Appunti di pedagogia sperimentale, prof. Davide Capperucci

G

∑ ∑ ∑

x + x + x 63 + 80 + 475 618

iA iB iC

m a = = = = 15,45

G n + n + n 7 + 8 + 25 40

A B C

Per abbreviare il calcolo sarebbe stato corretto ottenere la media partendo dalle medie note? 6

Ovvero procedere così:

m a + m a + m a 9 + 10 + 19 38

A B C

m a = = = = 12,6

G 3 3 3

In questo caso la media delle medie (ma ) verrebbe ad essere 12,6 (anziché 15,45) questo

G ma

secondo procedimento ci porterebbe ad un risultato errato (12,6 - errata), perché non tiene

G

conto che le classi non sono costituite dallo stesso numero di alunni, infatti per ottenere la media

delle medie non possiamo utilizzare le medie di gruppi come se si trattasse di punteggi grezzi.

media fra percentuali,

Nel caso della consideriamo il seguente caso:

Scuole Alunni Respinti Percentuale

Scuola A 650 212 32,6%

Scuola B 228 10 4,4%

La percentuale media dei respinti sarà:

10 + 212 222

= × 100 = × 100 =

P%media 25,3%

650 + 228 878

Tale percentuale media si può calcolare anche direttamente dalle percentuali di respinti delle

singole scuole, ponderando ogni percentuale con il numero di soggetti sui quali è stata calcolata,

come indicato nella slide successiva.

32,6 × 650 + 4,4 × 228 222 + 10 222

= × 100 = × 100 = × 100 =

P%media 25,3%

650 + 228 878 878

∑ n P

i i

= × 100

P%media

La formula generale della percentuale media è ∑ n i

Dove:

n

• = è il numero dei soggetti di ciascun campione

i

P

• = è la percentuale di ciascun campione

i

Σ n P

• = la somma dei prodotti del numero dei soggetti di ciascun campione per la relativa

i i

percentuale

Σ n

• = numero dei soggetti di ciascun campione

i

moda

La (o valore modale o norma) è il valore di una distribuzione che si ripete il maggior numero

di volte: è quindi quella modalità cui corrisponde la massima frequenza (f). La moda (mo) serve

per dare un’indicazione sommaria su quello che è il risultato tipico o più comune e non può

essere adottata per confronti precisi. Quando il numero dei soggetti è piccolo la moda ha poco

significato, perché basta cambiare gruppo per ottenere facilmente un’altra moda.

Ad esempio, osserviamo la tabella delle frequenze con cui un gruppo di docenti partecipa agli

incontri con i genitori di alunni disabili:

Partecipazione incontri f f %

Mai 16 5,2

Qualche volta 170 55,0

Spesso 119 38,5

Non rilevato 4 1,3 7

Partecipazione incontri f f %

TOTALE 309 100,0

Dai dati riportati nella tabella si evince che la maggioranza dei docenti del gruppo in questione

incontra le famiglie degli alunni con disabilità solo “qualche volta”.

In quest’altro esempio, osserviamo le nostre scale di valori:

6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6,

A) 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 8, 8, 9

5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5,

B) 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 6

ma = 6

A

mo = 5

B

mediana

La divide una distribuzione in due parti uguali, per individuare la mediana (md) è

necessario che i valori della distribuzioni siano ordinati in senso progressivo.

Ad esempio: 6, 6,

A) 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 8, 8, 9

5, 5,

B) 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6

ma = 6

A

mo = 5

B n n

Nel caso di valori della distribuzione, se è dispari, la mediana è il valore che occupa il posto:

n +1 .

2 n n

Nel caso di valori della distribuzione, se è pari, la mediana è data dai due valori che occupano

n n +2

i posti: e .

2 2

Grazie alla mediana (md) la distribuzione viene divisa in due parti, individuando il valore che sta al

centro del gruppo di dati raccolti. Seguendo lo stesso principio è possibile dividere la

distribuzione in più parti, dividendo la distribuzione in 3, 4, 10, 100 sottogruppi/parti uguali, in tal

caso si parla rispettivamente di terzili, quartili, decili, centili; questi vengono ad essere misure di

posizione in quanto segnano il confine tra un gruppo e l’altro e differenziano la qualità delle

prestazioni tra un gruppo e l’altro.

Prendiamo, ad esempio, il calcolo dei decili (D) per via aritmetica:

1. si prendono i risultati individuali e si dispongono per ordine di grandezza (come avviene per il

calcolo della mediana);

2. si suddivide il loro numero totale in 10 gruppi aventi ciascuno un numero identico di

componenti. Ad esempio, se un gruppo di alunni partecipanti ad una prova è di 100 soggetti,

si divide in 10 sottogruppi di 10 soggetti ciascuno;

3. si prendono gli elaborati del primo gruppo è si legge il risultato del decimo (cioè il risultato più

alto del primo gruppo di 10): questo risultato è il valore corrispondente al (D ).

primo decile 1

Si fa la stessa cosa con i 10 elaborati seguenti (con il secondo gruppo di 10, per ordine di

grandezza). Si legge il risultato più ampio di questo secondo gruppo: esso sarà il valore

corrispondente al secondo decile (D ), e così di seguito fino a quando si sarà trovato il valore

2

corrispondente al decimo decile (D ).

10

Nel caso dei centili, ad esempio, se diciamo che la prova di un alunno corrisponde il 95° centile,

vuol dire che la posizione di chi ha svolto la prova è al 95° posto in una suddivisione per 100 parti.

