L’equazione di legame in questo caso sarà (E è il modulo elastico del materiale):

1 1

{()} {}

= {()} = [− ; ]

 Eq. di equilibrio e determinazione di [k] dell’asta =

Applicando quanto ricavato dal principio del lavori virtuali al caso si ha che e

quindi è la matrice di legame elastico si riduce ad uno scalare, mentre la matrice [B] è nota da prima.

Invece di fare l’integrale di volume i questo caso, essendo le grandezze costanti su ogni sezione

possiamo trasformarlo in integrale di linea, cioè 50

= ,

dell’asta, quindi :

1

−

1 1 1 −1

= ([ ] ∙ [− ; ]) = [ ] →

1 2 −1 1

0 0

1 −1

= [ ]

−1 1

esatta dell’asta in sforzo normale; la matrice di rigidezza esatta

Quella trovata è la matrice di rigidezza

è possibile trovarla anche per trave inflessa (elemento di tipo trave soggetto flessione), ma non è

possibile determinarla per la maggior parte degli elementi (come gli elementi di piastra) in modo

esatto ma solo in modo approssimato e l’accuratezza di tale approssimazione, come si vedrà è tanto

migliore quanto più fine e la discretizzazione del corpo completo da studiare.

Elemento finito: T

RAVE INFLESSA

Come visto per l’asta anche la trave è schematizzabile con la sua linea d’asse e questa interagirà con

51

il mondo esterno e con gli eventuali elementi adiacenti solo attraverso i suoi due nodi estremi 1 e 2 .

Definisco un sistema di riferimento di elemento x-y; la trave inflessa si schematizza come segue:

1 1 1 1

− − −

1 1 1 1 2 2

50 = [− ; ], ∙ [− ; ] =

Essendo la trasposta varrà: ; inoltre il prodotto

1 1 1 1

− 2 2

51 Da ciò deriva che non posso mettere carichi al di fuori dei nodi o collegare altre travi in punti che non siano i nodi stessi

pag. 97

E’ un elemento a due nodi con due g.d.l. per nodo che sono lo spostamento lungo y e la rotazione

52

attorno a z. Sui nodi si applicano le forze di taglio in direzione y ed i momenti attorno a z .

Abbiamo: Vettore forze nodali

Vettore spostamenti nodali

1

1 { }

{ }

1

1 {} = { }

{} = { }

2 2

{ } { }

2 2

In altre parole un punto P qualsiasi dell’asse della trave si sposterà solo in direzione y e ruoterà solo

attorno a z ed i suoi spostamenti saranno descritti da:

(2,1) (2,4) (4,1)

⏞

() ( 17-3 )

⏞ ⏞

{()} {}

= { } = ()

()

C’è la necessità di determinare tutte ed otto le funzioni di forma N(P) con cui costruire la matrice

delle funzioni di forma [N(P)] che lega gli spostamenti nodali {x} con quelli del generico punto P

Come visto per l’asta si deve imporre un campo di spostamenti tutto nullo eccetto uno

della trave.

si deve scrivere quindi l’equazione della funzione di

unitario e forma.

() ()

I termini non sono altro che la linea elastica della trave inflessa, mentre i termini non sono

()

() =

altro che la derivata prima della linea elastica: .

L’equazione della linea elastica che si utilizza (senza andare a risolvere ogni volta la struttura) è quella

del IV ordine: 4

= + =0

4

Per il momento considero che non ci sia carico distribuito applicato lungo la linea d’asse della trave;

se si dovesse essere, la trattazione analitica non cambia, ma cambierebbero soltanto i valori delle

costanti di integrazione. Integrando quattro volte tale relazione, si giunge all’equazione della linea

elastica, che per essere risolta, ha bisogno di quattro costanti.

3 2

Eq. Funzione di forma di 3° grado

() = + + +

6 2

2

Eq. Funzione di forma di 2° grado

() = = + +

2

Queste quattro costanti saranno determinate tramite quattro condizioni al contorno, due per ogni nodo.

Quindi lo spostamento lungo la direzione y sarà dato dalla funzione di forma esatta è un polinomio

di 3° grado e la rotazione intorno a z sarà data da una funzione di forma esatta che è un polinomio di

52 In questo particolare esempio si considera la trave sottoposta a flessione pura, perciò si trascureranno eventuali sforzi

normali e torsionali; la trave completa sarà trattata in seguito. pag. 98

2° grado. Ora si andrà a determinare le condizioni al contorno al fine di ricavare i valori di tali

53

equazioni funzioni di forma :

 () ()

=

Primo campo di spostamenti: 11 11

1

0

{} = { } 1

0 2

1

0

Infatti questo campo di spostamenti ci dice che il nodo 1 si sposta in direzione y di 1, e che lo

stesso nodo 1 ha rotazione nulla (bipendolo) mentre il nodo due a entrambi gli spostamenti

nulli (incastro). Le condizioni al contorno le posso scrivere come:

(0) = 1 (0) = 0 () = 0 () = 0

Introducendole nella equazione della linea elastica avrò:

(0) = 1 → =1

(0) = 0 → =0

3 2

6

() = 0 → + + = 0 → = − 2

6 2

2

12

() = 0 → − + + = 0 → =−

{ 3

2

Quindi: 2 3

3 2

()

() = = − +1

11 3 2

 () ()

=

Secondo campo di spostamenti: 12 12

0 45°

1 1

{} = { }

0 2

1

0<