Appunti di Probabilità e Statistica

Appunti di Probabilità e Statistica

Gaia Michelazzi e Martina Maione

17 giugno 2019

"Le domande più importanti della vita sono,

per la gran parte, davvero soltanto problemi di probabilità."

(Pierre Simon Laplace)

1

Indice

I Probabilità 3

1 Spazi di probabilità 4

1.1 Spazi di probabilità discreti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Probabilità condizionata ad un evento 9

2.1 Indipendenza di eventi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Variabili aleatorie 12

4 Variabili aleatorie discrete 14

4.1 Indipendenza di variabili aleatorie discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2 Esempi di variabili aleatorie discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.3 Media di una variabile aleatoria discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 Catene di Markov 28

6 Variabili aleatorie reali 31

6.1 Vettori aleatori reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.2 Indipendenza di variabili aleatorie reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

7 Variabili aleatorie continue 35

7.1 Media di una variabile aleatoria continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7.2 Esempi di variabili aleatorie continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7.3 Variabili aleatorie normali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

χ-quadrato

7.4 Variabili aleatorie e t di Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7.5 Vettori aleatori 2-dimensionali continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8 Momenti, covarianza e varianza 51

8.1 Funzione generatrice dei momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

9 Integrazione di funzioni a due variabili 57

II Statistica 59

1 Intervalli di confidenza 64

2

Parte I

Probabilità

3

Capitolo 1

Spazi di probabilità

Definizione 1 F P(Ω) F

⊂

Sia Ω un insieme qualsiasi e sia l’insieme dei sottoinsiemi di Ω. si dice

σ-algebra su Ω se si ha:

F

∈

1. Ω F F

C

∈ ⇒ ∈

A A

2. Se F F

{A } ⊂ ∈

S A

3. Se allora

n n

n∈N n∈N

Definizione 2 F F → misura di

σ-algebra. P

Sia Ω un insieme e sia una Una funzione : [0, 1] si dice

probabilità probabilità)

(oppure se si ha:

P

1. (∅) = 0

P

2. (Ω) = 1 F

{A } ⊂ ∩ ∅, ∀m 6 {A }

A A n

3. Se tale che = = (cioè se è costituita da

n n m n

n∈N n∈N

⇒ P

S P

A

P (A )

elementi a due a due disgiunti) ( ) = n

n n∈N

n∈N

Definizione 3 F F

σ-algebra P

Sia Ω un insieme, sia una su Ω, sia una probabilità su . Allora la coppia

F spazio misurabile di probabilità, eventualità

ω

(Ω, ) si dice gli elementi di Ω si dicono

F eventi.

A

e gli elementi di si dicono

Proposizione 1

[Formula di inclusione-esclusione]

F , P

Sia (Ω, ) uno spazio di probabilità, si ha:

F

∈ ⊂ ⇒ ≤

A, B A B P P

1. Se e (A) (B)

F

{A } ⊂ ⇒ ≤

S P

P A P

2. Se ( ) (A )

n n n

n∈N n∈N n∈N

F

∈ ⊂ ⇒

A, B A B P P P

3. Se e (B) = (A) + (B\A)

4

F

∈

A , ..., A

4. Se allora:

n

1 n n n n

[ X X X

− ∩

P A P P A

( ) = (A ) (A )

i i i j

i=1 i=1 i=1 j=i+1

n n n n

X X X \

n−1

∩ ∩ − ·

P A A ... P A

+ (A ) + (−1) ( )

i j i

k

i=1 j=i+1 i=1

k=j+1

F

∈

A, B

In particolare, se si ha:

∪ − ∩

P B) P P P B)

(A = (A) + (B) (A

F C

∈ ⇒ −

A P P

5. Se (A ) = 1 (A)

Dimostrazione

∪ ∩ ∅

B A A

1-3 = (B\A), dove (B\A) =

⇒ ≥

P P P P P

Quindi (B) = (A) + (B\A) (B) (A)

⇒ ∪ − ∩

n P B) P P P B).

4 Caso particolare con = 2 devo dimostrare che (A = (A) + (B) (A

∪ ∪ ∩ ∅).

A B A A B A B

= (B\A) con e disgiunti (⇒ =

− ∩

P P P B).

Per il punto 1 si ha: (B\A) = (B) (A

∪ − ∩

P B) P P P B).

Perciò (A = (A) + (B) (A

F C C

∀A ∈ ∪ ∩ ∅.

A A A A

5 si ha = Ω e =

C C

∪

P P A P P

Quindi 1 = (Ω) = (A ) = (A) + (A ).

C −

P P

Perciò (A ) = 1 (A).

