Appunti di "Numerical Analysis for Partial Differential Equations"

ANALISI NUMERICA DELLE EQUAZIONI A DERIVATE PARZIALI II

Richiami sulle EDP

Una equazione alle derivate parziali, EDP, è un'equazione differenziale contenente derivate delle funzioni incognite u = u(x, t), x = (x₁, ..., x_m) rispetto a più variabili indipendenti temporali o spaziali. S_g è l'insieme dei dati da cui dipende l'EDP, esso si denota con:

P(M_x) = f ( x, t, u₁, ..., u_n, a₁, ..., a_n, n₁, ..., n_n, _∂u, ..., _∂nu) , (.....)

se l'EDP non dipende da t, ma è detto stazionario, altrimenti è non stazionario (o evolutivo);

se nell'EDP non compaiono termini indipendenti da u, si dice omogenea, altrimenti è detta non omogenea;

se l'EDP dipende linearmente da u e dalle sue derivate, si dice lineare, altrimenti è detta non lineare;

se l'EDP è non lineare, ma le derivate di ordine massimo compaiono linearmente, con coefficienti che possono dipendere da derivate ad ordine inferiore, si dice quasi lineare;

se l'EDP è quasi lineare e le derivate di ordine massimo hanno coefficienti che dipendono solo da x e t, si dice semilineare;

se l'EDP è non lineare e le derivate di ordine massimo non compaiono linearmente, cioè non è quasi lineare, allora si dice completamente non lineare.

quasi lineari - semilineari - comportamenti molti lineari - EDP - lineari

• es.: L'equazione del trasporto scalare (o equazione di convezione) _∂u/∂t + ▽ · ( _⋉F) = 0, che modella la convezione della massa di un sistema materiale di densità u con velocità ▷(x,t) delle particelle, in assenza di sorgenti esterne, è un'EDP lineare, del 1^o ordine, non stazionario, omogenea.
• es.: L'equazione di Poisson (o equazione del potenziale) - Δu = f, che modella lo spostamento verticale di una membrana elastica sotto un carico f, e la distribuzione del potenziale elettrico in presenza di una densità di carica f, è un'EDP lineare, del 2^o ordine, stazionario, non omogenea.
• es.: L'equazione del calore (o equazione di diffusione) _∂u/∂t = Δu e f, che modella le T di un corpo solido, con generazione di calore f, è un'EDP lineare, del 2^o ordine, non stazionario, non omogenea.

- es: L'equazione delle onde ^∂2u_∂t² = Δu = 0,

che descrive la propagazione delle onde trasversali in un cavo (caso 1D),

in una membrana elastica (caso 2D), o delle onde sonore e delle onde elettromagnetiche

nel vuoto (caso 3D),

è un EDP lineare, del 2^o ordine, non stazionaria, omogenea.

- es: L'equazione di Burgers, che modella il traffico urbano,

o il flusso di particelle in un fluido con

scosse etc., ha una versione

^∂u_∂t + u ^∂u_∂x = ν^∂2u_∂x²,

come EDP quasi lineare, del 1^o ordine, non stazionaria

maggiore.

L'insieme di tutte le soluzioni (o integrali) particolari che soddisfano P(u, g) = 0

prende il nome di integrale generale della EDP.

Se g_ε è un'approssimazione dell'insieme dei dati g_j, e P_N è la nuova relazione funzionale che

caratterizza il problema numerico, o problema approssimato, o problema surrogato,

ottiene tramite i metodi numerici (che permettono di passare dall'infinito al finito dimensionale,

da operazioni di natura topologica a operazioni algebriche), la relazione approssimata u_ε,

è tale che soddisfa: min_{u^N ε TN} F_N ≈ Θ.

N si dica dimensione del problema numerico.

1) Un metodo numerico s'è convergente se, in una norma opportuna,

‖u_N - u_N^∞‖ → 0, cioè ∀ε > 0, ∃N₀,∃f(N₀,ε) > 0: ∀N ≥ N₀, ∀g_ε t.c. || g_j - g_ε || < ρ,

e ^f_{N0, ΔfN0, gε > ρ ^ΔfN0, gε}

e s k

il metodo numerico s'è consistente se la soluzione esatta e il dato esatto verificano sintoticamente,

cioè se :

P_N(u, g) → Θ, o se anche P_N(u, g) - P(u, g) → Θ ;

il metodo numerico s'è fortemente consistente se ∀N > Θ, ε > Θ, ha P_N(u, g) = Θ.

