Appunti di Matematica finanziaria

Matematica Finanziaria

Prof. Micocci Marco

AA 2014/2015

I semestre

Matematica Finanziaria 02/10/14

• Che cosa studia la Matematica Finanziaria?

Studia i movimenti di capitale nel tempo. La matematica finanziaria comprende delle regole che regolano l'accumulo d'investimenti o finanziamenti che sono per esempio (?)

• Asse dei tempi: è un segmento orientato che mette in relazione tempo e capitali.

Operazione di investimento - Capitalizzazione

(Riferita a un capitale generico C₀)

Rappresentazione sull'asse dei tempi: un capitale C₀ all'epoca 0 che viene investito fino all'epoca t, generando un capitale finale C_t.

Affinché l'operazione sia economicamente realizzabile, T_0-t ≥ 0. L'essere maggiori di C₀ si lega alla produzione degli interessi nel periodo d'investimento.

C_t = C₀ + I_t

Legenda:

• C₀ = Capitale iniziale
• C_t = Capitale finale o montante
• I_t = Interesse prodotto tra 0 e t

Esempio: Compro un titolo con scadenza ad un anno, che pago 98

I₁ = 2

(100 - 98 = 2)

Operazione di investimento o capitalizzazione riferito ad un'unità di capitale investito

Se si investe 1€ (1 unità), il processo d'investimento o capitalizzazione da luogo al montante di 1€ + "qualcosa". Il montante di 1€ si indica con r(t) che può essere scritto a sua volta come 1 + i(t), i(t) è l'interesse unitario, cioè l'interesse generato dall'investimento da 1€ da 0 a t.

C_t = C₀ r(t) = C₀ (1 + i(t)) = C₀ + C₀ i(t)

REGIMI FINANZIARI

• REGIME FINANZIARIO DELL'INTERESSE SEMPLICE

L'interesse si produce linearmente rispetto al tempo

i(t) = i₀ · t

TASSO D'INTERESSE EFFETTIVO ANNUO > i(1)

"Un investimento che dura due anni produce il doppio dell'interesse di un investimento che dura 1 anno. Un investimento che dura un anno produce dodici volte l'interesse dell’investimento che dura un mese."

d(t) = i · t / 1 + i · t

d(t) = i · t / 1 + i · t

V(t) = i / Tau(t) = 1 / (1 + i · t)

d(t) = i · t / 1 + i · t

CAPITALE NON UNITARIO

C_t = C₀ (1 + i · t)

C₀ = C_t / (1 + i · t)

I_t = C₀ · i · t

D_t = C_t · i · t / 1 + i · t

DOV'É FINITO d(t)?? i(t) = d(t) / 1 - d(t) ⇒ i(d) = d(1) / 1 - d(1) = i = d / 1 - d

Matematica finanziaria

03/10/14

Cos'è l'interesse unitario? È l'interesse prodotto da una unità di capitale nell'unità di t. Quindi è unitario non perché il tempo è unitario ma perché il primo investimento è l'unione.

Il tasso effettivo d'interesse annuo: l'interesse generato in un anno ma l'investimento è di un Euro(?)

rappresenta l'interesse prodotto nella omogenea(?) unità di capitale

RFS: C'è una funzione all'interesse semplice e l'interesse semplice è un interesse proporzionale rispetto al tempo.

c(t) = 1 + c.t

v(t) = 1 / 1+c.t

d = i / 1+i.t

c = d / 1-d.t

d(t) = / 1-d

C_t = C_o . n(t) C_o = C_t . v(t)

RFS: Regime finanziario delle sconta commerciale

Studiare il regime finanziario della sconta commerciale significa mirare a portare

relizzare c(t) n(t) i(t) d(t)

Qual è la regola di base in questo regime finanziario? Lo sconto è lineare o proporzionale rispetto al tempo.

Dopo aver specificato lo sconto, posso ottenere la regola dell'industrializzazione

d(t) = - d.t --> v(t) = 1 - d(t) = 1 - d.t ⁽²⁾

r(t) = 1 / 1-d.t

v(t) (1-d.t)

(t, d(t) d.t

1-d(t) 1-d.t

In qualsiasi regime finanziario, il tasso d'interesse e il tasso di sconto sono legati dalla relazione (!) (?)

d = i / 1+t.i --> r(l(t) = 1 / - d.t = 1 - i / 1

Capitale un capitale non unitario si avrà:

C_{o c1 Ct = Co . r(t) = Co 1 / 1-d.t}

Capitale Co = Ct (1-d.t) . x(t)

A1

d = 8%

i = d / 1 - d

d -> i

9.89%

C0 = Ct_t / v(t)^t -> C0 = Ct (i+1)^-t

C0 = 1000 . (1.089)^-1 = 868,1

v(t)

t

1

1 - i

t

15

1c

1

sc

Analisi degli Investimenti

Guida per la determinazione della redditività dei progetti di investimento sono principalmente due: TIR "tasso interno di rendimento" e VAN "Valore attuale netto".

