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Appunti di pedagogia sperimentale, prof. Davide Capperucci

Appunti di pedagogia sperimentale basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Capperucci dell’università degli Studi di Firenze - Unifi, facoltà di Scienze della formazione, Corso di laurea in scienze della formazione primaria. Scarica il file in formato PDF!

Esame di Pedagogia sperimentale docente Prof. D. Capperucci

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ESTRATTO DOCUMENTO

Ovvero procedere così:

m a + m a + m a 9 + 10 + 19 38

A B C

m a = = = = 12,6

G 3 3 3

In questo caso la media delle medie (ma ) verrebbe ad essere 12,6 (anziché 15,45) questo

G ma

secondo procedimento ci porterebbe ad un risultato errato (12,6 - errata), perché non tiene

G

conto che le classi non sono costituite dallo stesso numero di alunni, infatti per ottenere la media

delle medie non possiamo utilizzare le medie di gruppi come se si trattasse di punteggi grezzi.

media fra percentuali,

Nel caso della consideriamo il seguente caso:

Scuole Alunni Respinti Percentuale

Scuola A 650 212 32,6%

Scuola B 228 10 4,4%

La percentuale media dei respinti sarà:

10 + 212 222

= × 100 = × 100 =

P%media 25,3%

650 + 228 878

Tale percentuale media si può calcolare anche direttamente dalle percentuali di respinti delle

singole scuole, ponderando ogni percentuale con il numero di soggetti sui quali è stata calcolata,

come indicato nella slide successiva.

32,6 × 650 + 4,4 × 228 222 + 10 222

= × 100 = × 100 = × 100 =

P%media 25,3%

650 + 228 878 878

∑ n P

i i

= × 100

P%media

La formula generale della percentuale media è ∑ n i

Dove:

n

• = è il numero dei soggetti di ciascun campione

i

P

• = è la percentuale di ciascun campione

i

Σ n P

• = la somma dei prodotti del numero dei soggetti di ciascun campione per la relativa

i i

percentuale

Σ n

• = numero dei soggetti di ciascun campione

i

moda

La (o valore modale o norma) è il valore di una distribuzione che si ripete il maggior numero

di volte: è quindi quella modalità cui corrisponde la massima frequenza (f). La moda (mo) serve

per dare un’indicazione sommaria su quello che è il risultato tipico o più comune e non può

essere adottata per confronti precisi. Quando il numero dei soggetti è piccolo la moda ha poco

significato, perché basta cambiare gruppo per ottenere facilmente un’altra moda.

Ad esempio, osserviamo la tabella delle frequenze con cui un gruppo di docenti partecipa agli

incontri con i genitori di alunni disabili:

Partecipazione incontri f f %

Mai 16 5,2

Qualche volta 170 55,0

Spesso 119 38,5

Non rilevato 4 1,3 7

Partecipazione incontri f f %

TOTALE 309 100,0

Dai dati riportati nella tabella si evince che la maggioranza dei docenti del gruppo in questione

incontra le famiglie degli alunni con disabilità solo “qualche volta”.

In quest’altro esempio, osserviamo le nostre scale di valori:

6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6,

A) 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 8, 8, 9

5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5,

B) 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 6

ma = 6

A

mo = 5

B

mediana

La divide una distribuzione in due parti uguali, per individuare la mediana (md) è

necessario che i valori della distribuzioni siano ordinati in senso progressivo.

Ad esempio: 6, 6,

A) 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 8, 8, 9

5, 5,

B) 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6

ma = 6

A

mo = 5

B n n

Nel caso di valori della distribuzione, se è dispari, la mediana è il valore che occupa il posto:

n +1 .

2 n n

Nel caso di valori della distribuzione, se è pari, la mediana è data dai due valori che occupano

n n +2

i posti: e .

2 2

Grazie alla mediana (md) la distribuzione viene divisa in due parti, individuando il valore che sta al

centro del gruppo di dati raccolti. Seguendo lo stesso principio è possibile dividere la

distribuzione in più parti, dividendo la distribuzione in 3, 4, 10, 100 sottogruppi/parti uguali, in tal

caso si parla rispettivamente di terzili, quartili, decili, centili; questi vengono ad essere misure di

posizione in quanto segnano il confine tra un gruppo e l’altro e differenziano la qualità delle

prestazioni tra un gruppo e l’altro.

