Appunti di Probabilità e Statistica

X X

x∈A x∈A

Osservazione 1

F , P E

Siano (Ω, ) uno spazio di probabilità ed un insieme numerabile; allora una funzione

F P(E)) F

−1

→ ∀x ∈ ∈

X , P E X

: (Ω, ) (E, è una variabile aleatoria se e solo se si ha (x) .

Dimostrazione F

−1 −1 −1

∀A ⊂ ∈ ∀x ∈

S

E, X X X , A

(A) = ({x}); quindi, se vale 1) si ha (x) e quindi

x∈A

F

−1 ∈

S X A X

({x}) , poiché è numerabile; dunque è una variabile aleatoria; il viceversa è

x∈A

ovvio.

Osservazione 2 F P(E))

⊂ →

E E X , P

Se è un insieme numerabile, ed : (Ω, ) (E, è una variabile aleatoria

R, ∀x ∈

P

f P Y

discreta, allora (x) = (X = ), R.

X

f

In particolare, è costante a tratti.

X

Definizione 2 F P(E))

→

E X , ..., X , P

Sia un insieme numerabile e siano : (Ω, ) ((E, variabili aleatorie

n

1 F n

→ vettore aleatorio

X , ..., X , P E

discrete; allora il vettore = (X ) : (Ω, ) si dice

n

1

discreto.

Osservazione 3

F , P E

Sia (Ω, ) uno spazio di probabilità e sia un insieme numerabile; allora il vettore

F n

→

X , ..., X , P E

= (X ) : (Ω, ) è un vettore aleatorio discreto se e solo se

n

1

F P(E

n n

→

X , P ,

: (Ω, ) (E )) è una variabile aleatoria discreta.

Dimostrazione n

∀x ∈

X , ..., x E

Se è un vettore aleatorio discreto, = (x ) , si ha

n

1

−1 F

−1 ni=1 ∈

T

X X X

(x) = (x ) e quindi è una variabile aleatoria discreta per l’osservazione 1.

i

i 14 ∀i ∈ {1, ∀x ∈

X ..., n}, E

Viceversa, se è una variabile aleatoria discreta, si ha

i

∈ ∀j ∈ {1, {X ∈

x x , X E, ..., n}\{i}) A},

(X = ) = (X = = dove

i i i i j F

n n

{y ∈ } ⊂ {X } ∈

A E y x E x X

= : = ; quindi, = e di conseguenza è un vettore

i i i i

aleatorio discreto.

Definizione 3 F P(E

n n

→

, ..., X , P ,

X = (X ) : (Ω, ) (E )) un vettore aleatorio discreto; la densità

Sia n

1 densità congiunta discreta

f X X , ..., X

discreta di si dice delle variabili aleatorie .

n

1

X

∀i ∈ {1, densità marginale discreta,

..., n} X i X.

la densità discreta di si dice di indice di

i n

∀(x ∈

f , ..., x P x , ..., X x , ..., x E

(Quindi (x ) = (X = = ), ) ).

n n n n

1 1 1 1

X

Proposizione 1 F P(E

n n

→

X , ..., X , P ,

Sia = (X ) : (Ω, ) (E )) un vettore aleatorio discreto e sia

n

1

∈ {1,

j ..., n} I. f X f

= Allora, indicando con la densità discreta di e con la densità

X X

j

F P(E)),

→

X , P

discreta della variabile aleatoria : (Ω, ) (E, si ha

j

∀X ∈

P

f E

f

(x ) = (x),

j j

X X

∈E

X

j i

Dimostrazione

∀X ∈ } ∩ {X ∈ ∀i ∈

E, f P x P x E, I\{j}})

(x ) = (X = ) = ({X = =

j j j j j j i

X

j [

} ∩ {X ∀i ∈

P x x , I\{j}}))

