Appunti di Modelli per gli investimenti

≤S

0 0

di avere un bene a pronti piuttosto che a termine . il prezzo forward quindi è un

prezzo a sconto. Per giungere all’uguaglianza è necessario togliere il tasso di

convenienza

se y= 0 non si ha un bene di investimento

se y diverso da 0 ho un bene di consumo ( guardare tutti i casi)

in un forward l’unico flusso di cassa si ha in T, mentre in un futures si ha margine

iniziale più vari margini marking to market, quindi una sequenza di flussi di cassa che

possono essere positivi o negativi. A scadenza, i 2 prezzi devono essere uguali. In

realtà però i prezzi sono leggermente diversi quando i tassi d’interesse (struttura per

scadenza) sono incerti. Se c’è una correlazione molto positiva tra la struttura per

scadenza e i prezzi ( aumentano i tassi) prezzo futures è un po’ più alto del prezzo

à

forward.

Quando la correlazione è piuttosto negativa ( diminuzione dei tassi) prezzo forward

à

è un po’ più alto del prezzo futures.

Che relazione c’è tra F e E(S ) ( cioè il prezzo forward e il prezzo spot a scadenza T

0 T

del sottostante).

Consideriamo la strategia:

-andiamo lunghi su un futures per scadenza T 23

-rT

-investiamo F e in titoli privi di rischio in T l’investimento sarà F e può essere

à

0 0

utilizzato per acquistare il bene sottostante, in quanto si era lunghi sul futures, quindi

alla scadenza del contratto futures si avrà S .

T

Quindi questa strategia implica di fare il valore attuale di S , ma essendo una variabile

t

casuale bisogna attualizzare con un tasso non privo di rischio E(S ). ( tasso risk free +

T

premio). Bisogna ricordare che l’esistenza di un rischio sistematico (CAPM) il quale

richiede di attualizzare al tasso k=tasso di rendimento atteso del sottostante.

-rT -kT

Quindi il valore attuale di questo investimento è: -F e + E(S )e

0 T

Possiamo dire che questa operazione sia il VAN dell’investimento, che si può

-rT -kT (r-k)T

ipotizzare essere pari a 0 e + E(S )e =0, da cui ricavo =E(S )e

à-F èF

0 T 0 T

Questa relazione indica che F può essere maggiore, minore o uguale al valore atteso

0

(r-k)T.

di S e ciò dipende da e

T

- Se k=r, si ha assenza di rischio sistematico F =E(S )

à 0 T

- Se k>r, si ha rischio sistematico positivo F <E(S )

à (normal backwardation, keynes e hicks)

0 T

- Se k<r, si ha rischio sistematico negativo F >E(S )

à

(titoli che covariano contrariamente al mercato ) 0 T

I casi più frequenti sono i primi 2. L’ultimo caso è più raro e viene chiamato contango.

La normal backwardation si ha quando ci sono agenti sul mercato avversi al

rischio(hedgers), poiché vogliono essere premiati con un premio per il rischio, mentre

nel primo caso tutti gli agenti sono neutrali al rischio. Il contango invece si realizza in

mercati in cui prevalgono gli speculatori, cioè quelli che vogliono massimizzare il

profitto senza vincoli sulla varianza.

Concludendo sui prezzi forward e futures: per determinarli in t=0 è sufficiente avere

informazioni che abbiamo in t=0: prezzo del sottostante oggi T, scadenza del tasso

privo di rischio r(t), eventuali altri costi o proventi per determinare F .

0

Con queste informazioni è possibile determinare i prezzi compresi tra le epoche 0 e

T. per esempio ad un tempo t compreso tra 0 e T, si avrà scadenza: T-t; tasso: r(T-t) e

si trova F .

t 0 t T

Vale la stessa cosa per le opzioni?

Nella determinazione del prezzo futures o del forward non si è considerata la

volatilità del sottostante, in quanto comunque i futures e i forward vanno esercitati a

scadenza, mentre la volatilità viene tenuta in considerazione nel prezzaggio delle

opzioni in quanto le opzioni sono un diritto ma non un dovere, cioè si può anche

decidere di non esercitare il diritto. Infatti le opzioni hanno un payoff non lineare al

contrario dei futures/forward. 24

Cap 10: funzionamento dei mercati delle opzioni: un estratto

si tratta del grafico del profitto, in quanto ho pagato un prezzo per entrare

nell’opzione (-5).

Attività sottostanti le azioni: azioni, valute estere, indici azionari, futures ( simili alle

azioni).

Specifiche contrattuali delle opzioni: data di scadenza, prezzo di esercizio, europee o

americane, calls o puts (classi di opzioni).

Terminologia:

- Danarosità (moneyness)

Opzione at the money, se qualora esercitata immediatamente, il flusso di cassa

o è nullo, cioè il prezzo del sottostante in quel momento è uguale a k. È

indifferente se si tratta di put o call. 25

Opzione in the money, si ha quando se esercitata immediatamente, si ha un

o flusso di cassa positivo. Per le call si ha quando st> k, mentre per le put quando

st<k

Opzione Out of the money si ha quando se esercitata immediatamente si ha un

o flusso negativo per la call st<k e per la put st>k

- Serie di opzioni: tutte le opzioni di una data classe con la stessa scadenza e lo

stesso prezzo di esercizio.

- Valore intrinseco (VI): è il valore che l’opzione avrebbe se fosse esercitata

immediatamente ( per le opzioni europee non si può esercitare immediatamente!)

