Appunti Progettazione agli Elementi Finiti di Strutture Meccaniche (PEFSM) + Esercizi

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|J| |J|T T= B c B dξ dη + B c B dξ dη (90)ε γ−1 −1 −1 −1Il primo termine nell’equazione (90) si riferisce ai modi normali (quindi è associatoalle deformazioni ε e ε ), mentre il secondo termine si riferisce ai modi di taglioxx yy(quindi associato alla deformazione ε ). Adottando uno schema di integrazione comexy×in Figura 14 che prevede 2 2 punti di Gauss (punti 1, 2, 3, 4) per calcolare il primointegrale e 1 solo punto di Gauss (punto 5) per calcolare il secondo integrale, sarànulla solo l’energia di deformazione associata al modo di taglio (e non anche quellarelativa ai modi normali). Cosı̀ facendo si ’depura’ l’elemento dal problema delloshear locking, senza che insorga il fenomeno dell’hourglassing.Figure 14: Punti di integrazione di Gauss in un elemento quadrilatero.6.5 Elementi incompatibiliSi consideri la struttura piana, soggetta a flessione come in

Dalla figura si evince che il generico punto alla quota y ha subito, in seguito alla deformazione, uno spostamento orizzontale pari a u. Nell'ipotesi di piccole deformazioni, si può scrivere:

u = x - yθ ≃ Rθ

Dall'equazione di congruenza:

u + ε(y) = x

mentre dall'equazione costitutiva:

σ = Eε

si ottiene:

ε = ν(ε + ε)

σ = xx - 2νyy

Pertanto, risulterà anche:

∂v/∂u + ∂u/∂x = 0

Dalla (92), si ha:

y - du = dx/R

da cui integrando:

xy - u = ∫(y dy)

con g(y) termine di integrazione dipendente da y. In particolare, dovendo lo spostamento u essere zero all'origine, g(y) = 0 e conseguentemente:

xy - u = R∫(y dy)

integrandoDall’equazione (93), dv = ν R 2yv = ν + f (x) (98)12R− x∂u dx = dx, da cuiDalla (94), dv = ∂y R 2xv = + f (y) (99)22RCombinando la (98) e la (99), si ottiene2 2x yv = + ν + C (100)2R 2Rdove la costante d’integrazione C può ricavarsi usando la condizione che gli sposta-menti v ai quattro angoli dell’elemento sono zero, cioè2 2a νbC + + =0 (101)2R 2Ro 2 2a νb− −C = (102)2R 2RSostituendo nella (100) ) ( )( 2 2 22 a y νbx − −1 + 1 (103)v = 2 2a 2R a 2RQuindi, in generale, gli spostamenti reali sotto pura flessione possono essere espressinella forma u = α xy (104)131e ( ) ( )2 2x y− −v = α 1 + α 1 . (105)2 32 2a bPer simulare la risposta flessionale più precisamente, dunque, sarebbe necessariointrodurre un nuovo elemento quadrilatero con modi di spostamento addizionali chehanno la stessa forma espressa dalla (105).A tal proposito si consideri la Figura 16.

Lo spostamento viene letto solo sui nodi 'compatibili', cioè quelli ai vertici dell'elemento, la deformata che verrà effettivamente letta è invece quella mostrata in Figura 18. Tuttavia, in tal caso, poiché la presenza dei nodi di mezzeria consente agli elementi di deformarsi secondo una curva quadratica, non insorgerà il fenomeno del shear locking.

Figure 18: Deformata effettiva degli elementi.

Allo stesso tempo, leggendo gli spostamenti sui soli nodi compatibili, il costo computazionale rimane pressoché invariato.

Un elemento quadrilatero così formulato dovrà essere in grado di interpolare gli spostamenti in accordo alle formule seguenti:

∑4 -2 2u = Nu + α(1 ξ) + α(1 η) (106)

i i 1 2

i=1

e

∑4 -2 2v = Nv + α(1 ξ) + α(1 η) (107)

i i 3 4

i=1

in cui α, α, α, α sono gli spostamenti dei nodi incompatibili, posizionati in mezzeria.

_{ 
 
 
B d c c (108)ε = B d =e
 
B αI}

Per tale sistema è nota la soluzione analitica degli spostamenti, delle deformazioni e delle tensioni. Il patch test consiste nell'estrarre un patch di forma generica dalla piastra e discretizzarlo con più elementi (dei quali si vuole valutare l'applicabilità nella metodologia FE) e imporre in corrispondenza dei nodi di contorno gli spostamenti noti dalla soluzione analitica. Successivamente, si valutano le tensioni all'interno del patch. Se gli elementi utilizzati sono in grado di riprodurre la stessa soluzione di tensione come nel caso reale, allora l'elemento supera positivamente il test e può, dunque, essere impiegato in analisi FE. Si noti che il patch test può essere effettuato anche a deformazione costante.

Tornando all'elemento in questione, l'energia di deformazione ad esso associata è:

∫ ∫ ∫ ∫1 1 11 T T T Tσ ε dV = σ B d dV = σ B d dV+ σ B α dV

,U = e c c Iε 2 2 2 2V V V V (109)che nel caso di tensione σ costante diventa∫ ∫1 TU = σ ( B d dV+ B α dV) . (110)ε c c I2 V VAffinché l’elemento possa superare positivamente il patch test a σ costante, il ter-∫mine B α dV deve essere nullo per poter restituire il valore corretto dell’energiaIVdi deformazione.In generale, tale integrale non sarà nullo e, quindi, cosı̀ come formulato l’elementonon sarebbe utilizzabile. Tuttavia, è possibile correggere la matrice B legata ai modiI′incompatibili definendo in suo luogo una nuova matrice BI′ = B + B (111)B I IcI 35con B costituita da soli termini costanti, e tale cheIc ∫ ∫′B dV = (B + B ) dV = 0. (112)I IcIV VConsiderato che B è costituita da termini costanti, l’equazione (112) può riscriversiIccome ∫ B dV + B V = 0 , (113)I IcVda cui ∫1−B = B dV . (114)Ic IV VPertanto, la correzione introdotta dall matrice

B fa si che l'elemento sopra for-Icmulato possa essere impiegato con successo in analisi FE. L'approccio, qui descritto è del tutto generale e può essere usato per aggiungere un generico numero di modi di spostamento incompatibili a tutti i tipi di elementi isoparametrici. La matrice di rigidezza k dell'elemento assume pertanto la forma

[∫ ∫T ′Tc TcB B B c B B c B]
[′ ′T ′TB B B c B B c BV V c I]

e cioè, con evidente significato dei simboli

[k k]
[cc c]
[Ik = .]
[k k]
[Ic II]

Nella minimizzazione dell'energia potenziale le forze associate con gli spostamenti incompatibili α sono zero, pertanto, l'equazione di equilibrio si scrive

[]
[]
[]
[ fdk k  cccc cI , (115)= ]
[ 0]
[α]
[k k]
[Ic II]

Usando la condensazione statica gli spostamenti incompatibili sono eliminati prima dell'assemblaggio della

matrice di rigidezza. Infatti, dalla seconda equazione k d +Ic ck α = 0, si ricavaII −1−(kα = d ) k . (116)c IIIc36e sostituendo tale espressione di α nella prima equazione k d + k α = f , sicc c cI cottiene −1−(k k k k ) d = f (117)cc cI Ic c cII−1−o, ponendo k = k k k k ,s cc cI IcII k d = f . (118)s c cPertanto, attraverso la condensazione statica il numero delle equazioni da risolvereper determinare gli n spostamenti compatibili rimane invariato (e cioè pari ad n).37

Parte VIII

Part I

Elementi piastra e shell

In questo capitolo, ci occuperemo della formulazione agli elementi finiti degli elementipiastra e shell. Per quest’ultimo, la formulazione è ottenuta semplicemente combi-nado le matrici ottenute per l’elemento piastra