Appunti Progettazione agli Elementi Finiti di Strutture Meccaniche (PEFSM) + Esercizi

Parte I: richiami di meccanica dei solidi

Equazioni di governo per il solido elastico 3D

Lo stato deformativo di un corpo è comunemente descritto per mezzo del tensore delle deformazioni, mentre il suo stato tensionale dal tensore degli sforzi. Entrambi i tensori sono simmetrici e del secondo ordine, quindi con 6 componenti indipendenti. Per comodità di notazione, i campi delle deformazioni e delle tensioni verranno rappresentati mediante l’utilizzo dei seguenti vettori:

• T {σ}; - vettore delle tensioni σ = (σ_xx, σ_yy, σ_zz, σ_yz, σ_xz, σ_xy)
• T {ε}; - vettore delle deformazioni ε = (ε_xx, ε_yy, ε_zz, ε_yz, ε_xz, ε_xy)

I problemi di meccanica dei solidi sono comunemente descritti attraverso le:

• Equazioni di congruenza;
• Equazioni costitutive;
• Equazioni di equilibrio.

In questo corso, ci limiteremo a considerare problemi alle piccole deformazioni. Inoltre, considereremo materiali isotropi, che presentano quindi le stesse proprietà in tutte le direzioni, e linearmente elastici.

Equazioni di congruenza

Sulla base delle ipotesi sopra indicate, le equazioni di congruenza, che legano le deformazioni agli spostamenti possono essere scritte come segue:

ε_xx = ∂u/∂x; ε_yy = ∂v/∂y; ε_zz = ∂w/∂z;

ε_yz = 1/2 (∂v/∂z + ∂w/∂y); ε_xz = 1/2 (∂u/∂z + ∂w/∂x); ε_xy = 1/2 (∂u/∂y + ∂v/∂x),

dove u, v e w sono le componenti del vettore spostamento U = (u, v, w) lungo le tre direzioni cartesiane.

Introducendo la matrice degli operatori differenziali

le equazioni di congruenza possono essere scritte in forma compatta come ε = LU.

Equazioni costitutive

Per un materiale isotropo e linearmente elastico, le tensioni e le deformazioni sono legate dalla legge di Hooke σ = Cε, in cui la matrice C è la matrice costitutiva del materiale. Tale matrice ha ordine 6 ed è simmetrica (C_ij = C_ji). Pertanto, sono 21 i coefficienti indipendenti. Tuttavia, per le ipotesi fatte, in realtà i coefficienti C_ij dipendono solamente dalle 2 costanti di Lamé: λ, μ. Alternativamente è possibile esprimerli in termini del modulo di elasticità longitudinale del materiale E (modulo di Young) e del coefficiente di contrazione trasversale ν (coefficiente di Poisson). In tal caso, la matrice C assume la seguente forma:

Si noti che il termine G = E/[2(1 + ν)] è il modulo di elasticità tangenziale.

Equazioni di equilibrio

Figura 1: Tensioni agenti su un elemento infinitesimo di volume.

Al fine di ricavare le equazioni di equilibrio si consideri l’elementino infinitesimo di volume dxdydz mostrato in Figura 1. Per convenzione, con la notazione σ_ij si è indicata la tensione agente sul piano di normale i lungo la direzione j.

Scriviamo l’equilibrio delle forze lungo la direzione x:

- (σ_xx + dσ_xx)dydz + σ_xxdydz + (σ_yx + dσ_yx)dxdz - σ_yxdxdz + (σ_zx + dσ_zx)dxdy - σ_zxdxdy + f_xdxdydz = ρü_xdxdydz

dove f_x è la componente lungo la direzione x della forza di volume per unità di volume, mentre il termine al secondo membro rappresenta la componente lungo x della forza d’inerzia. Ricordando che:

dσ_xx = (∂σ_xx/∂x)dx; dσ_yx = (∂σ_yx/∂y)dy; dσ_zx = (∂σ_zx/∂z)dz

l’equazione di equilibrio diventa:

(∂σ_xx/∂x) + (∂σ_yx/∂y) + (∂σ_zx/∂z) + f_x = ρü_x

Le altre due equazioni di equilibrio lungo le direzioni y e z si ottengono analogamente:

(∂σ_xy/∂x) + (∂σ_yy/∂y) + (∂σ_zy/∂z) + f_y = ρü_y

(∂σ_xz/∂x) + (∂σ_yz/∂y) + (∂σ_zz/∂z) + f_z = ρü_z

Le tre equazioni sopra scritte possono essere messe in forma compatta utilizzando la matrice degli operatori differenziali:

LᵀLσ + f = ρÜ

Sostituendo le equazioni costitutive e di congruenza, si ottiene in definitiva:

LᵀC(LU) + f = ρÜ

Si noti che l’equazione di equilibrio statico si ottiene facilmente ponendo uguale a zero il termine di inerzia:

LᵀC(LU) + f = 0

Nei problemi comuni si vuole ricavare lo spostamento della struttura in funzione delle coordinate spaziali e temporali, ma la risoluzione del sistema di equazioni è spesso complicata. Quando possibile si ricorre pertanto a semplificazioni della struttura che consentono di facilitare i calcoli rendendoli meno gravosi.

Equazioni di governo per il solido elastico 2D

È necessario distinguere due casi: stato piano di sforzo (plane stress) e stato piano di deformazione (plane strain).

Stato piano di sforzo (plane stress)

Un sistema caratterizzato da una dimensione molto minore rispetto alle altre due e caricato esclusivamente nel piano individuato dalle dimensioni maggiori (si veda, ad esempio, la Figura 2) può essere considerato in stato piano di sforzo.

Figura 2: Lamina di spessore sottile rispetto alle altre due dimensioni caricata nel piano.

In questo caso è lecito assumere:

σ_xz = σ_yz = σ_zz = 0

Conseguentemente saranno nulle anche le deformazioni ε_xz e ε_yz. La ε_zz potrà, invece, essere calcolata dalle equazioni costitutive.

Stato piano di deformazione (plane strain)

Per un sistema caratterizzato da una dimensione molto maggiore rispetto alle altre due e caricato esclusivamente nel piano individuato dalle dimensioni minori, possiamo assumerlo in stato piano di deformazione.

Figura 3: Parete di lunghezza molto maggiore rispetto alle altre due dimensioni, esempio di una diga.

La Figura 3 mostra la sezione di una diga che rappresenta un tipico esempio di sistema in stato piano di deformazione. Altro esempio, potrebbe essere quello di una galleria. Se sono soddisfatte le condizioni sopra esposte, è possibile assumere:

ε_xz = ε_yz = ε_zz = 0

Saranno nulle anche le tensioni σ_xz e σ_yz, ma non la σ_zz. Quando un sistema è in stato piano (di sforzo o deformazione), le equazioni di congruenza si semplificano:

ε_xx = ∂u/∂x; ε_yy = ∂v/∂y; ε_xy = 1/2 (∂u/∂y + ∂v/∂x)

In forma compatta: ε = LU, dove ε = (ε_xx, ε_yy, ε_xy) e U = (u, v)

L’equazione costitutiva sarà sempre del tipo σ = Cε, dove però adesso la matrice C sarà di ordine 3 e assumerà la seguente forma per il caso plane stress:

e per il caso plane strain:

Le equazioni di equilibrio diventano:

(∂σ_xx/∂x) + (∂σ_xy/∂y) + f_x = ρü_x

(∂σ_yx/∂x) + (∂σ_yy/∂y) + f_y = ρü_y

ovvero TL cLU + f = ρ Ü. Si intuisce che il problema plain stress e plain strain si affrontano nella stessa maniera con la sola differenza nella matrice c.