Prendiamo, ad esempio, il calcolo dei decili (D) per via aritmetica:

1. si prendono i risultati individuali e si dispongono per ordine di grandezza (come avviene per il

calcolo della mediana);

2. si suddivide il loro numero totale in 10 gruppi aventi ciascuno un numero identico di

componenti. Ad esempio, se un gruppo di alunni partecipanti ad una prova è di 100 soggetti,

si divide in 10 sottogruppi di 10 soggetti ciascuno;

3. si prendono gli elaborati del primo gruppo è si legge il risultato del decimo (cioè il risultato più

alto del primo gruppo di 10): questo risultato è il valore corrispondente al (D ).

primo decile 1

Si fa la stessa cosa con i 10 elaborati seguenti (con il secondo gruppo di 10, per ordine di

grandezza). Si legge il risultato più ampio di questo secondo gruppo: esso sarà il valore

corrispondente al secondo decile (D ), e così di seguito fino a quando si sarà trovato il valore

2

corrispondente al decimo decile (D ).

10

Nel caso dei centili, ad esempio, se diciamo che la prova di un alunno corrisponde il 95° centile,

vuol dire che la posizione di chi ha svolto la prova è al 95° posto in una suddivisione per 100 parti.

In altri termini, dire che la prova rientra nel 1° quartile (Q ) vuol dire che è all’interno di quei valori

1

medi che vanno dal 1° al 25°. In termini prettamente matematici diremo che il 1° quartile è la

mediana dei valori inferiori al valore mediano di tutte le osservazioni. Allo stesso modo il 3°

quartile (Q ) è la mediana dei valori superiori al valore medio di tutte le osservazioni. Il 2° quartile

3

(Q ), ovvero il 5° decile (D ), il 50° centile (C ) coincidono con la mediana.

2 5 50

La rappresentazione grafica di decili, quartili e percentili è la seguente: 8

Le misure di tendenza centrale ci offrono la possibilità di calcolare un’unica misura riassuntiva

delle misure individuali, ma non ci dicono nulla di un’altra importante caratteristica di un gruppo di

dati: ovvero quanto questi si differenziano tra loro. Se i dati di una distribuzione fossero tutti

uguali, non ci sarebbe alcuna variabilità; poiché è quanto mai probabile che dati assumano valori

variabilità.

differenti tra loro, il carattere o la proprietà di tali differenze in statistica si chiama

Gli indici di variabilità di più largo impiego concernono gli scarti dei valori osservati dalla loro

media aritmetica. In questo caso ci occuperemo delle seguenti misure della variabilità o della

dispersione:

- la gamma (o campo di variazione) (G);

- la gamma interdecilica (G );

ID

- la differenza interquartilica (Q);

- S

la deviazione media (o scarto semplice medio) (in simboli oppure dm);

ma

- la deviazione standard (o scarto quadratico medio, o deviazione tipo, oppure sigma) (s).

gamma

La (G) è l’indice di variabilità più facile e più rapido da utilizzare, ma anche quello di minor

fiducia, adatto quindi solo ad un’indagine preliminare dei dati riportati all’interno di una

distribuzione. La gamma si trova semplicemente ordinando i dati di una distribuzione e calcolando

G = (A – B), G

la differenza tra i valori esterni. In simboli la gamma si esprime in cui è la gamma

A B

dei risultati, è il risultato più alto e è il risultato più basso.

Ad esempio, consideriamo il seguente esempio riferito ai risultati di 2 classi:

Classe A 10 2 5 3 5 Media: 5

Classe B 5 5 5 5 5 Media: 5

Le medie delle due classi sono uguali. Dal momento che la media può considerarsi il riassunto dei

risultati della classe, si dovrebbe concludere che le classi ottengono lo stesso profitto. Guardando

i risultati individuali vediamo invece che mentre la classe B ha tutti allievi medi, la classe A ne ha 2

medi, 1 molto buono e 2 in difficoltà.

Nella classe A le capacità degli alunni misurate dalla prova appaiono molto differenziate

(eterogenee); nella classe B invece molto livellate (omogenee).

Volendo descrivere questa diversa caratteristica delle due distribuzioni (variabilità) attraverso la

gamma (G) avremmo:

- Classe A: G = 10 – 2 = 8 (variabilità elevata)

- Classe B: G = 5 – 5 = 0 (variabilità nulla)

La gamma deve essere utilizzata con precauzione. Si i dati non sono distribuiti in maniera

uniforme, la gamma dice ben poco, perché tiene conto solo dei risultati estremi. In una classe

potremmo avere, poniamo, risultati concentrati attorno al 5 o al 6 ed avere solo due valori

aberranti 1 e 10. La gamma dei punteggi ce li presenterebbe come estesi dall’1 al 10 e sarebbe

illusoria. Inoltre non ha senso paragonare la gamma di due gruppi quando questi sono costituiti

da un numero molto differente di soggetti, perché nel gruppo più numeroso sarà più facile trovare

una gamma di valori sistematicamente più ampia di quella del gruppo con pochi soggetti.