({X = ( = =

j j i i

∈E

X

i X X

[ {{X } ∩ {X ∀i ∈ ∀i ∈

x x , I\{j}}}) P x , I) f

P = = = (X = =

( (x)

j j i i i i X

∈E

X

j

Proposizione 2 F P(Z

2 2

→

, X , P , f

Sia (X ) : (Ω, ) (Z )) un vettore aleatorio discreto, sia la sua

1 2 ,X

(X )

1 2

F P(Z)),

→

T X X , P

densità discreta e sia la variabile aleatoria = + : (Ω, ) (Z, si ha allora:

1 2

X − ∀t ∈

f f , t x

(t) = (x ), Z

x ,x 1 1

T 1 2

∈Z

x 1

Dimostrazione [

∀t ∈ {X − })

f P X t) P x , X t x

(t) = (X + = = ( = =

Z, 1 2 1 1 2 1

T ∈Z

x 1

X X

− −

P x , X t x f , t x

= (X = = ) = (x )

1 1 2 1 1 1

,x

(x )

1 2

∈Z ∈Z

x x

1 1

Definizione 4 F P(E))

→

X , X , P f

Siano : (Ω, ) (E, variabili aleatorie discrete, sia la loro densità

1 2 ,X

(X )

1 2

∀x ∈

f X , E

congiunta discreta e sia la densità discreta della variabile aleatoria si dice

2 2

X

2

densità condizionata X X x X

di dato = la funzione della variabile definita da:

1 2 2 1

 f ,x

(x )

1 2

,X

(X ) f >

se (x ) 0

1 2

 2

X

f (x ) 2

|x

f (x ) = x 2

2

1 2

|X

(X )

1 2 f

0 se (x ) = 0

 2

X

2

f

Analogamente si definisce .

|X

(X )

2 1 15

Osservazione 4 ∀x ∈ |x

P

>

E f f

(x ) 0, si ha

Nelle ipotesi della definizione 4, tale che (x ) = 1.

2

2 1 2

X |X

X

∈E

x

2 1 2

1

f E.

Quindi, la funzione (·|x ) è una densità discreta su

2

|X

X

1 2

Dimostrazione

∀x ∈ E f >

tale che (x ) 0 si ha:

2 2

X

2 P f , x

(x ) f (x )

1 2

,X

(X )

∈E 2

X

X 1 2 2

1 = =1

f f

(x ) (x )

2 2

X X

2 2

4.1 Indipendenza di variabili aleatorie discrete

Definizione 1 F P(E))

→

X , ..., X , P

Siano : (Ω, ) (E, variabili aleatorie discrete.

n

1

• ∀A ⊂

indipendenti

X , ..., X , ..., A E,

Si dice che le variabili aleatorie sono se, si ha

n n

1 1

∈ ∈ ∈ · · ∈

P A , ..., X A P A ... P A

(X ) = (X ) (X )

n n n n

1 1 1 1

• a due a due indipendenti

X , ..., X

Si dice che le variabili aleatorie sono se,

n

1

∀i, ∈ {1, 6

j ..., n}, i j, X X

= le variabili aleatorie e sono indipendenti.

i j

Definizione 2 F P(E))

{X } →

, P

Siano : (Ω, ) (E, variabili aleatorie discrete.

∗

n n∈N ∗

• {X } ∀n ∈

indipendenti

Si dice che le variabili aleatorie sono se, , le variabili

N

∗

n n∈N

X , ..., X

aleatorie sono indipendenti.

n

1

• {X } a due a due indipendenti

Si dice che le variabili aleatorie sono se,

∗

n n∈N

∗

∀i, ∈ 6

j , i j, X X

= le variabili aleatorie e sono indipendenti.

N i j

Osservazione 1 F P(E))

→

X , ..., X , P

Siano : (Ω, ) (E, variabili aleatorie discrete indipendenti; allora esse

n

1

sono a due a due indipendenti.