1) Un metodo numerico s'è stabile se, indicato con u_N + S_uN, la soluzione del problema perturbato

ic. P_N(u_N + S_{uN, gε ghj}

⇒ si ha:

∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0: ∀g_ε t.c. ‖g_j - j_εhεkεs < δ

∀N

jεh|s < e

jε > t || uuu || > Θ

M

3) Nella scelta di un metodo numerico intervengono: (i) le velocità di convergenza, cioè l'ordine

ampiuette ε col quale ||u - u_N|| tende a 0; (ii) il costo computazionale, cioè il tempo di calcolo

e la memoria occupata sul calcolatore.

3) Le EDP del 2^o ordine, lineari, a coefficienti costanti, con due variabili indipendenti x₁, x₂,

hanno la forma A ^∂2u_∂x1² + B ^∂2u_∂x1∂x2 + C ^∂2u

= G, a seconda del segno del discri

minante Δ = B² - 4 AC, si dividono in:

1. ellittiche (se Δ > Θ)
2. paraboliche (se Δ = Θ)
3. iperboliche (se Δ > Θ).

dunque ∀C ∃ ε_C > 0 t.c. ||F(u)||_H^-1 ≤ C ||u||_H¹(Ω) ∀ u ∈ H¹₀(Ω) DSS ||[u⁻₁||ε_C² + (∂²u/_∂x²) + (∂²u/_∂y²) ≡ ∈ H¹(Ω)

4) da forma debole (PD) e la forma forte (PF) sono equivalenti nel senso delle distribuzioni. Infatti:

• a) se u ∈ W^1,2 allora u ∈ Sol.gen di (PD),
• ⇔ se u ∈ Sol.gen di (PD), allora u ∈ Sol.gen di (PF)

b) se u ∈ Sol.gen di (PD) allora ∀ ψ ∈ D(L) ∃! gli

• ∫_Ω √∂u - √ ψ = Ă ∀ ψ ∈ D(_{m ∈ Ω})

- le forme a grazi di Δ u > ∅ + (chi-00_{! ∈ Dr}) si possono allora interpretare gli integrali

• - nel senso delle 2uetete: А -Δ u - J, X ∈ D_0C( ∂Ω) che si possa riscrivere
• - nel senso di norme integrale, si può ottenere soluz. di (PFD) - Δ u = 0 su Ω torna ⊎ su ∂;Ω

- delle derivate, nel senso L²(&Ω) o H¹(Ω) a token in (nel senso della traccia)

B) Problema misto non omogeneo. Sia Ω < ℝⁿ un dominio limitato, Γ₁ e Γ₂ porzioni di ∂Ω con intero=

• Δ disgiunti ₂, Γ = ✖∘∘ u = u(X) cero ₁ R.C.

-Δ u = f in Ω

- ∂u/∂n = g su Γ₀

∫_{∂(ℽ xm)} Β ∃

Sia xora

ss)) se fosse fu, il , il problema non ammette un'unica soluzione, perché x, x̃ sono soluzioni di (PF)

• ∫_Ω ∫ ∯C, ≤ C ∃R t.c. -Δ (Δ^u_c = ΔR) = ∫3 su ∂Ω ≤ = ≩ x, Ε su Γ_c, cioè
• ∈ unica x e soluzioni di (PF). Per recuperare l'unicità, x privi ricercare una funzione ∀ medie nelle

Ω.

ss) se fosse ∃, o appara, ≡C μ, allora con - Δ u = F ∅ ( + 2_{thenumerouverso9} ) ∃ |∏ - (tessuto supportare ∀ mn.loc) / Page Ω = ∫ ∅ Σ l collar, cioè dim

• - ci si dovrebbero rispettare le condizioni di compatibilità

∫_⌌ h ∃ І

∫_ξ ξ⁻∏

• S, p una porzione di S ≡. Lo spascie Hⁿ è formato dalle funzioni di L²(Γ₀) che sono trace di
• t.reremi di H¹(С).
• [mm]) [continuità della traccia

sia C < ℝ^m un aperto limitato, con ∂Ω sufficientemente regolare. Esiste

• ∃ un'unica applicazione lineare e continua F⁻ Ђ: [H¹(Γ₀ => Lⁿ(Ω. ∀ K L t.c.
• ∂ ⇼ SV_r, 3, Ω
• il rintegto reale anche per una porzione B₀ di 2.n misura non nulle.

- Sscrivendo la fomolazione debole :

- Δu = f -> ∭ -Δ a -∭ ∅ (_{Formuls Greex test}) = ∫_∂Ω et ; (tr) ∅ ∧^f su Ω ∅ f ( ∫ ⠹) su Γ₀) ie L²∍ ∃