Nel caso in cui i punteggi estremi della distribuzione risultino molto diversi dal resto del gruppo

oppure poco affidabili, si può trascurare un certo numero di dati alle due estremità della

distribuzione (inferiore e superiore). Si considera quindi come nuova misura di variabilità la

dispersione dei risultati attorno alla misura di tendenza centrale. Si calcola la differenza tra gli 9

estremi della nuova distribuzione o meglio della parte centrale della medesima, col vantaggio così

gamma interdecilica

di poter trascurare legittimamente i valori aberranti. La si ottiene

trascurando il 10% di valori ai due estremi della distribuzione e calcolando la differenza tra il

D

valore che ha sotto di sé il 90% dei punteggi (detto nono decile, ) e il valore che ha superato il

9

D G = D - D

10% dei dati (detto primo decile, ). In simboli la gamma interdecilica si esprime .

1 ID 9 1

D D G D – D

Ad esempio, se = 22 e = 44, allora = = 44 – 22 = 22.

1 9 ID 9 1

differenza interquartile,

La più stabile della gamma interdecilica perché tralascia il 25% dei

risultati ai due estremi della distribuzione. Si calcola facendo la differenza tra il valore che ha sotto

Q Q

di sé il 75% dei dati (detto terzo quartile ) ed il primo quartile (detto ), che ha sotto di sé il

3 1

Q = Q – Q Q

25% dei casi. In simboli la gamma interquartile si esprime . Ad esempio, se = 29,5 e

3 1 1

Q Q Q – Q

= 39, allora = = 39 – 29,5 = 9,5.

3 3 1

L’uso di questi strumenti di misura chiaramente è correlato al fine dell’indagine o dell’analisi sui

risultati di apprendimento che vogliamo condurre. Essi possono essere molto utili per analizzare

l’andamento dei valori centrali, mentre ci dicono ben poco, se il fine del nostro lavoro è quello di

raccogliere dati sugli alunni in difficoltà di apprendimento o su coloro che presentano livelli

eccellenti di apprendimento. Tutto questo perché, in questo caso, lavorando sui valori centrali,

queste due tipologie estreme di alunni sono volutamente tolte dall’elaborazione statistica dei dati.

deviazione media dm

La (o scarto semplice medio), si rappresenta nel modo seguente: oppure

S . Sia la denominazione che la rappresentazione attraverso i simboli indicano la stessa cosa,

ma

per cui sia la denominazione che i simboli possono essere utilizzati in modo interscambiabile.

Come abbiamo già detto la variabilità di una distribuzione di dati è tanto più elevata quanto più i

singoli risultati si discostano, cioè differiscono, dal dato medio (ma). Quindi per misurare la

variabilità potremmo calcolare la somma delle differenze (o scarti o delle deviazioni) dei singoli

risultati dalla media dei risultati stessi. In questo modo otteniamo la deviazione media o scarto

semplice medio.

Riprendiamo la distribuzione dei dati della classe A, riportatati nella tabella A presentata

nell’esempio precedente

Classe A 10 2 5 3 5 Media: 5

m = 5.

Dove si ricorda la media Calcoliamo la deviazione media o scarto semplice medio.

Punti (x) Scarto (x-m) dove m=5 | x-m |

10 5 5

2 -3 3

5 0 0

3 -2 2

5 0 0

5

∑ (x − m) = 0 ∑ | |

x − m = 10

TOTALI i=1

Nella prima colonna troviamo i dati della distribuzione. Nella seconda colonna troviamo gli scarti

m, m=5.

di ciascun dato della distribuzione (x) dalla media con Nella terza colonna troviamo gli

scarti indicati nel loro valore assoluto, cioè tutti positivi. Nel riquadro nell’angolo in basso a destra

x, Σ l x – m l = 10.

troviamo la somma degli scarti di tutti i punti cioè

x, Σ l x – m l = 10 n

Dividendo la somma degli scarti di tutti i punti cioè per il numero degli scarti,

| |

∑ x − m = 10 10

= =2

che è 5, troviamo la deviazione media o scarto semplice medio: n 5

Dove:

- dm è il simbolo della deviazione media

- l x – m l è il simbolo delle deviazioni dalla media considerate come positive 10

- se calcoliamo la somma delle deviazioni tenendo conto dei segni (seconda colonna, tabella 2)

otterremo come risultato sempre 0.