Proposizione 2

F F

{A } ⊂

, P

Sia (Ω, ) uno spazio di probabilità e sia allora:

n n∈N

⊂ ∀n ∈ S

A A , P P A

1. Se allora lim (A ) = ( )

N

n n+1 n→+∞ n n

n∈N

⊃ ∀n ∈ T

A A , lim P P A

2. Se allora (A ) = ( )

N

n n+1 n→+∞ n n

n∈N

1.1 Spazi di probabilità discreti

Definizione 1 P(Ω),

P

Sia Ω un insieme numerabile e sia una misura di probabilità su allora la tripla

P(Ω), spazio di probabilità discreto.

P

(Ω, ) si dice

Definizione 2 → P

f f

Sia Ω un insieme numerabile, una funzione : Ω [0, 1] tale che (ω) = 1 si dice

ω∈Ω

densità discreta su Ω.

Osservazione 1 P(Ω))

f

Se esiste una densità discreta su Ω numerabile si può definire su (Ω, la seguente

P

misura di probabilità : X ∀A ⊂

P f

(A) = (ω), Ω

ω∈A 5 P(Ω)),

P f

Se, viceversa, è una misura di probabilità su (Ω, esiste la seguente densità discreta

su Ω: ∀ω ∈

f P

(ω) = ({ω}), Ω

Definizione 3 P(Ω)) uniforme discreta

P

Sia Ω finito, una misura di probabilità su (Ω, si dice se si ha:

1 ∀ω ∈

,

P Ω

({ω}) = |Ω|

Osservazione 2 |A| num. casi favorevoli

∀A ⊂ P

Nelle ipotesi della definizione 3, Ω, (A) = =

|Ω| num. casi possibili

Dimostrazione

∀A ⊂ {w}

P S

P P A

Ω, (A) = ({ω}) [Poichè = e inoltre sono disgiunti (cioè

ω∈A ω∈A

∩ ∅, ∀i 6

ω ω j]

= =

i j |A|

1

[ X X

⇒ {w})

P P P

(A) = ( = ({ω}) = =

|Ω| |Ω|

ω∈A ω∈A ω∈A

|A| |Ω|

A,

dove è la cardinalità di e è la cardinalità di Ω.

Definizione 4

∈ {1, {1,

k, n K ..., k}, N ..., n}.

Siano sia = = Allora:

N, K K

N K N N

1. Si indica con l’insieme delle funzioni da in (quindi identifichiamo con

K · ·

N N ... N

= ) n

≤

k n D K N

2. Se si indica con l’insieme delle funzioni iniettive (disposizioni) da in

k n k

∈

D ω , ..., ω N

(quindi identifichiamo con l’insieme dei vettori = (ω ) tale che

1 k

k

6 ∀i 6

ω ω , j).

= =

i j n permutazioni K.

n k D è l’insieme delle di

Se in particolare = allora k

Osservazione 3

Nelle ipotesi della definizione 4, si ha:

K k

|N | n

1. = n!

n

≤ |D | − · · −

k n, n(n ... k

2. Se = 1) (n + 1) = = (n)

k

k (n−k)!

k

|D |

n k, k!

3. Se = =

k

Dimostrazione

K

∀f ∈ N f K N f k

1. (cioè per ogni funzione da in ), l’immagine mediante dei elementi di

K k

|N |

K n n

può essere scelta in modi diversi, quindi = .

n

≤ ∀f ∈

k n, D

2. Se :

k ◦

• f K n

l’immagine mediante del 1 elemento di può essere scelta in modi diversi

◦

• −

f K n

l’immagine mediante del 2 elemento di può essere scelta in 1 modi diversi

6

• così via...

|K| k

Poiché = n |

⇒ |D = (n)

k

k

3. Segue dal punto 2.

Definizione 5

∗

∈ {1, {1,

k, n K ..., k} N ..., n},

Siano ; sia = e sia = allora:

N P(N K

• P

Se è la misura di probabilità uniforme discreta su ), lo spazio di probabilità

P(N

K K campionamento con reimmissione;

, P

(N ), ) si dice inoltre, un elemento

K

{ω } ∈ campione con reimmissione.

ω , ..., ω N

= si dice

1 k P(D n

• ≤

k n P

Se e è la misura di probabilità uniforme discreta su ), lo spazio di

k

P(D

K n campionamento senza reimmissione;

, P

probabilità (N ), ) si dice inoltre, un

k n

{ω } ∈ campione senza reimmissione.