Dimostrazione

∈ {1, 6 ⊂

i, j ..., n}, i j A , A E;

Siano = e siano si ha:

i j

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∀h ∈ {1,

P A , X A P A , X A , X E, ..., n}\{i, j})

(X ) = (X

i i j j i i j j h

Y

∈ ∈ ∈ ∈ ∈

P A A P E) P A A

= (X )P (X ) (X = (X )P (X )

i i j j i i j j

h

Osservazione 2 F P(E))

{X } →

, P

Siano : (Ω, ) (E, variabili aleatorie discrete indipendenti; allora, esse

∗

n n∈N

sono a due a due indipendenti.

Dimostrazione

∈ {1,

i, j ..., n}, i < j; X , ..., X

Siano per ipotesi le variabili aleatorie sono indipendenti e

j

1

X X

quindi anche le variabili aleatorie e (per l’osservazione 1).

i j

i > j.

Analogamente se 16

Proposizione 1 F P(E))

→

X , ..., X , P

Siano : (Ω, ) (E, variabili aleatorie discrete; le seguenti condizioni

n

1

sono equivalenti:

X , ..., X

1. sono variabili aleatorie indipendenti.

n

1 n

∀(x ∈ · ·

, ..., x E P x , ..., X x P x ... P x

2. ) si ha (X = = ) = (X = ) (X = )

n n n n n

1 1 1 1 1

Dimostrazione

⇒

1 2 Ovvio

⇒ ∀A ⊂

, ..., A E

2 1 Se vale la 2, si ha :

n

1 [

∈ ∈ {X })

P A , ..., X A P x , ..., X x

(X ) = ( = =

n n n n

1 1 1 1

x ,...,x n

1

X X X X

··· ··· · ·

P x , ..., X x P x ... P x

= (X = = ) = (X = ) (X = )

n n n n

1 1 1 1

∈A ∈A ∈A ∈A

x x x x

n n n n

1 1 1 1 [

[

X

X {X })

{X })

··· x

x P

P x P =

= = (

(X = ) = (

= n n

n n 1 1 ∈A

∈A

∈A

∈A x

x

x

x n n

n n 1 1

1 1 ∈ · · ∈

P A ... P A

= (X ) (X )

n n

1 1

X , ..., X

Quindi sono variabili aleatorie indipendenti

n

1

Osservazione 3

F P(E))

→

X, Y , P

Siano : (Ω, ) (E, variabili aleatorie discrete; le seguenti condizioni sono

equivalenti:

X Y

1. e sono indipendenti

∀A ⊂ ∈ ∀B ⊂ ∈ ∈ ∈

E P A) > E, P B|X A) P B)

2. tale che (X 0 e si ha (Y = (Y

∀x ∈ ∀y ∈

E f > E, f f

3. tale che (x) 0 e si ha (y|x) = (y).

X Y

|X

Y

Dimostrazione

⇒ X Y

1 2 Se e sono indipendenti si ha:

∈ ∈ ∈ · ∈

P A, Y B) P A) P B)

(X = (X (Y

∈

P A) >

Quindi, se (X 0, si ha: ∈ ∈

P A, Y B)

(X

∈ ∈ ∈

P B|X A) P B)

(Y = = (Y

∈

P A)

(X

⇒

2 3 Ovvio

⇒ ∈

x, y E. f >

3 1 Supponiamo che valga la 3 e siano Se (x) 0 si ha:

X

· ·

P x, Y y) P y|X x) P x) P x) P y)

(X = = = (Y = = (X = = (X = (Y =

f

Se invece (x) = 0 si ha:

X ·

P x, Y y) P x) P y)

(X = = = 0 = (X = (Y =

⊂ {X

P x, Y y) x} P x) X Y

dove (X = = = e (X = = 0. Quindi per la proposizione 1, e

sono indipendenti. 17

Proposizione 2

[Principio della composizione]

F P(E))

→

X , ..., X , P

Siano : (Ω, ) (E, variabili aleatorie discrete indipendenti. Sia

n

1

∗

∈ ≤ ⊂ {1, ≡ ∩ ∅, ∀i 6

m , m n, N , ..., N ..., n} N N N j,

e siano tali che = = e tali che

N m i j

1

∪ ∪ |N | ∀i

N ... N N n , ..., m; F

= e tali che