Per evitare questo inconveniente possiamo elevare al quadrato le differenze tra i punteggi e la loro

media ottenendo valori positivi. La tabella 2 riporterà i dati indicati nella sottostante tabella 3.

Punti (x) Scarto (x-m) dove m=5 Scarto al quadrato (x-m) 2

10 5 5×5=25

2 -3 3×3=9

5 0 0×0=0

3 -2 2×2=4

5 0 0×0=0

5 5 2

∑ ∑

(x − m) = 0 (x − m) = 38

TOTALI i=1 i=1

Per calcolare la media delle deviazioni al quadrato si procede così:

1) si eleva al quadrato ciascuna deviazione dei dati delle distribuzione (terza colonna tabella 3);

2) si sommano tutte le deviazioni al quadrato, nel nostro caso 38;

3) si divide la somma delle distribuzioni, pari a 38, per il numero dei dati, nel nostro caso 5;

38 = 7,6

4) . A questo valore prende il nome di varianza (s ).

2

5 varianza (s )

Riassumendo, tutte le volte che vogliamo calcolare la di una distribuzione di dati:

2

∑ x

1

m =

1. calcoliamo la media ;

n (x – m);

2. calcoliamo la deviazione di ogni punteggio dalla media i

(x – m)

3. eleviamo al quadrato, una ad una, queste differenze ;

2

i

Σ (x – m)

4. sommiamo questi quadrati: ;

2

i 2

∑ (x − m)

i

n

5. dividiamo per (cioè il numero totale degli scarti): .

n s

La formula secondo la quale si calcola la varianza (rappresentata dal simbolo ) può essere

2

n 2

∑ (x − m)

i

i=1

scritta così: .

n

Dove:

- s è la varianza;

2

- x sono i punteggi;

i

- m è la media;

- n è il numero dei dati.

La varianza è la somma dei quadrati degli scarti o delle deviazioni della media diviso il numero dei

casi considerati. Se estraiamo la radice quadrata della varianza, nel nostro caso la radice

quadrata (√) di 7,6 otteniamo 2,76. Quindi, nel nostro esempio, 2,76 rappresenta la deviazione

standard della distribuzione considerata.

Classe A 10 2 5 3 5 Media: 5

m = 5

s = 2,76

La deviazione standard è la misura di variabilità più usata perché gode, con la varianza (s ), delle

2

maggiori doti di precisione e stabilità. In statistica si usano diverse formule per rappresentare la

deviazione standard, ma la sostanza non cambia: 11

n 2

∑ (x − x̄)

i

i=1

=

ơ

• n 2

∑ (x − M )

DS = N

• 2

∑ (X − u)

=

ơ N

• n 2

∑ (x − ⟨x⟩)

i

i=1

=

ơ

• n

Dove:

ds s

1) oppure rappresenta il simbolo della deviazione standard o scarto quadratico medio;

n

2) è la somma delle deviazioni dalla media;

i=1

(x – m)

3) sono le deviazioni dei singoli punteggi elevati al quadrato;

2

i

n

4) è il numero dei soggetti che fanno parte della classe o del gruppo cui si riferisce la

distribuzione. Deviazione/Scarto

Alunno Punteggio Deviazione al quadrato

(x -10)

1

A 10 10-10=0 0

B 11 11-10=+1 +1

C 12 12-10=+2 +4

D 7 7-10=-3 +9

E 9 9-10=-1 +1

F 8 8-10=-2 +4

G 9 9-10=-1 +1

H 11 11-10=+1 +1

I 10 10-10=0 0

L 13 13-10=+3 +9

Σ x = 100 Σ (x - m ) = 0 Σ (x - m ) = 30

2

TOTALE i i i i i

Procediamo per il calcolo delle s:

∑ x 100

i

i = = 10

1) calcoliamo la media: ;

n 10

2) calcoliamo le deviazioni o scarti di ogni punteggio dalla media come riportato nella terza

colonna della tabella 4;

3) calcoliamo il quadrato delle differenze così ottenute, come riportate nella quarta colonna, la

loro somma Σ (x – m ) dà 30;

2

i 12

4) dividiamo il risultato ottenuto pari a 30 per il numero dei soggetti, 10 alunni, così si ottiene la

n 2

∑ (x − m)

i

i=1

che è 3:

varianza n

30 = 3

s = ;

2 10

5) estraendo la radice quadrata di 3 si ottiene la deviazione standard pari a 1,7321.

