Appunti di probabilità e statistica

=[X][Y]

ℂov[XY] = [XY] − [X][Y] − [X][Y] = 0

Ci sono variabili aleatorie con che non sono indipendenti.

ℂov[X, Y] = 0

Es:

Siano due variabili indipendenti cioè A.B hanno valori 0 e 1.

, ~ ⎯

e

ℙ{A = 0} = ⎯ = ℙ{B = 0} ℙ{A = 1} = ⎯ = ℙ{B = 1} X~ 2, ⎯

Consideriamo: ] ] ]

= + → ℂov[X, Y] = [XY] − [X][Y] = [XY] = [ − = [ − [ = 0

= − → [Y] = [A] − [B] = 0

Es:

Siano due v.a. X,Y non indipendenti tali che: quindi

= + = 2

ℙ{X = 2, Y = 0} = ℙ{X = 2} = ℙ{A = 1}ℙ{B = 1} = ⎯

ℙ{X = 2} = ⎯

ℙ{Y = 0} = ℙ{A = B} = ℙ{A = 0, B = 0} + ℙ{A = 1, B = 1} = ⎯ + ⎯ = ⎯

ℙ{X = 2, Y = 0} = ⎯ ≠ ⎯ ⎯ = ℙ{X = 2}ℙ{Y = 0}

Quindi X,Y non sono indipendenti.

La varianza della somma di due variabili aleatorie e è così definita:

[ + ] = [] + 2ℂ[, ] + []

Dimostrazione: ( ) ( )

[ + ] = +− + = − + − = − +

]

) ) ( )

2( − − + − = [( − + 2 − − + − =

= [] + 2ℂ[, ] + []

Siano variabili aleatorie a due a due non correlate, ovvero tali che allora:

, … , ℂ ,

]

[ , … , = [ ] + ⋯ + [ ]

DISUGUAGLIANZA DI CHEBYSHEV: data una variabile aleatoria con e per ogni

[X] = [X] = > 0:

ponendo

ℙ{|X − | > } ≤ ⎯⎯ → = → ℙ{|X − | > } ≤ ⎯⎯

[osservo i valori di X lontani dalla media più di k volte lo scarto quadratico medio]

Evento complementare: ℙ{|X − | < } ≥ 1 − ⎯⎯

⋯

La media campionaria con è uno stimatore ragionevole di e ha le seguenti

= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ~(), θ

proprietà: ⋯

▪ ]

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯ [ + ⋯ + = ⎯ =

+ ⋯+ 1 1 1

▪ ] ⎯⎯⎯( )

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯[ + ⋯ + = + ⋯ + = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯

TEOREMA "legge (debole) dei grandi numeri"

PROBABILITA' E STATISTICA Pagina 8

TEOREMA "legge (debole) dei grandi numeri"

Sia una successione di variabili aleatorie tali che:

, , … (stessa varianza)

▪ [ ] = < +∞

(stessa speranza)

▪ [ ] = con (non correlate)

▪ ℂ , ≠

Allora e si ha che:

∀ > 0 ∀

⋯ ,…,

in particolare:

ℙ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯− > ≤ ⎯⎯⎯→ lim ℙ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯− > = 0

→

Dimostrazione:

Per la legge dei grandi numeri e per la disuguaglianza di Chebychev:

⋯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯

⋯

ℙ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯− > ≤ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯= ⎯⎯ = ⎯⎯⎯

TEOREMA "limite centrale"

Sia una successione di variabili aleatorie tali che:

, , … (stessa varianza)

▪ [ ] = < +∞

(stessa speranza)

▪ [ ] = Per molto grande,

indipendenti ed equidistribuite (stessa densità)

▪ standardizzato ha

Sia la media campionaria, allora si ha che:

∀ < densità vicina a (0,1)

⎯⎯⎯

lim ℙ < ⎯⎯⎯⎯ < = ⎯⎯⎯

∫

⎯⎯⎯

⎯⎯

→ /√ √

N.B lo posso fare quando per e

≥ 30 o, ~(1, ), ≥ 5 (1 − ) ≥ 5

Es:

Si fa un sondaggio per stabilire il risultato di un referendum su una popolazione di 40 milioni di elettori. Se

ne intervistano 4000 che dichiarano se voteranno SI o NO. Supponendo che il 52% degli elettori voterà SI,

qual è la probabilità che la maggioranza del campione effettivamente indichi il SI?

Sia la risposta dell'-esimo intervistato ( se vota SI; se vota NO).

= 1 = 0

Supponiamo che siano indipendenti e abbiano densità

= +⋯+ (4000, 0.52)

La probabilità dell’evento “maggioranza campione dice SI” è:

ℙ{ > 2001} = ℙ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯≥ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ℙ ≥ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

. . . . . .

√ √ √

= ℙ{ ≥ −2.5} = 1 − ℙ{ < −2.5} = 1 − Φ(−2.5) = 1 − 1 − Φ(2.5) = Φ(2.5) = 0.9938

CORREZIONE DI CONTINUITA'

Quando ha valori interi usando un'approssimazione normale, di

{ ≥ 2001} = { > 2000},

solito si ottiene un risultato un po' più preciso considerando { ≥ 2000.5}.

