Appunti di "Numerical Analysis for Partial Differential Equations"

Analisi numerica delle equazioni a derivate parziali II

Richiami sulle EDP

Un'equazione alle derivate parziali, EDP, è un'equazione differenziale contenente derivate della funzione incognita u = u(x, t), x = (x₁, ..., x_n), rispetto a più variabili indipendenti, temporali o spaziali. Se g è l'insieme dei dati da cui dipende l'EDP, esso si denota con:

P(u,g) = ƒ(x,t, u, ^∂u⁄_∂xi, ^∂u⁄_∂t, ^∂²u⁄_∂xi∂xj, ^∂²u⁄_∂t², ...; α, β) = 0

• Se l'EDP non dipende da t, si dice stazionaria, altrimenti è non stazionaria (o evolutiva).
• Se nell'EDP non compaiono termini indipendenti da u, si dice omogenea, altrimenti è detta non omogenea.
• Se l'EDP dipende linearmente da u e dalle sue derivate, si dice lineare, altrimenti è detta non lineare.
• Se l'EDP è non lineare, ma le derivate di ordine massimo compaiono linearmente, con coefficienti che possono dipendere da derivate di ordine inferiore, si dice quasi lineare.
• Se l'EDP è quasi lineare e le derivate di ordine massimo hanno coefficienti che dipendono solo da x e t, si dice semilineare.
• Se l'EDP è non lineare e le derivate di ordine massimo non compaiono linearmente, cioè non è quasi lineare, allora si dice completamente non lineare.

Esempi di EDP

Es: L'equazione del trasporto scalare (o equazione di convezione) ^∂u⁄_∂t + ∇⋅(vu) = 0, che modella la convezione delle masse di un ritiro materiale di densità u e con velocità v(x,t) delle particelle in assenza di sorgente esterne, è un'EDP lineare, del 1^o ordine, non stazionaria, omogenea.

Es: L'equazione di Poisson (o equazione del potenziale) −Δu = f, che modella il comportamento vettoriale di una membrana elettrica sotto un carico f e la distribuzione del potenziale elettrico in presenza di una densità di cariche f, è un'EDP lineare, del 2^o ordine, stazionaria, non omogenea.

Es: L'equazione del calore (o equazione di diffusione) ^∂u⁄_∂t − Δu = f, che modella le T di un corpo solido, con generazione di calore f, è un'EDP lineare, del 2^o ordine, non stazionaria, non omogenea.

Ulteriori dettagli sulle EDP

Un'equazione alle derivate parziali, EDP, è un'equazione differenziale contenente derivate della funzione incognita u = u(x, t), x = (x₁, ..., x_m), rispetto a più variabili indipendenti, temporali e spaziali. Se g è l'insieme dei dati da cui dipende l'EDP, esso si denota con:

P(u, g) = f(x, t, u, ..., ∂u/∂x_i, ..., ∂u/∂t, ..., ∂²u/∂x_i ∂x_j, ..., ∂²u/∂t², ..., β) = 0

• Se l'EDP non dipende da t, si dice stazionaria, altrimenti è non stazionaria (o evolutiva).
• Se nell'EDP non compaiono termini indipendenti da u, si dice omogenea, altrimenti è detta non omogenea.
• Se l'EDP dipende linearmente da u e dalle sue derivate, si dice lineare, altrimenti è detta non lineare.
• Se l'EDP è non lineare, ma le derivate di ordine massimo compaiono linearmente, con coefficienti che possono dipendere da derivate di ordine inferiori, si dice quasi lineare.
• Se l'EDP è quasi lineare e le derivate di ordine massimo hanno coefficienti che dipendono solo da x e t, si dice semilineare.
• Se l'EDP è non lineare e le derivate di ordine massimo non compaiono linearmente, cioè non è quasi lineare, allora si dice completamente non lineare.

Esempi aggiuntivi di EDP

Es: L'equazione del trasporto scalare (o equazione di convezione) ∂u/∂t + ∇·(∅u) = 0, che modella la convezione della massa di un ritomo materiale di densità u e con velocità ∅ (x, t) delle particelle, in assenza di sorgente esterne, è un'EDP lineare, del 1^o ordine, non stazionaria, omogenea.

Es: L'equazione di Poisson (o equazione del potenziale) -Δu = f, che modella il comportamento vettoriale di una membrana elettrica sotto un carico f, e la distribuzione di potenziale elettrico in presenza di una densità di cariche f, è un'EDP lineare, del 2^o ordine, stazionaria, non omogenea.

Es: L'equazione del calore (o equazione di diffusione) ∂u/∂t = Δu = f, che modella le T din corpo solido, con generazione di calore d, è un'EDP lineare, del 2^o ordine, non stazionaria, non omogenea.

Esempio finale: Equazione delle onde

L'equazione delle onde ^∂2u/_∂t² - Δu = 0, che descrive la propagazione delle onde trasversali in una corda (caso 1D), in una membrana elastica (caso 2D), e delle onde sonore e delle onde elettromagnetiche.