ω , ..., ω D

elemento = si dice

1 k k

Definizione 6

∗ n

∈ ≤ {1,

k, n k n N ..., n}; C

Siano tale che e sia = si indica con l’insieme dei sottoinsiemi

N k

N k.

di di cardinalità

Osservazione 4

Nelle ipotesi della definizione 6 si ha: !

n n!

n ≡

|C | =

k −

k!(n k)!

k

Dimostrazione

n n

|C |, |C | N k]

Parto da dove è il numero dei sottoinsiemi di di cardinalità

k k

k |,

|D

Moltiplico per dove

k

k

|D | N k]

è il numero delle permutazioni di un sottoinsiemi di di cardinalità

k

n k n n

|C | · |D | |D |, |D | N k]

= dove è il numero dei sottoinsiemi ordinati di di cardinalità

k k k k !

n

|D | n

(n)

k

n k

⇒ |C | = = =

k k

|D | k! k

k

Teorema 1

[Teorema del campionamento senza reimmissione]

∗

∈ ≤ ≤ ⊂ {1,

k, m, n k n, m n. N , ..., N ..., n}

Siano tale che Siano tale che

N m

1

∩ ∅, ∀i 6 |N | ∀i ≡ ≤

N N j n , ..., m n n ... n n);

= = e tale che = = 1, (quindi, + + inoltre,

i j i i m

1

⊂ {1, ∩ ∅, ∀i 6 |R | ∀i

R , ..., R ..., k} R R j r , ..., m

siano tale che = = e tale che = = 1,

m i j i i

1 P(D

n n

≡ ≤

r r ... r k). , P

(quindi, + + Allora, se (D ), ) è un campionamento senza

m

1 k k

reimmissione si ha: n

∈ ∈ ∀i ∈ ∀j

P , ..., ω D ω N , R , ..., m})

({ω = (ω ) : = 1, =

i j j

1 k k

· · − · · · − · · · −

n ... r n ... r n ... r

(n ) (n ) (n ) (n ) (n ) (n )

m m−1 m m+1

1 1−1 1 1+1 2 2−1 2 2+1

= − · · −

n(n ... r

1) (n + 1)

7

Dimostrazione

∀i∈R j

|{ω ∈ } |

N =

i j ∀j=1,...,m

· · − · · · − · · · −

n ... r n ... r n ... r

(n ) (n ) (n ) (n ) (n ) (n )

−1

m m m+1

1 1−1 1 1+1 2 2−1 2 2+1 ·

− · · − − − − · · −

n(n ... r r)(n r ... k

1) (n + 1)(n 1) (n + 1)

− − − · · −

r)(n r ... k

[(n 1) (n + 1)]

Semplifico i termini uguali al numeratore e al denominatore e ottengo la tesi.

8

Capitolo 2

Probabilità condizionata ad un

evento

Definizione 1

F misura di

, P H P >

Sia (Ω, ) uno spazio di probabilità e sia tale che (H) 0; si chiama

F

probabilità condizionata H P

ad la misurà di probabilità su (Ω, ), indicata con (·|H),

P (A∩H) F

∀A ∈

P ,

definito da (A|H) = .

P (H)

Proposizione 1

[Formula delle alternative]

F {B }

, P

Sia (Ω, ) uno spazio di probabilità, sia una partizione di Ω costituita da eventi

n n∈N

F F

∀n ∈ ∀A ∈

P >

di tale che (B ) 0, allora, , si ha:

N;

n X ·

P P

P (A) = (A|B ) (B )

n n

n∈N

Dimostrazione X

[ {A ∩ ∩

B}) P B

P P

(A) = ( = (A )

n

n∈N n∈N

{B ∩ A}

Poiché gli insiemi sono disgiunti :

n n∈N X ···

= n∈N

Proposizione 2

[Formula di Bayes elementare] F

∀A ∈ ∀n ∈

P >

Nelle ipotesi della proposizione 1, tale che (A) 0 e si ha

N

·

P P

(A|B ) (B )

n n

|A)

P (B =

n ·

P P P

(A|B ) (B )

n n

n∈N

Dimostrazione

Per la proposizione 1 si ha: ∩

P A)

(B

n

|A)

P (B =

n P (A)

Perciò: ·

P P

(A|B ) (B )

n n

|A)

P (B =

n ·

P P P

(A|B ) (B )

n n

n∈N

9

Proposizione 3

F F

∈ ∩ ∩

, P A , ..., A P ... A >

Sia (Ω, ) uno spazio di probabilità e siano tale che (A ) 0;

n n−1

1 1

si ha allora ∩ ∩ · |A · · |A ∩ ∩ ∀2 ≤ ≤

P ... A P P ... P ... A m n

(A ) = (A ) (A ) (A ),

m m m−1

1 1 2 1 1

Dimostrazione m

Per induzione su = 2.

• m

Per = 2 la tesi è vera.