Nel caso precedente: praticamente lo stesso risultato

ℙ{ > 2000.5} ≈ ℙ{ ≥ −2.516} = 0.9940

perché è molto grande.

Quanto grande basterebbe prendere il campione in modo tale che la probabilità che la maggioranza del

campione indichi SI sia almeno 0.975? ⎯⎯ ⎯⎯

⎯⎯⎯ . . . . .

√ √

ℙ{ > /2} = ℙ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯> ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ℙ > ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = Φ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ≥ 0.975

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯ ⎯⎯

. . /√ . . /√ . . . .

√ √ √ √

Dalle tavole della densità normale risulta che: Φ() ≥ 0.975 ⇔ ≥ 1.96

⎯⎯ ⎯⎯

. √

Dunque deve soddisfare:

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ≥ 1.96 ⇔ √ ≥ 48.96 ⇔ ≥ 2398

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

. .

√

MODELLI DI VARIABILI ALEATORIE

PROBABILITA' E STATISTICA Pagina 9

MODELLI DI VARIABILI ALEATORIE

La densità di Bernoulli con parametro è la densità di ogni variabile aleatoria che ha valori 0 e 1:

() ,

{0,1}

: → ℝ Notazione:

(1) = ℙ{X = 1} = p (1, ) ()

(0) = ℙ{X = 0} = 1 − p

Le proprietà della densità di Bernoulli sono:

▪ (1

[X] = 0 ℙ{X = 0} + 1 ℙ{X = 1} = 0 − ) + 1 p = p

▪ (0 (1 (1

[X] = − ) ℙ{X = 0} + 1 − ) ℙ{X = 1} = − ) + (1 − ) = (1 − )

Dati due numeri naturali n, k con k n il numero di sottoinsiemi di k elementi presi da un insieme di n è:

≤

!

= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Coefficiente binomiale:

(

! − )! combinazioni di k oggetti presi tra n

Ogni elemento di viene preso almeno una volta oppure non viene preso.

ESPERIMENTO:

prove ciascuna con risultati possibili indipendenti tra loro.

risultato della prova:

-esima

[successo]

▪ ℙ{ = 1} = [insuccesso]

▪ ℙ{ = 0} = 1 −

Si può verificare che la variabile aleatoria , che rappresenta il numero di successi in

= + + ⋯ +

prove, ha valori e densità binomiale .

0,1, … ,

La densità binomiale con parametri e è la densità di ogni variabile aleatoria che conta il

(, )

numero di successi in prove, dove è la probabilità di ogni singolo successo.

probabilità di k successi in n prove.

()

= ℙ{Sn = k} = (1 − ) →

Le proprietà della densità binomiale sono:

▪ ] ] ]

[Sn] = [ + ⋯ = [ + ⋯ + [ = + ⋯ + =

▪ [Sn] = (1 − )

La densità di Poisson con parametro > 0 è la densità discreta:

()

() = ⎯⎯ > 0

!

Le proprietà della densità di Poisson sono:

▪ [X] = [X] =

▪ () ≥ 0 (formula notevole)

▪ ∑ ∑ ∑

⎯⎯= → ⎯⎯= = 1

! !

Si verifica che la densità di per grande e piccolo è approssimato da con cioè:

() = ,

≈

() (1

= − ) ⎯⎯ ∀ ≥ 0 con

(1

lim − ) = ⎯

! →

È nota come legge degli eventi rari perché più il numero di prove tende a infinito ( grande) più la

probabilità di successo ( piccolo) della singola prova tende a zero [ e

> 100 < 10].

ESPERIMENTO:

Infinite prove indipendenti.

risultato della i-esima prova:

x [successo]

▪ ℙ{x = 1} = p [insuccesso]

▪ ℙ{x = 0} = 1 − p

Variabile aleatoria discreta T indica il numero della prova in cui si osserva per la prima volta successo.

} (1

ℙ{ = = { = 0, … , = 0, = 1} = ℙ{ = 0} … ℙ{ = 0}ℙ{ = 1} = − )

[ ]

= 1,2, …

La densità geometrica con parametro è la densità di una variabile aleatoria che conta il numero

(p), ,

PROBABILITA' E STATISTICA Pagina 10

La densità geometrica con parametro è la densità di una variabile aleatoria che conta il numero

(p), ,

di prove fino alla comparsa del primo successo dopo insuccessi.

, − 1

(1

() = − ) è decrescente

▪ (1 − )

Il massimo per è la moda

▪

Le proprietà di sono: = 1

(p)

▪ () ≥ 0

▪ ∑ (1 ∑ (1

− ) = − ) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1 Se (serie geometrica)

( ) || ∑

< 1 → = ⎯⎯⎯

▪ ∑ ∑

[X] = () = (1 − ) = ⎯

▪ [X] = − ⎯ = ⎯⎯⎯

Assenza di memoria: se faccio n prove indipendenti non importa ciò che è successo nel passato, la

▪ probabilità non cambia il fatto "n prove sen