Appunti di probabilità e statistica

PROBABILITA' E STATISTICA - PROGRAMMA

ELEMENTI DI PROBABILITA'

Un esperimento aleatorio è una situazione in cui non è possibile predire con certezza il risultato per:

-mancanza di informazioni;

-impossibilità di ottenere ulteriori informazione;

-costo eccessivo di ulteriori informazioni.

Dato un esperimento aleatorio, lo spazio campionario è l'insieme di tutti i risultati possibili w.

Ω

Dato un esperimento aleatorio, l'evento è una proposizione (vera o falsa) dipendente dal risultato che si

rappresenta come un sottoinsieme di .

Ω

Un evento E si verifica se il risultato w dell'esperimento aleatorio è un elemento di E.

-l'insieme vuoto è chiamato evento impossibile;

∅

-l'insieme intero è chiamato evento certo.

Ω

Due eventi A e B si dicono disgiunti se è impossibile che si verifichino contemporaneamente, ovvero:

se si verifica uno non si può verificare l'altro.

∩ ≠ ∅ →

Nel modello probabilistico le relazioni logiche, o proposizioni, tra eventi devono corrispondere a operazioni

tra sottoinsiemi: ̅

-negazione= se si verifica l'evento complementare non si verifica l'evento A (e viceversa);

-unione logica= si verifica se e solo se si verifica almeno uno dei due eventi;

∪

-intersezione logica= si verifica se e solo se si verificano entrambi [dire che due eventi si sono

∩

verificati contemporaneamente equivale a dire che si è verificata la loro intersezione].

Operazioni tra eventi:

1. (

∪ ∩ ) = ( ∪ ) ∩ ( ∪ )

2. ( ( (

∩ ∪ ) = ∩ ) ∪ ∩ )

̅

3. ∩ = ∪

̅

4. ∪ = ∩

5. − = ∩

Dato uno spazio campionario con la famiglia di eventi relativa (sottoinsieme di ) si chiama probabilità la

Ω Ω

funzione che a ogni evento A associa un numero ovvero indica il grado di fiducia nell'avverarsi di un

[0,1]

∈

evento.

Gli assiomi della probabilità sono: 0 ≤ ℙ{A} ≤ 1

1. Normalizzazione → ℙ{Ω} = 1

2. Additività [con A,B eventi disgiunti]

→ ℙ{ ∪ } = ℙ{} + ℙ{}

3. Positività → ℙ{A} ≥ 0

Le conseguenze degli assiomi della probabilità sono:

• ℙ{∅} = 0

perché Ω = Ω ∩ ∅ → 1 = ℙ{Ω} + ℙ{∅} → 1 = 1 + ℙ{∅} → ℙ{∅} = 0

• [con A,B eventi qualsiasi]

ℙ{A ∪ } = ℙ{A} + ℙ{B} − ℙ{A ∩ }

perché se A e B non sono disgiunti ( nella prima somma vado a contare due volte gli

∩ ≠ ∅)

elementi in comune, dunque devo sottrarli. [formula inversa]

ℙ{A ∩ } = ℙ{A} + ℙ{B} − ℙ{ ∪ }

̅

• }

ℙ{ = 1 − ℙ{A}

N.B se ovvero è un sottoevento di se si verifica si verifica anche

⊆ , , → ℙ{A} ≤ ℙ{B}

Dati due eventi e la probabilità condizionata è la probabilità che si verifichi supponendo che si sia

,

verificato ciò ci fa cambiare il grado di fiducia nel verificarsi di

→ . ℙ{A ∩ } = ℙ{A|H}ℙ{H}

La probabilità di dato (o rispetto a

): ℙ{A ∩ } = ℙ{H|A}ℙ{A}

}

ℙ{ ∩ con

ℙ{A|H} = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ℙ{H} > 0

}

ℙ{ PROBABILITA' E STATISTICA Pagina 1

Due eventi A,B si dicono staticamente indipendenti se:

ℙ{ ∩ }

ℙ{A ∩ } = ℙ{A}ℙ{B} → ℙ{A} = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯= ℙ{A|B} con ℙ{B} > 0

ℙ{ }

Siano una famiglia di eventi a due a due disgiunti, la cui unione sia l'insieme con }

, , … , Ω, ℙ{ >

la formula delle probabilità totali è così definita:

0 ∀, }ℙ{ } }ℙ{ } }ℙ{ } }ℙ{ }

∑

ℙ{A} = ℙ{A| = ℙ{A| + ℙ{A| + ⋯ + ℙ{A|

Dimostrazione:

Sia ( ) ( ) ( )

= ∩ ∪ ∩ ∪ ⋯ ∪ ∩

Dove gli eventi sono eventi disgiunti.