In altri termini, dire che la prova rientra nel 1° quartile (Q ) vuol dire che è all’interno di quei valori

1

medi che vanno dal 1° al 25°. In termini prettamente matematici diremo che il 1° quartile è la

mediana dei valori inferiori al valore mediano di tutte le osservazioni. Allo stesso modo il 3°

quartile (Q ) è la mediana dei valori superiori al valore medio di tutte le osservazioni. Il 2° quartile

3

(Q ), ovvero il 5° decile (D ), il 50° centile (C ) coincidono con la mediana.

2 5 50

La rappresentazione grafica di decili, quartili e percentili è la seguente: 8

Le misure di tendenza centrale ci offrono la possibilità di calcolare un’unica misura riassuntiva

delle misure individuali, ma non ci dicono nulla di un’altra importante caratteristica di un gruppo di

dati: ovvero quanto questi si differenziano tra loro. Se i dati di una distribuzione fossero tutti

uguali, non ci sarebbe alcuna variabilità; poiché è quanto mai probabile che dati assumano valori

variabilità.

differenti tra loro, il carattere o la proprietà di tali differenze in statistica si chiama

Gli indici di variabilità di più largo impiego concernono gli scarti dei valori osservati dalla loro

media aritmetica. In questo caso ci occuperemo delle seguenti misure della variabilità o della

dispersione:

- la gamma (o campo di variazione) (G);

- la gamma interdecilica (G );

ID

- la differenza interquartilica (Q);

- S

la deviazione media (o scarto semplice medio) (in simboli oppure dm);

ma

- la deviazione standard (o scarto quadratico medio, o deviazione tipo, oppure sigma) (s).

gamma

La (G) è l’indice di variabilità più facile e più rapido da utilizzare, ma anche quello di minor

fiducia, adatto quindi solo ad un’indagine preliminare dei dati riportati all’interno di una

distribuzione. La gamma si trova semplicemente ordinando i dati di una distribuzione e calcolando

G = (A – B), G

la differenza tra i valori esterni. In simboli la gamma si esprime in cui è la gamma

A B

dei risultati, è il risultato più alto e è il risultato più basso.

Ad esempio, consideriamo il seguente esempio riferito ai risultati di 2 classi:

Classe A 10 2 5 3 5 Media: 5

Classe B 5 5 5 5 5 Media: 5

Le medie delle due classi sono uguali. Dal momento che la media può considerarsi il riassunto dei

risultati della classe, si dovrebbe concludere che le classi ottengono lo stesso profitto. Guardando

i risultati individuali vediamo invece che mentre la classe B ha tutti allievi medi, la classe A ne ha 2

medi, 1 molto buono e 2 in difficoltà.

Nella classe A le capacità degli alunni misurate dalla prova appaiono molto differenziate

(eterogenee); nella classe B invece molto livellate (omogenee).

Volendo descrivere questa diversa caratteristica delle due distribuzioni (variabilità) attraverso la

gamma (G) avremmo:

- Classe A: G = 10 – 2 = 8 (variabilità elevata)

- Classe B: G = 5 – 5 = 0 (variabilità nulla)

La gamma deve essere utilizzata con precauzione. Si i dati non sono distribuiti in maniera

uniforme, la gamma dice ben poco, perché tiene conto solo dei risultati estremi. In una classe

potremmo avere, poniamo, risultati concentrati attorno al 5 o al 6 ed avere solo due valori

aberranti 1 e 10. La gamma dei punteggi ce li presenterebbe come estesi dall’1 al 10 e sarebbe

illusoria. Inoltre non ha senso paragonare la gamma di due gruppi quando questi sono costituiti

da un numero molto differente di soggetti, perché nel gruppo più numeroso sarà più facile trovare

una gamma di valori sistematicamente più ampia di quella del gruppo con pochi soggetti.

Nel caso in cui i punteggi estremi della distribuzione risultino molto diversi dal resto del gruppo

oppure poco affidabili, si può trascurare un certo numero di dati alle due estremità della

distribuzione (inferiore e superiore). Si considera quindi come nuova misura di variabilità la

dispersione dei risultati attorno alla misura di tendenza centrale. Si calcola la differenza tra gli 9

estremi della nuova distribuzione o meglio della parte centrale della medesima, col vantaggio così

gamma interdecilica

di poter trascurare legittimamente i valori aberranti. La si ottiene

trascurando il 10% di valori ai due estremi della distribuzione e calcolando la differenza tra il

D

valore che ha sotto di sé il 90% dei punteggi (detto nono decile, ) e il valore che ha superato il

9

D G = D - D

10% dei dati (detto primo decile, ). In simboli la gamma interdecilica si esprime .

1 ID 9 1

D D G D – D

Ad esempio, se = 22 e = 44, allora = = 44 – 22 = 22.

1 9 ID 9 1

differenza interquartile,

La più stabile della gamma interdecilica perché tralascia il 25% dei

risultati ai due estremi della distribuzione. Si calcola facendo la differenza tra il valore che ha sotto

Q Q

di sé il 75% dei dati (detto terzo quartile ) ed il primo quartile (detto ), che ha sotto di sé il

3 1

Q = Q – Q Q

25% dei casi. In simboli la gamma interquartile si esprime . Ad esempio, se = 29,5 e

3 1 1

Q Q Q – Q

= 39, allora = = 39 – 29,5 = 9,5.

3 3 1

L&r