• ≤ ≤ −

m n

Suppongo sia vera per 2 1.

• m

Per + 1 si ha per ipotesi induttiva:

∩ ∩ |A ∩ ∩ · ∩ ∩

P ... A P ... A P ... A

(A ) = (A ) (A )

m+1 m+1 m m

1 1 1

· |A · · |A ∩ ∩ · |A ∩ ∩

P P ... P ... A P ... A

= (A ) (A ) (A ) (A )

m m−1 m+1 m

1 2 1 1 1

2.1 Indipendenza di eventi

Definizione 1

F F

∈

, P A , ..., A

Sia (Ω, ) uno spazio di probabilità e siano . Allora

n

1

• ∀k ∈ {1,

indipendenti

A , ..., A ..., n}

Si dice che gli eventi sono se e

n

1

∀1 ≤ ≤

i < ... < i n, si ha:

k ∩ ∩ · ·

P ... A P ... P

(A ) = (A ) (A )

i i i i

1 1

k k

• a due a due indipendenti

A , ..., A

Si dice che gli eventi sono se

n

1

∀i, ∈ {1, 6

j ..., n} i j,

: = si ha: ∩ ·

P A P P

(A ) = (A ) (A )

i j i j

Definizione 2

F F

{A } ⊂

, P

Sia (Ω, ) uno spazio di probabilità e siano .

∗

n n∈N ∗

• {A } ∀m ∈

indipendenti A , ..., A

Si dice che gli eventi sono se , gli eventi

N

∗

n m

1

n∈N

sono indipendenti. ∗

• {A } ∀i, ∈ 6

a due a due indipendenti j , i j

Si dice che gli eventi sono se = si

N

∗

n n∈N

ha: ∩ ·

P A P P

(A ) = (A ) (A )

i j i j

Osservazione 1 F

∈

A , .., A

Se gli eventi sono indipendenti, allora sono a due a due indipendenti.

n

1

Osservazione 2 F

{A } ⊂

Se gli eventi sono indipendenti allora sono a due a due indipendenti.

∗

n n∈N

Osservazione 3

F F

∈

, P A, B

Sia (Ω, ) uno spazio di probabilità e siano ; le seguenti condizioni sono

equivalenti: 10

A B

1. e sono eventi indipendenti

P > P P

2. Se (A) 0 si ha (B|A) = (B)

Dimostrazione

⇒ ∩ ·

A B P B) P P P >

1 2 Se e sono indipendenti, si ha (A = (A) (B); quindi, se (A) 0 si ha:

∩

P B)

(A

P P

(B|A) = = (B)

P (A)

.

⇒ P >

2 1 Supponiamo che valga la 2. Se (A) 0 si ha:

∩ · ·

P B) P P P P

(A = (B|A) (A) = (A) (B)

P

Se invece (A) = 0 si ha: ∩ ·

P B) P P

(A = 0 = (A) (B)

11

Capitolo 3

Variabili aleatorie

Definizione 1

F E F

→ -misurabile

f E /E

Siano (Ω, ) e (E, ) spazi misurabili; una funzione : Ω si dice se

E F F E

−1

∀A ∈ ∈ →

f f

si ha (A) (si dice anche che : (Ω, ) (E, ) è misurabile).

Definizione 2

A P(R); A B

{(−∞, ∈ ⊂

x] x σ-algebra

Sia = : non è una su indichiamo con la più

R} R;

A B di Borel su

σ-algebra σ-algebra

piccola su contenente . si dice

R R.

Osservazione 1

B {x}

φ, x], x), y), y], y),

contiene gli insiemi (−∞, (−∞, [x, +∞), (x, +∞), [x, (x, (x, al

R,

∈

x, y

variare di R.

Osservazione 2 B/B-misurabile.

→

f

Una funzione : continua (rispetto alla topologia euclidea) è

R R

Il viceversa non vale.

Osservazione 3

F B)

→ ∈

f, g a, b

Siano : (Ω, ) (R, funzioni misurabili, e siano allora:

R;

F B)

• →

af bg

la funzione + : (Ω, ) (R, è misurabile

F B)

• →

f g

la funzione : (Ω, ) (R, è misurabile

F B)

1

• → 6 ∀ω ∈

f

la funzione : (Ω, ) (R, è misurabile, se (ω) = 0, Ω.

f

Definizione 3

F E

, P

Sia (Ω, ) uno spazio di probabilità e sia (E, ) uno spazio misurabile; una funzione

F E

→ variabile aleatoria

X : (Ω, ) (E, ) misurabile si dice (si scrive anche

F E

→

X , P

: (Ω, ) (E, )).

Definizione 4 L E →