( ), ( ), ( )

∩ ∩ … , ∩

Dunque } } } ∑

→ ℙ{A} = ℙ{ ∩ + ℙ{ ∩ + ⋯ + ℙ{ ∩ = ℙ{ ∩ }

Dalla definizione di probabilità condizionata abbiamo che:

} }ℙ{ }

ℙ{ ∩ = ℙ{A|

Quindi }ℙ{ }

∑

→ ℙ{A} = ℙ{A|

Dati due eventi con e la formula di Bayes, prendendo come dato di fatto che si

, ℙ{A} > 0 ℙ{H} > 0

sia verificato, stabilisce la probabilità che a causarlo sia stato l'evento ed è così definita:

,

A H }

ℙ ℙ{

ℙ{H|A} = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

}

ℙ{

Es:

Preso un pezzo a caso su tutta la produzione, qual è la probabilità che sia difettoso?

= con

= = 1,2,3

ℙ( ) = ⎯⎯ Stabilimento % produzione % difettoso

ℙ( ) = ⎯⎯ 1 20% 1%

)

ℙ( = ⎯⎯ 2 30% 2%

ℙ(| ) = ⎯⎯⎯ 3 50% 5%

ℙ(| ) = ⎯⎯⎯

ℙ(| ) = ⎯⎯⎯ )ℙ( ) )( ) )( )

ℙ() = ℙ(| + ℙ(| + ℙ(| = ⎯⎯⎯⎯

Qual è la probabilità che il pezzo difettoso sia stato prodotto da ?

D

ℙ ℙ{ }

|D}

ℙ{ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯

ℙ{ }

Due eventi e si dicono (statisticamente) indipendenti se:

ℙ{ ∩ } = ℙ{}ℙ{} }

ℙ{ ∩

N.B Se ℙ{} > 0 → ℙ{ ∩ } = ℙ{}ℙ{} ⟺ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯

= ℙ{} ⟺ ℙ{│} = ℙ{}.

ℙ{ }

Es:

Esperimento: estrazione di una carta da un mazzo di 52

= → ℙ{} = ⎯⎯= ⎯⎯

= ℎ → ℙ{} = ⎯⎯= ⎯

e sono indipendenti.

ℙ{ ∩ } = ⎯⎯= ⎯⎯ ⎯ = ℙ{}{} →

Proprietà di due eventi indipendenti: ̅

Se e sono indipendenti allora e sono indipendenti (o e ).

▪

Dimostrazione:

̅ (A

∩ = − ∩ ) ℙ{}ℙ{̅}

ℙ{ ̅ ∩ } = ℙ{} − ℙ{ ∩ } = ℙ{} − ℙ{}ℙ{} = ℙ{}(1 − ℙ{}) =

̅

Se e sono indipendenti allora e sono indipendenti.

▪

Se allora e sono indipendenti, qualunque sia

▪ ℙ{}= 0 .

è indipendente da oppure

▪ ⟺ ℙ A = 0 ℙ A = 1.

PROBABILITA' E STATISTICA Pagina 2

è indipendente da oppure

▪ ⟺ ℙ{A} = 0 ℙ{A} = 1.

Se è indipendente da che è indipendente da non è vero che è indipendente da

▪ , , .

Eventi indipendenti (salvo casi limite) non possono essere disgiunti.

▪ eventi sono indipendenti se, comunque se ne prendano che indichiamo

, , … , ≤ ,

tra di loro (con indici diversi) risulta:

, , … , , , … ,

ℙ ∩ ∩ ⋯ ∩ = ℙ ℙ{ } … ℙ{ }

Tre eventi , sono indipendenti se valgono le seguenti relazioni:

, }

ℙ{A ∩ A = ℙ{A }ℙ{A }

⎧

⎪ }

ℙ{A ∩ A = ℙ{A }ℙ{A }

}

ℙ{A ∩ A = ℙ{A }ℙ{A }

⎨

⎪ } }ℙ{ }ℙ{ }

ℙ{ ∩ ∩ = ℙ{

⎩

Es:

Si lanciano due monete {(), (), (), ()}

→ Ω =

{(), {(), {(),

()} ()} ()}

= → ℙ{} = ⎯; = → ℙ{}= ⎯; = → ℙ{} = ⎯

ℙ{ ∩ } = ⎯ = ℙ{}ℙ{}; ℙ{ ∩ } = ⎯ = ℙ{}ℙ{}; ℙ{ ∩ } = ⎯ = ℙ{}ℙ{}.

Gli eventi sono indipendenti a due a due ma non sono indipendenti tutti e tre insieme perché:

ℙ{ ∩ ∩ } = ⎯ ≠ ⎯ = ℙ{}ℙ{}ℙ{}.

Es:

Si lanciano due dadi truccati {(ℎ,

→ Ω = )|ℎ, = 1, … 6}

{(ℎ, {(ℎ,

= )| = 1,2,5} → ℙ{} = ⎯; = )| = 4,5,6} → ℙ{} = ⎯;

{(ℎ,

= )|ℎ + = 9} → ℙ{} = ⎯;

ℙ{ ∩ } = ⎯ ≠ ⎯ = ℙ{}ℙ{}; ℙ{ ∩ } = ⎯⎯≠ ⎯⎯= ℙ{}ℙ{}; ℙ{ ∩ } = ⎯⎯≠ ⎯⎯= ℙ{}ℙ{}.

