Appunti di Probabilità e statistica 1

Proprietà 6.2 (Misurabilità delle funzioni continue)

Siano X e Y spazi topologici, sia f : X → Y una funzione continua, allora f è una funzione σ-misurabile.

6.4. Questo risultato afferma che se abbiamo una funzione continua, essa risulta misurabile.

Osservazione: σ-algebra fra gli spazi di misura dati dai rispettivi sostegni e dalle generate. Nota inoltre che nel caso in cui σ-algebre, siano la funzione è continua e misurabile fra gli stessi spazi (che sono sia "topologici" che "misurabili").

Per la continuità di f, sappiamo che:

Dimostrazione: f σ-misurabile.

Puoi trovare un caso particolare su [Sch05, 7.3 Example], io l'ho generalizzato.

Proprietà 6.3 (Composizione di funzioni misurabili)

La composizione di funzioni misurabili è ancora misurabile.

1. Dati insieme S, spazio misurabile S e una funzione f: S → S, ci si chiede se è sempre possibile determinare una σ-algebra F su S che rende f F-misurabile e puoi scegliere di modo che risulti F la più piccola σ-algebra che rende f F-misurabile. Nota che anche se F costituisce una σ-algebra che rende f F-misurabile, in generale esso non è la più piccola σ-algebra con questa proprietà, si pone la questione della determinazione, se esiste ed è unica, di una tale σ-algebra.
2. Teorema 6.4. Siano S e S' spazi misurabili, sia f: S → S' una funzione F-misurabile e sia µ una misura su S. Allora f*µ è una misura su S'.
3. Definizione 6.5 (Misura immagine). La misura definita in (Teorema 6.4) si dice misura immagine di µ sotto f. E si

denotaf f pµqp¨qo µ ´1f˝ p¨qo µ p¨qf

Il prof preferisce la terza notazione, a me piace la seconda... E a Schilling la prima!

Consiglio. ,FDefinizione 6.6 (Legge di distribuzione di una variabile aleatoria). Siano uno spazio di probabilitàpΩ, PqΩ ´1e : una variabile aleatoria, allora la misura immagine è ancora una misura di probabilitàX XÑ ˝R Pe si dice legge o distribuzione di X.La funzione di distribuzione di si denota anche con .X F XIl coroll. 7.11 dimostra che la misura di Lebesgue è invariante rispetto a "motions", FNotazione 6.7 (Insieme confronto fra funzioni). Sia uno spazio misurabile e siano :u, v SpS q Ñ RF{BpRq-misurabile,funzioni si denotano i sottoinsiemi di S:vu S upxq vpxqutu ě tx P ěBin modo analogo si fa per vu, vu, vu, vutu ď tu ă tu ą tu ‰Con questa notazione puoi riscrivere la misurabilità (Vedi [Sch05, p. 57]).Definizione 6.8 (R ampliato). Si dice

l'insieme ampliato R⁺ è anche indicato con la notazione "R⁺".

Definizione 6.9 (Notazione di insieme). Sia un insieme A e sia B una sua sottoinsieme: allora si dice che B è una funzione numerica.

Definizione 6.10 (σ-algebra di Borel in R). La σ-algebra di Borel in R è la più piccola σ-algebra che contiene tutti gli intervalli aperti.

Definizione 6.11 (σ-algebra di Borel in R⁺). La σ-algebra di Borel in R⁺ è la σ-algebra generata dalla famiglia di sottoinsiemi di R⁺ del tipo (a, b) o [c, d).

Definizione 6.12 (Funzione indicatrice). Data un insieme A, la funzione indicatrice di A, indicata con 1_A, è definita come:

1_A(x) = 1 se x appartiene ad A, 0 altrimenti.

Proprietà 6.7. Se α > 0, allora α * 1_A = 1_αA.

Lemme 6.5. La σ-algebra B⁺ è generata dalla famiglia di sottoinsiemi di R⁺ del tipo (a, b) o [c, d).