Come si scelgono gli indici di variabilità?

Quando un insegnante vuole avere un’idea dei punteggi estremi di una distribuzione oppure

quando vuol farsi rapidamente un’idea della variabilità di un gruppo, allora è opportuno utilizzare

la gamma

È da preferirsi la gamma interdecilica o la differenza interquartilica, quando:

- la distribuzione dei dati è molto asimmetrica;

- ci sono gruppi di punteggi poco attendibili agli estremi;

- si vuole sapere tra quali punteggi oscilla la prestazione della metà centrale degli alunni;

- si conosce solo la mediana.

È invece opportuno adottare lo scarto semplice medio o ancora meglio lo scarto quadratico

medio (deviazione standard) quando si vuole prevedere, nel modo più attendibile possibile, la

variabilità della popolazione di riferimento.

Curricolo e intercultura

Al fine di evitare la dispersione scolastica, una delle strategie è rendere il curricolo il più flessibile

possibile. Rendere il curricolo più flessibile significa utilizzare tutte le forme di flessibilità didattica

e metodologica che permettano di rispondere meglio alle esigenze degli alunni. Quando si parla di

curricolo si fa riferimento alle discipline di insegnamento previste dagli ordinamenti scolastici.

Soprattutto dal 1999, il curricolo sostituisce a tutti gli effetti il programma, elaborato dal Ministero

e uguale per tutte le scuole. Il curricolo è invece elaborato dal collegio docenti e serve a dare

Indicazioni nazionali.

attuazione alle Nella costruzione del curricolo e con l’autonomia scolastica, è

possibile integrare le due quote: la quota locale del curricolo e la quota nazionale del curricolo. Il

fine è quello di avere una parte del curricolo comune a tutte le scuole e una parte flessibile alle

scelte delle scuole. Il fenomeno di dispersione scolastica si nota già alla scuola primaria, mentre

esplode nel passaggio dalla primaria alle medie e nel triennio delle scuole medie. Rispetto

all’evoluzione dell’idea di curricolo, oggi abbiamo un’idea ben precisa: si possono schematizzare

tre famiglie di curricolo:

subject curriculum,

1. il che molto si avvicina ai vecchi programmi ed era focalizzato sulla

trasmissione dei saperi culturali;

curriculum,

2. l’activity oltre all’insegnamento disciplinare, lo affianca con alcuni progetti più

specifici e capillari;

competence curriculum,

3. il che serve non solo a trasmettere conoscenze, ma a sviluppare

competenze.

La riflessione sulle competenze scuola nasce a Lisbona nel 2000, dove si prende la decisione di

riformulare tutti i curriculum dei paesi membri e quindi ridefinire le finalità dell’istruzione. Oltre a

questo, il curriculum deve servire anche allo sviluppo, durante la formazione scolastica, di

specifiche competenze che vanno prima definite e poi individuate. La definizione di competenza

che nasce nel 2004 con la riforma Moratti e che è rimasta tale e quale fino ad oggi, vede nella

competenza la capacità che un alunno deve sviluppare rispetto all’uso delle conoscenze e delle

abilità che costruisce attraverso lo studio delle discipline per risolvere problemi in situazioni nuove

o in situazioni note. Le competenze del curricolo che devono essere sviluppate sono di due

tipologie:

1. competenze disciplinari, che sono

2. competenze chiave di cittadinanza, che sono più generali e trasversali. Esse si possono

Raccomandazione del Consiglio e del Parlamento

trovare in un documento europeo chiamato

Europeo del 2006. Esso parla di competenze chiave di cittadinanza per l’apprendimento

permanente: ci si riferisce così alle competenze degli adulti. Esse sono 8: saper comunicare

nelle lingua madre, saper comunicare nelle lingue straniere, avere competenze matematiche e

competenze di base in campo scientifico e tecnologico, avere competenze digitali, imparare

ad imparare, avere competenze sociali e civiche, avere spirito di iniziativa e di imprenditorialità

e avere consapevolezza ed espressione culturale. Questi sono gli 8 tratti distintivi del cittadino

europeo. Esse riguardano gli adulti, ma sono comunque importanti perché nel 2007, il Ministro

13


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in scienze della formazione primaria
SSD:
Università: Firenze - Unifi
A.A.: 2018-2019

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher likelikelike di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Pedagogia sperimentale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Firenze - Unifi o del prof Capperucci Davide.

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