Gli eventi non sono indipendenti, nonostante ℙ{ ∩ ∩ } = ⎯⎯= ℙ{}ℙ{}ℙ{}.

OSSERVAZIONE: dati due eventi A,B con tale che dove

(

= ∪ − ) → ℙ{B} = ℙ{A} + ℙ{B − A}

In particolare, siccome allora

ℙ{B − A} = ℙ{B} − ℙ{A}. ⊆ ℙ{A} ≤ ℙ{B}.

Se non è necessariamente vero che

⊈ B, ℙ{B − A} = ℙ{B} − ℙ{A}.

Inoltre:

⊆ ∪ → ℙ{A} ≤ ℙ{A ∪ }

⊆ ∪ → ℙ{B} ≤ ℙ{A ∪ }

Siano A,B due eventi → max ℙ{A}, ℙ{B} ≤ ℙ{A ∪ } ≤ ℙ{A} + ℙ{B}

Dimostrazione:

Se A,B sono due eventi qualsiasi allora ℙ{A ∪ } = ℙ{A} + ℙ{B} − ℙ{A ∩ }

Quindi ℙ{A ∪ } ≤ ℙ{A} + ℙ{B} ≤ 0

ESPERIMENTO:

Scelgo un punto a caso nel quadrato di vertici (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1) e prendo un sottoinsieme

determinato dalla zona in rosso. Qual è la probabilità che il punto scelto cada in tale zona?

Nel modello probabilistico è il quadrato e gli eventi sono sottoinsiemi di esso.

Ω

punto scelto cade in A"

~"il → ℙ{A} = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯= ⎯.

ESPERIMENTO:

Scelgo un punto a casa in un cerchio. Qual è la probabilità di colpire il cerchio di raggio 3 cm?

Supponendo che il cerchio più grande di 10 cm sia effettivamente colpito:

di raggio 10 cm"

Ω~"cerchio il cerchio di raggio 3 cm" .

~"colpisco → ℙ{E} = ⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯= ⎯⎯⎯

[non è un modello realistico perché non tengo in considerazione altri fattori]

VARIABILI ALEATORIE PROBABILITA' E STATISTICA Pagina 3

VARIABILI ALEATORIE

In un'esperimento aleatorio spesso più che il risultato interessa una sua funzione, ovvero qualche numero

casuale che sintetizza l'osservazione

Es:

Nel lancio di due dadi mi interessa la somma del risultato di ogni singolo dado.

In un sondaggio tra SI e NO mi interessa il numero totale di SI e NO.

In un controllo di qualità mi interessa il numero totale di pezzi difettosi ecc..

Una variabile aleatoria è una funzione definita su una corrispondenza tra gli elementi di e i

: Ω → ℝ Ω, Ω

numeri reali, che deve soddisfare la condizione:

{|()

= ≤ } ∈ ℱ ∀ ∈ ℝ.

Es:

Scelto un punto a caso nel cerchio (lancio di freccette), non ci interessa il punto scelto ma la sua distanza

dal centro (variabile aleatoria). ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

.

Ω = {(, )| + < → (, ) = +

L'insieme dei valori che la variabile aleatoria può assumere è detto supporto.

Se il supporto è numerabile allora la variabile aleatoria è discreta.

{ }

, , …

Es:

Lancio infinite volte una moneta finché esce testa.

è il numero del lancio in cui osservo testa per la prima volta valori {1,2,3,…} dunque è dicreta.

→

Es:

Ho due giocatori e ciascuno di loro fa il lancio di due dadi.

v.a. S risultato giocatore 1

1

v.a. S risultato giocatore 2

2

Spazio campionario {(ℎ )|1

Ω = , , ℎ , ≤ ℎ , , ℎ , ≤ 6}

con

(ℎ )

, , ℎ , = ℎ + = 1,2. risultato non dipende da j].

ℙ = 3 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯= ⎯⎯[il

Analogamente non dipende da j.

ℙ = }

Sia una variabile aleatoria discreta con valori si chiama densità discreta di la funzione:

{ },

, , …

[l'elenco delle probabilità di osservare certi valori]

{ } [0,1] ( )

: , , … → → = ℙ{X = }

Le proprietà della densità discreta sono:

per v.a.d si trascurano i valori con probabilità nulla.

▪ ( )

0 < ≤ 1 → poiché

▪ } {X }

∑ ( ) ∑

= ℙ{X = = 1 → = = Ω.

Sia una variabile aleatoria discreta, la funzione di ripartizione di è:

: ℝ → [0,1]

}

() ∑ ∑

= ℙ{X < x} = ℙ{X = = ( )

Dove { { ]−∞, {X }

< } = ∈ ]} = ∪ =

Proprietà della funzione di ripartizione:

Non decrescente:

▪ () ()

≤ → ≤

Dimostrazione:

Per { { () ()

≤ , ≤ } ⊆ ≤ } → ℙ{X ≤ } ≤ ℙ{X ≤ } → ≤

Costante a tratti.

▪ Salta nei valori che può p