Osservazione. Se A è un sottoinsieme di X, allora A^c = X \ A.

Lemme 6.6. La σ-algebra B⁺ è generata dalla famiglia di sottoinsiemi di R⁺ del tipo (a, b) o [c, d).

Definizione 6.12 (Funzione indicatrice). Data un insieme A, la funzione indicatrice di A, indicata con 1_A, è definita come:

1_A(x) = 1 se x appartiene ad A, 0 altrimenti.

Proprietà 6.7. Se α > 0, allora α * 1_A = 1_αA.

g S funzioni semplici, le cui forme normaliÑ Rsono nÿ ,1f y“ i A ii“0mÿ ,1g z“ j B jj“0allora n mÿ ÿf g z˘ “ py ˘ q1i j A XBi ji“0 j“0e risulta f g˘è una funzione semplice.6.6. Una rappresentazione standard non è unica.

OsservazioneDefinizione 6.15 (Parte positiva e negativa di una funzione). Data una funzione definiamou,` max 0uu tu,B` min 0uu ´ tu,BProprietà 6.10 (EX. Sch. 8.1). ,` ´f è semplice f f sono sempliciùñ 17Proprietà 6.11 (Valore assoluto di una funzione semplice). Sia f una funzione semplice, allora il suovalore assoluto è una funzione semplice. , FTeorema 6.12 (THM. Sch. 8.8). :Sia uno spazio misurabile. Ogni funzione u S che èpS q Ñ RF è il limite (puntuale) di una successione di funzioni semplici:{B-misurabile , lims S upsq f n fP “ psq, P | | ď |u|N,n nInoltre, 0, 0 0 supu h f per cui f u fě P ě

La notazione alternativa lim sup, senza specificare

Osservazione x_n Ñ 8.

Definizione 6.19 (lim sup e lim inf di successioni di insiemi). Sia una successione di insiemi, si pE q_n nÑPN definiscono č ďlim sup E EB_n k_nÑ8 nÑPN kěnď člim inf E EB_n k_nnÑ8 nÑPN kěn6.8. A volte si trova la notazione alternativa lim sup , dove è un simbolo per la succes-Osservazione E E_n nsione , qui non è adottata.

pE q_n nÑPN FCorollario 6.13.1. allora anche

Se la successione è fatta da funzioni numeriche

tu u {B-misurabile,n nÑPN

le funzioni , , ,

sup inf lim sup lim inf

u u u u n n n

nÑPN nÑPN nÑPN nÑPN

sono Inoltre. quando esiste, tale è anche

{B-misurabili. lim u

nÑPN

Definizione 6.20. Siano funzioni, allora

u, v max(t,u,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,q,v,p,s,qSiano u, v due funzioni allora sono anche B-misurabili, B-misurabilimaxtu, mintu,u v, u v, vu, vu˘ ¨ ` ´FCorollario 6.14.2. Una funzione u è tali sono u e u .B-misurabile ðñFCorollario 6.14.3. alloraSiano u, v funzioni B-misurabili, ,Fvu, vu, vu, vutu ă tu ď tu ą tu ` PFcioè sono misurabili di . , ,1 1 1F FLemma 6.15 (Lemma di fattorizzazione). :Siano spazi misurabili, T S S funzionepS q, pS q Ñ1F -misurabile, allora{F• σpT1 1F:Se w S è allora w T èÑ B-misurabile, ˝ qB-misurabileR• σpT 1 1F: :Se u S è allora w S funzione e tale cheÑ qB-misurabile, D Ñ B-misurabileR Ru w T“ ˝6.9. Questo lemma si chiama "di fattorizzazione" perché il vero risultato è che è sempre pos-Osservazione σpT in due funzionisibile "fattorizzare", mediante composizione di funzioni, una funzione qB-misurabileσpT 1 1Frispettivamente

-misurab