VI= Max(0;S -k) per le call ; Vi=Max(0;k-S ) per le put

à t t

Nel caso delle opzioni europee, questo non può essere un prezzo in quanto non si

può esercitare ed inoltre perché il prezzo dell’opzione è dato dalla somma del

valore intrinseco e del valore temporale(P=VI+VT). Nel caso delle opzioni

americane, bisogna chiedersi se conviene esercitarla prima della scadenza, oppure

aspettare in quanto si ha maggior guadagno.

- Valore temporale (VT): eccedenza rispetto valore intrinseco. L’esistenza del valore

temporale si ha in quanto il sottostante (S) è volatile e quindi può dare spazio a

ulteriori aumenti del valore intrinseco e quindi fa si che un’opzione possa essere

deep in the money.

Market makers: gran parte delle borse si avvale dei market makers per facilitare gli

scambi di opzioni. I market makers quotano su richiesta sia i prezzi denaro, sia i prezzi

lettera, dunque si impegnano a comprare o a vendere generando il bid-ask spread,

indicatore che viene utilizzato come misura di liquidità del mercato. Essi non sanno

se chi chiede la quotazione vuole comprare o vendere.

Warrants: sono opzione emesse o scritte da una società o da un’istituzione

finanziaria. Il numero di warrants in circolazione è determinato dall’emissione

originale e cambia solo quando i warrants vengono esercitati ( warrant americani) o

giungono a scadenza.

Executive stock options: sono opzioni assegnate dalle società ai propri dirigenti.

Quando assegnate, sono di solito at the money, dunque avranno solo un valore

temporale. Quando vengono esercitate le società emettono nuove azioni e incassano

il prezzo di esercizio.

Obbligazioni convertibili: si tratta di obbligazioni ordinarie , solo che in certe date

possono essere scambiate con azioni in base ad un rapporto di conversione prefissato.

Molto spesso sono di tipo collable, cioè l’emittente può decidere se rimborsarle

prima. Si tratta di un modo per consentire all’emittente di forzare la conversione ad

una data anticipata che precede quelli che il portatore avrebbe altrimenti scelto. 26

Cap 11: Proprietà fondamentali delle opzioni su azioni

Simbologia:

c : prezzo di una call europea

C: prezzo di una call americana corrispondente (stesso strike, stessa scadenza)

P: prezzo put europea

P: prezzo put americana corrispondente

S : prezzo corrente dell’azione sottostante

0

S : prezzo azione a scadenza

T

K: prezzo di esercizio

D: valore attuale dei dividendi

T: tempo in cui scade l’opzione

s: volatilità dell’azione

r: tasso d’interesse privo di rischio (composto continuamente) valido per la scadenza dell’opzione

Effetto delle variabili su Call e Put

variabile c p C P

S + - + -

K - (strike è + (strike è il - +

prezzo che premio)

pago)

T Dipende dalla Dipende dalla + (Volatiltà produce +

moneyness moneyness effetti benefici )

dell’azione. (?) (?)

s(L’aumento + + + +

della

volatilità fa si che

l’opzione vada in the

money è quindi

à

sempre un surplus

r ( all’aumentare del Effetto diretto Effetto diretto Effetto diretto Effetto

tasso, si ha una - - - diretto

riduzione dei valori Effetto effetto effetto indiretto -

attuali) oppure si può indiretto indiretto + effetto

avere un effetto + - indiretto

indiretto, cioè il tasso -

di rendimento del

sottostante. *

D ( all’aumentare dei - + - +

dividendi diminuisce S)

*Se il sottostante aumenta all’aumentare del tasso privo di rischio segni uguali a

à

quelli della prima riga.

Se il sottostante diminuisce all’aumentare del tasso segni opposti a quelli della

à

prima riga. 27

Relazioni di no-arbitrage ( non ancora pricing)

In condizioni di equilibrio si sa che si ha assenza di arbitraggio. Devono sussistere

particolari relazioni tra prezzo opzioni e relazioni tra prezzi di opzioni e prezzi del

sottostante.

Opzioni americane vs opzioni europee

Il prezzo di un’opzione europea è meno costosa rispetto il prezzo dell’opzione

americana corrispondente (C >= c e P >= p).

Una call , sia esse europea o americana, che relazione ha con il sottostante? Il prezzo

della call non può superare il prezzo del sottostante (C,c < S ).

0

Per quanto riguarda la put, bisogna vedere la relazione tra la put e K. Il prezzo di una

put non può superare K (P,p < k).

-rT

c =S -Ke si tratta di una retta y=x-a ( in blu) . la funzione della call è compresa

à

0

tra la bisettrice la retta blu e l’asse x .

c S 0

-rT

Ke

-rT

-ke

S =c bisettrice ed è da considerare la parte inferiore poiché c<S

à

0 0

Esempio: si tratta di una call in the money

il valore intrinseco di una call europea scritta su un titolo che

-rT -

non paga dividendi è c > max(S -Ke ,0) dato che 3< 20- 18e

0

0,1x1 =3,71

in questo caso si ha che l’azione è sottovalutata risetto al suo

valore intrinseco quindi: 28

0 T

1° cosa: -3 Se S <= 18à call è out of Se S > 18 per ogni S -18

à

T T T

compro la call the money e payofff è nullo

oggi

2° cosa: vendo +20 / /

l’azione

3° cosa: -S -S