Equazioni di governo per il solido elastico 1D

La schematizzazione di un sistema come monodimensionale è possibile farla quando una dimensione è molto maggiore rispetto alle altre due e il carico agisce esclusivamente lungo la direzione maggiore.

Figura 4: Tensioni su di un elemento asta.

In questo caso, solo u ≠ 0. Infatti, le uniche deformazione e tensione non nulle sono ε_xx = ∂u/∂x e σ_xx = Eε_xx = E ∂u/∂x. L’equazione di equilibrio si riduce a:

(∂σ_xx/∂x) + f_x = ρü_x ,

E ∂²u/∂x² + f_x = ρü_x ,

e definendo F_x = f_xA la forza per unità di superficie, l’equazione diventa:

EA ∂²u/∂x² + F_x = ρAü_x.

Teoria della trave

Quando un sistema è caratterizzato da una dimensione molto maggiore rispetto alle altre due e il carico agisce lungo la direzione trasversale, è possibile descriverne il comportamento utilizzando la teoria della trave. A tal proposito, esistono due teorie differenti:

• La teoria di Eulero-Bernoulli;
• La teoria di Timoshenko.

Qui ci occuperemo solo della teoria di Eulero-Bernoulli (o delle travi sottili). La teoria di Eulero-Bernoulli si basa sulle seguenti ipotesi: la trave si deforma, per effetto del carico applicato, in modo tale che le sezioni inizialmente piane e ortogonali all’asse neutro rimangono piane e ortogonali ad esso.

Figura 5: Azioni su di un elemento trave. Si assumano positive le rotazioni antiorarie e si consideri un generico punto ad una quota z rispetto all’asse neutro. Per effetto della deformazione della trave sotto l’azione del carico trasversale, il punto subisce uno spostamento lungo x pari a u = -zθ.

Figura 6: Trave inflessa nella Teoria di Eulero-Bernoulli. Con riferimento alla Figura 7, la rotazione θ dell’asse neutro attorno l’asse y può essere legata alla flessione w lungo z dalla relazione ∂w/∂x = θ.

Figura 7: Rotazione della trave nel piano xz. Quindi, lo spostamento sarà u = -z ∂w/∂x e di conseguenza l’unica deformazione non nulla sarà la ε_xx:

ε_xx = ∂u/∂x = ∂²w/∂x²

L’unica tensione non nulla sarebbe di conseguenza la σ_xx = Eε_xx = E ∂²w/∂x². Con riferimento alla sezione della trave mostrata in Figura 8, si consideri una quota z e il corrispondente valore della tensione σ_xx(z). Il momento elementare rispetto all’asse neutro è dM = σ_xx z dA. Il momento totale diventa pertanto:

M = ∫∫ zσ_xx dA = ∫∫ z E ∂²w/∂x² dA = -EI ∂²w/∂x²,

in cui I è il momento d’inerzia della sezione rispetto all’asse y.

Figura 8: Andamento delle tensioni nella sezione di una trave. Tuttavia, il fatto che la σ_xz sia nulla implica che anche il taglio sia nullo: Q = ∫∫ σ_xz dA = 0. Per ovviare a questa contraddizione e recuperare l’espressione del taglio Q, si consideri l’equilibrio del concio elementare di trave rappresentato in Figura 9.

Figura 9: Equilibrio del concio elementare trave. L’equilibrio alla rotazione attorno alla sezione x + dx nel caso generale dinamico si scrive come:

M + Qdx + (-M - dM) - (F + ρAẅ)dx = 0

dM/dx = ∂²w/∂x² = EI Q = ∂²w/∂x² EI

Dall’equilibrio alla traslazione lungo z:

-Q + Q + dQ + F dx + ρAẅdx = 0

dQ/dx + F = ρAẅ

e quindi, sostituendo la precedente:

EI ∂⁴w/∂x⁴ + F = ρAẅ

che è l’equazione della linea elastica della trave. Per ottenere l’equazione del problema nel caso statico basta porre uguale a zero il termine inerziale.