• TIR → IRR "Internal rate of return"
• VAN → NPV "Net present value"

Il VAN di un'operazione finanziaria è un valore attuale che considera sia le entrate che le uscite dell'operazione finanziaria. Il risultato del VAN è un importo che rappresenta le variazioni della ricchezza nette generate dalla operazione finanziaria. Attuare un investimento con VAN positivo significa avere ricchezza.

Esempio

J = 10%

• A = 100, 60, 50, 40
• B = 100, 60, 0, 100

VAN_A(10%) = -100 + 60 (1,10)^-1 + 50 (1,10)^-2 + 40 (1,10)^-3 = 25,92

VAN_B(10%) = -100 + 60 (1,10)^-1 + 100 (1,10)^-3 = 27,67

Poiché il VAN esprime le variazioni positive della ricchezza nette create dall'operazione finanziaria, la seconda operazione risulta migliore.

J = 22%

VAN_A(22%) = -100 + 60 (1,22)^-1 + 50 (1,22)^-2 + 50 (1,22)^-3 = 1,80

VAN_B(22%) = -100 + 60 (1,22)^-1 + 100 (1,22)^-3 = 2,25

Qual è il tasso migliore da applicare?

A tasso 0%:

• A → 150 - 100 = 50
• B → 160 - 100 = 60

26,25

giogo in zero dell'operazione x, rappresenta le somme dei valori attuali dei singoli impa

ti offerti dell'operazione

L_x = ∑ x_k * V(0,t_k)

Se le curve dei tassi è PIANA cioè sia costante da tutti i tassi a pronti i(0,t) sia

uguale al tasso i.

V(i) = ∑ x_k * X_k (1+t)^-t_k

CALCOLO DELLA DERIVATA DELLA FUNZIONE V RISPETTO AL TASSO i

dV =

di

= ∑ x_k * X_k (1+t)^{-t_k - 1}

= ∑ x_k X_k * t_k (1+i)^{-(t_k + 1)}

- 1

(κ) ( ∑ x_k * x_k * t_k (4+1)^-t_k ) =

= ∑ x_k x_k (4+i )^-t_h

=

= ¹ * D . V(i)

1+i

∆V= ¹ * D. V(i) * ∆i

1+i

delta= ∆V = variazione del valore del titolo o dell'op

razione finanziare

∆i= variazione del tasso di attualizzazione

attualizzazione

zione le variazioni del tasso e le variazione del valore del titolo dell'ope

razione finanziare

La variazione di valore di un titolo è legata alle variazione del tasso di attualizzazione.

Il valore attuale è pari alla somma dei valori attuali degli importi

di titolo stesso offre.

E ligame è negativo cioè se si ha una variazione di tasso positiva, il valore del

titolo tende a variarsi.

variazione del valore del tasso si scarica sul valore attraverso il moltiplicatore

delle DURATION

esempio Se si hanno due operazioni finanziare (titolo A e titolo B) che hanno lo

stesso valore copi (Vo=99)ma duration diversa (D_A = 2 D_A = 4) e punti di D_i.

quella più sensibile alle variazioni di tasso è quello con duration maggiore.

TITOLO A ➔ V_o = 99 D = 2 TITOLO B ➔ V_o = 99 D = 4

i = 0,05

[ i(0,t) = i V ]

i ➔ i' = 0,07 (variazione di tasso di due punti

∆i = 0,02 percentuali)

All'epoca o il valore V_o all'epoca o si è maggiore ➔ V_o+ V_o + ∆V

TITOLO A ➔ ∆V= - ¹ * 2 * 99 * 0,02 = - 3,77

1,05

d'impedita è più forte parla la du

TITOLO B ➔ ∆V= - ¹ * 4 * 99 ,0 02 = - 7,58

1,05

zeiten e pestelli

V_ot^A = 99 - 3,77 = 95,23

V_ot^B = 99 – 7,58 = 91,46

Se il tasso aumenta i valore attabb del titolo

scanda