Appunti di probabilità e statistica

EZIONE

L'origine del calcolo delle probabilità, come in ogni materia, si è sviluppato prevalentemente sulla

base dei studi e considerazioni teoriche riguardanti problemi del gioco d'azzardo. Volendo

effettuare un controllo sulle possibilità della vincita, in mezzo a questo controllo c'è l'incertezza

che può essere espressa da diversi possibili esiti. Questi esiti, sempre collegati a un determinato

esperimento, possono descrivere due tipi di esperimenti:

 Esperimento Deterministico: sappiamo descrivere precisamente dall'inizio alla fine

dell'esperimento cosa potrà succedere;

 Esperimento Casuale o Aleatorio: sappiamo cosa potrà succedere, ma non sappiamo

precisamente quale dei possibili esiti otterremo.

Un esempio pratico dell'esperimento deterministico potrebbe essere l'occasione in cui sfruttando

le formulazioni matematiche, riusciamo a descrivere un fenomeno fisico, determinando il risultato

del fenomeno in ogni istante della durata dell'esperimento. Invece, un esperimento aleatorio non

ci permette una tale precisione, ma invece otteniamo un certo numero di esiti senza sapere quale

di questi è effettivamente quello che si realizza. Un esempio dell'esperimento aleatorio potrebbe

essere il lancio di un dado, in cui una volta che il dado si ferma otteniamo un certo esito, il quale

però non possiamo predire con certezza prima che il dado si fermi, ma possiamo sempre

esprimere una certa probabilità di ottenere uno dei sei esiti possibili.

Vocabolario:

W → (Esito) evento elementare: un evento elementare è un caso tra tutti i possibili casi

che si possono ottenere;

Ω → Spazio campionario (insieme di W): si vedranno due situazioni quasi contrastanti, in

cui lo spazio campionario può essere discreto, oppure continuo:

 Discreto: l'insieme di esiti elementari è un numero finito o infinito

numerabile. Un esempio di uno spazio campionario discreto potrebbe essere

un'urna che contiene 98 palline bianche, una pallina nera e una pallina

verde, e in questo caso il numero dei possibili esiti è esattamente tre, ossia

possiamo ottenere come risultato l'estrazione o di una pallina bianca o di

una pallina nera o di una pallina verde. Poi riferendosi sempre a questo

esperimento, all'estrazione non ci sarà una grande incertezza, poiché

essendo il numero delle palline bianche di gran lunga superiore alle palline

nere o verdi, potremmo pensare che quasi sicuramente, o come si dice

“esito quasi certo”, otterremo una pallina bianca, quindi saremo interessati

a misurare il grado di fiducia all'evento in cui otterremo una pallina bianca; 1

 Continuo: l'insieme dei esiti elementari è un numero infinito non

numerabile. Un esempio di spazio campionario continuo può essere

l'esperimento in cui si effettua il lancio di una moneta finché come esito non

esce “testa”; quello che ci interessa è sapere quanti tentativi sono stati

necessari affinché uscisse come risultato “testa”. Quindi, è chiaro che in

questo caso il numero degli esiti sarà pari al numero dei lanci con esito

negativo finché non esce “testa”, dunque si ha comunque la possibilità di

effettuare un numero di lanci molto elevato che si avvicini all'infinito, prima

che possa uscire un esito positivo.

Eventi e operazione su eventi:

Se prendiamo come esperimento la distribuzione di 10 carte per ogni giocatore, e vogliamo sapere

qual è la probabilità di avere in mano l'asso di picche. Dunque, di tutti i possibili eventi che

possono capitare (le 10 carte per ogni giocatore, sono le diverse possibili scelte di 10 carte), siamo

interessati proprio a questo, e andremo a considerare il numero dei casi favorevoli affinché esca

questa carta; mentre invece, se non siamo interessati ad una carta precisa, ma alle 10 carte per

ogni giocatore, allora invece di considerare il numero dei casi favorevoli, dovremmo considerare

tutti i casi possibili. Quindi, secondo certe restrizioni che stiamo costruendo, avremo diversi

eventi. Su tutto un insieme di eventi possiamo ottenere esiti positivi o negativi, in base all'evento

che vogliamo ottenere da un esperimento.

Per il momento concentriamoci sullo spazio campionario discreto, quindi possiamo contare il

numero degli esiti, i quali saranno un numero finito.

Definizione:

Sia Ω uno spazio campionario discreto; si chiama “evento” ogni sottoinsieme di Ω. La totalità di

eventi possibili costituisce lo spazio degli eventi, ovvero “l'insieme delle parti” di Ω, e viene

denominato con ℘(Ω).

Ad esempio: supponiamo di lanciare due monete, e di osservare i risultati che si possono

ottenere, quindi indicheremo testa con T e croce con C. Si ha una serie di possibili

eventi elementari formati da coppie:

(, (, (, (,

) ) ) )

Questi sono tutti i possibili esiti e quindi questo esperimento è un esempio dello

spazio campionario finito (discreto). Lo spazio campionario Ω sarà costituito da tutti

questi esiti: {(, (, (, (,

Ω = ) ) ) )}

Supponiamo di essere interessati ad uno di questi eventi:

pertanto si ottiene un esito elementare:

{(,

= )}

{(,

= )} 2

Oppure si ottiene un esito composto: (,

= {(, ) )}

{(, (, (,

= ) ) )}

{(, (,

= ) )}

Notiamo che e sono equivalenti anche se dette in modo diverso, e pertanto se accade una,

allora automaticamente accade anche l'altra.

Supponiamo che invece di lanciare due monete, né lanciamo tre, ottenendo cosi che gli esiti

saranno delle terne, e quindi cambiando esperimento, gli eventi faranno riferimento al nuovo

esperimento e sostanzialmente andranno a cambiare rispetto a prima. Bisogna tener sempre

presente che gli eventi affermano un qualcosa che è legato strettamente a un determinato

esperimento, quindi cambiando gli esperimenti, gli eventi potranno affermare cose diverse.

Se prendiamo in esame un esperimento in cui si hanno tre possibili esiti { },

Ω = , ,

l'insieme delle parti di Ω, ovvero l'insieme di tutti i possibili eventi (eventi semplici o eventi

composti) sarà dato da: {∅, { }, { }, { }, { }, { }, { },

℘(Ω) = , , , Ω}

Il caso impossibile e il caso certo Ω, sono casi estremi. Infine abbiamo otto eventi possibili,

∅

quindi l'insieme di tutti i possibili eventi sarà dato da: ( )

℘(Ω) = 2

(Ω) =

nel nostro caso (Ω) = 3.

Una volta che abbiamo elencato tutti gli eventi, li possiamo far rappresentare tramite un insieme,

e questo di solito capita quando dobbiamo capire quale relazione esiste tra i possibili eventi che

sono presenti, ed un determinato enunciato. Queste relazioni li faremo tramite le

rappresentazioni degli insiemi, ossia i diagrammi degli eventi.

Eventi e operazione su eventi:

Ω (intero spazio campionario) → Evento certo o sicuro (basta che si verifica un

singolo evento elementare)

Ø (insieme vuoto) → Evento impossibile

Insieme → Si verifica A

̅

Insieme (Complementare di A) → Non si verifica A

(A unione B) → Si verifica A o B (o entrambi)

∪ (A intersezione B) → Si verifica simultaneamente A e B

∩ 3

Indicatore di un evento: 1 è

|| = 0 è

L'indicatore di un evento è una funzione che a un evento assegna il valore di 1 o 0, in base se

questo evento è vero (nel senso che si realizza), oppure se questo evento è falso (nel senso che

non si realizza).

Relazioni e operazioni logiche:

è

 Negazione: = è

| | ||

= 1 −

 Implicazione: Un evento implica un altro evento ed equivale alla diseguaglianza

⊂ ,

|| ||

≤

Se un evento A si realizza, allora si realizza l’evento B;

 Uguaglianza: Due eventi si dicono uguali se uno implica l’altro;

 Unione: l'unione di due eventi A e B è l'evento che è vero quando almeno uno dei due è

vero, ed è falso quando sia A che B sono falsi. Tale evento si indica con: ∪

Alle operazioni logiche possiamo applicare le seguenti proprietà:

Associativa:

 ( (

∨ ) ∨ = ∨ ∨ ) = ∨ ∨

Commutativa:

 ∨ = ∨

Osservazioni:

∨ Ω = Ω; ∨ Ø = ; ∨ = ; ∨ = Ω

 Intersezione: prodotto di due eventi A e B è un evento che è vero quando entrambi sono

veri ed è falso quando almeno uno dei due è falso

∧ ℎ ∩

Proprietà:

Associativa:

 ( (

∧ ) ∧ = ∧ ∧ ) = ∧ ∧

Commutativa:

 ∧ = ∧

Osservazioni:

∧ Ω = ; ∧ Ø = Ø; ∧ = ; ∧ = Ø 4

 Incompatibilità: AB = Ø (non possono essere entrambi veri)

Due elementi si dicono incompatibili quando questi si escludono tra di loro, ossia quando

accade uno, l'altro non può verificarsi, o viceversa. Quindi, nell’ intersezione non c'è niente

in comune.

La corrispondenza tra i valori logici di due eventi A, B e quelli di e è riportata nella

∧ ∨ ,

Tabella 1:

Quella tra gli indicatori è riportata nella Tabella 2:

Per dimostrare la proprietà dell’intersezione, per quello che riguarda gli indicatori:

l'indicatore dell'evento intersezione deve essere uguale al prodotto dei valori degli indicatori, e

per dimostrarlo sfruttiamo semplicemente la tabella sopra, dove vediam