Teoria delle piastre

Si definisce piastra un elemento per il quale una dimensione risulta molto minore delle altre due, e i carichi agiscono trasversalmente al suo piano medio.

Le teorie di riferimento per la piastra sono:

• La teoria di Kirchhoff;
• La teoria di Reissner-Mindlin.

Qui ci occuperemo nel dettaglio solo della teoria di Kirchhoff (o delle piastre sottili). Daremo, tuttavia, qualche cenno alla teoria di Reissner-Mindlin (o delle piastre spesse) e, in particolare, a come si modificano le equazioni di congruenza e quelle costitutive.

Piastre sottili

Le ipotesi alla base della teoria di Kirchhoff sono le stesse enunciate per la trave di Eulero-Bernoulli: sezioni inizialmente piane ed ortogonali al piano neutro della piastra rimangono, dopo la deformazione, piane ed ortogonali al piano neutro.

Figura 10: Piastra sottoposta a carico trasversale che provoca una deformazione di flessione. Con riferimento alla Figura 10, la sezione parallela al piano YZ, inizialmente piana e perpendicolare al piano neutro, al seguito della deformazione ruota di un certo angolo θ attorno all’asse Y: il punto della sezione, alla generica quota z ha subito lungo la direzione X, uno spostamento:

u = zθ_y

La sezione parallela al piano XZ, anch’essa inizialmente piana e perpendicolare al piano neutro, secondo l’ipotesi di Kirchhoff ruota senza deformarsi di un certo angolo θ_x attorno all’asse X. Il punto della sezione alla generica quota z subisce uno spostamento in direzione opposta all’asse Y:

v = -zθ_x

Ponendosi in una sezione parallela al piano XZ, considerando gli spostamenti w e w + dw come in Figura 11, la rotazione attorno all’asse Y sarà:

θ_y = ∂w/∂x

Figura 11: Rotazione della piastra nel piano XZ e nel piano YZ. Allo stesso modo, la rotazione attorno a X vale:

θ_x = ∂w/∂y

Si avrà allora:

u = -z ∂w/∂x; v = -z ∂w/∂y

Le relazioni tra le componenti di deformazione e gli spostamenti sono date da:

ε_xx = ∂u/∂x = -z∂²w/∂x²

ε_yy = ∂v/∂y = -z∂²w/∂y²

ε_xy = 1/2(∂u/∂y + ∂v/∂x) = -z∂²w/∂x∂y

Indicando con L la matrice degli operatori differenziali per il caso piastra:

l’equazione di congruenza in forma compatta può scriversi nella forma:

ε = -zLw

mentre l’equazione costitutiva sarà:

σ = Cε = -zCLw

Le corrispondenti componenti del momento flettente saranno date allora da:

M = C(Lw) ∫∫ z² dz

dove gli estremi di integrazione sono -h/2 e h/2 in quanto le caratteristiche della sollecitazione nel caso piastra sono espresse per unità di lunghezza.

Come già visto per il caso della trave, è immediato verificare che:

ε_xz = ε_yz = 0

e σ_xz = σ_yz = 0. Conseguentemente avremo anche per il taglio: Q_x = Q_y = 0. In realtà, l’espressione del taglio viene recuperata dall’equilibrio di un elemento infinitesimo della piastra.

A tal proposito, con riferimento alla Figura 12, l’equilibrio alla traslazione verticale dell’elementino infinitesimo di piastra di dimensione dx, dy e spessore h può scriversi come segue:

(Q_y + ∂Q_y/∂y dy)dx + (Q_x + ∂Q_x/∂x dx)dy + f dxdy = ρ ẅ h dx dy

Figura 12: Forze di taglio e momenti agenti su una piastra di dimensione dxdy e spessore pari a h. Semplificando i termini uguali e dividendo tutto per dx e dy, si ricava: