Appunti di Misura ed integrazione secondo Lebesgue

Appunti di Misura ed integrazione secondo Lebesgue

Francesco Lucibello

1 giugno 2022

Indice

Premessa i

σ-algebre

1 Algebre e 1

2 Misure 3

2.1 Misura di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Funzioni misurabili 10

3.1 Successioni di funzioni misurabili e convergenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Integrazione astratta 19

p

5 Spazi 33

L p

5.1 Spazi duali di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

L p

5.2 Convergenze di funzioni in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

L

5.3 Misura prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.4 Prodotti di convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6 Generalizzazione del teorema fondamentale del calcolo integrale 56

6.1 Teoria puntuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.2 Teoria distribuzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1

Premessa

Questi appunti sono relativi al corso di del primo semestre

Misura ed Integrazione secondo Lebesgue

dell’anno accademico 2021/22 tenuto dalla professoressa Antonia Passarelli di Napoli presso l’università

Federico II di Napoli.

Gli appunti sono comprensivi di tutti gli argomenti trattati durante il corso, dove qualcosa non è trattato

esplicitamente è riportata la bibliografia consigliata, sono anche presenti aggiunte e approfondimenti, os-

servazioni e dubbi personali che forse risulteranno utili.

I testi consigliati per seguire il corso sono:

• [Aca]: Appunti Misura e Integrazione Secondo Lebesgue di P. Acampora

• [BS86]: Analisi Funzionale Teoria e Applicazioni di Haim Brezis e principalmente l’appendice di

Carlo Sbordone i

Capitolo 1 σ-algebre

Algebre e

Definizione 1.1 (Complementare). Sia un insieme sia , si dice complementare di

S A S A

Ď

c

A S

“ zA

Teorema 1.1 (Leggi di De Morgan). Sia S un insieme e siano A, B S sottoinsiemi di S , allora valgono

Ď

• c c c

Bq A B

pA Y “ X

• c c c

Bq A B

pA X “ Y M PpS

Definizione 1.2 (Algebra). Sia un insieme e sia una famiglia di sottoinsiemi di , se

S S

Ď q

1. M

HP

2. c

M M

A A

P ùñ P

3. M M

A, B A B

P ùñ Y P

M

allora si dice algebra. M

Proprietà 1.2 (Prime proprietà di un algebra). Sia S un insieme e un algebra su S .

• M

S P

• M M

A, B A B

P ùñ X P

• M M

A, B AzB

P ùñ P

1.1 (Esempi di algebre). I seguenti sono esempi di algebre:

Esempio

• M S

“ tH, u

• M PpS

“ q

• ,

c

M A, A S

“ tH, u

• M : è misurabile secondo Peano-Jordanu

E

“ tE Ď R

Definizione 1.3 (Insieme misurabile secondo Peano-Jordan). Sia diciamo che è misurabile

E E

Ď R,

secondo Peano-Jordan se

ε , . . . , . . . ,

0 intervalli di con e tali che

i nu j mu

@ ą D tIu tJu P t1, P t1,

R,

i j

n m m n

ď ď ÿ ÿ ε

e mpJ mpI

I E J

Ď Ď q ´ q ă

i j j i

i“1 j“1 j“1 i“1

Nota la somiglianza con il lemma di integrabilità M PpS

Definizione 1.4 (σ-algebra). Sia un insieme e sia una famiglia di sottoinsiemi di , se

S S

Ď q

1

σ-ALGEBRE

CAPITOLO 1. ALGEBRE E 2

1. M

HP

2. c

M M

A A

P ùñ P

3. ď

M M

A

pA q Ď ùñ P

i iPN i

iPN

σ-algebra

M

allora si dice M

1.1. Potevi anche dire che è un’algebra e vale la terza proprietà

Osservazione σ-algebre). σ-algebre

Proprietà 1.3 (Proprietà di Le godono delle seguenti proprietà:

• σ-algebre σ-algebra

L’intersezione di due è ancora una σ-algebra

F PpS

Definizione 1.5 (σ-algebra generata). Sia un insieme e sia allora la più piccola

S Ď q,

F

contente è č

σpF M

q “ σ-algebra ,

M è su S

F ĎM

σ-algebra F

e si dice generata da . , σ-algebra

T

Definizione 1.6 (σ-algebra di Borel). Sia uno spazio topologico, la generata dagli aperti

pS q

σ-algebra

di è detta di Borel

S N

Nota che spesso si considera , ma il nome non cambia.

Consiglio. S “ R

Capitolo 2

Misure µ

M M

Definizione 2.1 (Funzione finitamente additiva). Sia un algebra e sia : un’applicazione

Ñ r0, 8s

tale che

µpHq

1. 0

“ µpA µpAq µpBq

M

2. :

A, B A B Bq

P X “ H ùñ Y “ `

µ M.

allora si dice una funzione finitamente additiva sull’algebra µ

M M

Proprietà 2.1 (Proprietà funzioni finitamente additive). :

Siano un algebra e una

Ñ r0, 8s

M

funzione finitamente additiva, siano A, B allora

P

µpAq µpBq

1. A B

Ď ùñ ď

µpAq µpBzAq µpBq µpAq

2. A B,

Ď ă 8 ùñ “ ´

µpA µpAq µpBq

3. Bq

Y ď ` σ-algebra µ

M M

Definizione 2.2 (Misura). Sia una e sia : un’applicazione tale che

Ñ r0, 8s

µpHq

1. 0

“

2. ˜ ¸

8 8

ď ÿ

µ µpA

M : A A i j A

pA q P X “ H @ ‰ P ùñ “ q

N

i iPN i j i i

i“1 i“1

µ M

allora si dice una misura sull’algebra σ-algebra

Nota che intercorre un rapporto simile tra le definizioni di algebra e di e quelle di funzione

finitamente additiva e di misura, in entrambi i casi le due definizioni condividono le prime proprietà, ma

si differenziano nella ultima proprietà perché per una vale solo nel "caso finito" e l’altra la generalizza al

"caso numerabile". , µq

M,

Teorema 2.2 (Misura di successioni monotone di insiemi misurabili). Sia uno spazio di misura,

pS

M

sia una successione numerabile di sottoinsiemi di S , allora

pA q P

n nPN

• Se è crescente, cioè A A n si ha che

pA q ď @ P N,

n nPN n n`1 ˜ ¸

ď

µpA µ

lim A

q “

n n

nÑ8 nPN

• µpA

Se è decrescente, cioè A A n e si ha che

pA q ě @ P q ă 8,

N, 1

n nPN n n`1 ˜ ¸

č

µpA µ

lim A

q “

n n

nÑ8 nPN σ-algebra ,

M Mq

Definizione 2.3 (Spazio misurabile). Siano un insieme e una su , allora la coppia

S S pS

si dice spazio misurabile. 3

CAPITOLO 2. MISURE 4

σ-algebra µ

M M,

Definizione 2.4 (Spazio di misura). Siano un insieme, una su e una misura su allora

S S

, µq

M,

la terna si dice spazio di misura.

pS , µq

M, M

Definizione 2.5 (Insieme trascurabile). Sia uno spazio di misura, un insieme si dice

T

pS P

µpT

trascurabile se 0

q “ σ-finito). µq Ω σ-finito

M,

Definizione 2.6 (Spazio di misura Sia uno spazio di misura. si dice se esso

pΩ,

può essere scritto come unione numerabile di insiemi a misura finita.

, µq

M,

Definizione 2.7 (Proprietà vera quasi ovunque). Sia uno spazio di misura, se una proprietà vale

pS

per tutti i sottoinsiemi di tranne quelli trascurabili, la proprietà si dice vera

S quasi ovunque.

Di seguito riportiamo due esempi di misure.

Ω Ω,

Definizione 2.8 (Misura che conta). Sia un insieme e sia definiamo

A Ď

#

cardpAq se è finito

A

µpAq ,

“ se è infinito

A

`8

σ-algebra PpΩq

questa è una misura sulla e si chiama o

misura che si ottiene contando in A misura che

conta in A. Ω Ω, Ω,

Definizione 2.9 (Delta di Dirac concentrata in un punto). Siano un insieme e sia

x A

P Ď

0

definiamo # 1 se x A

P

0 ,

δ pAq “

x 0 0 se x A

R

0

σ-algebra PpΩq

questa è una misura sulla e si chiama .

delta di Dirac concentrata in x 0

Definizione 2.10 (G e ). e sono rispettivamente insiemi che sono intersezioni numerabili di aperti

F G F

δ σ δ σ

e unioni numerabili di chiusi. Ω λ λ

PpΩq

Definizione 2.11 (Misura esterna). Sia un insieme e sia : diremo che è una misura

Ñ r0, 8s,

Ω se

esterna su

λpHq

1. 0

“ λpAq λpBq

2. A B

Ď ùñ ď

λ λ Ω

`Ť ˘

8 8

ř

3. per ogni successione di sottoinsiemi di

A pA q, pA q

ď

i i i nPN

i“1 i“1 Ω λ λ

PpΩq

Definizione 2.12 (Misura esterna additiva). Sia un insieme e sia : diremo che è

Ñ r0, 8s,

Ω

una se è una misura esterna ed è finitamente additiva, o equivalentemente se

misura esterna additiva su

soddisfa le seguenti proprietà:

λpHq

1. 0

“ λpA λpAq λpBq

M

2. :

A, B A B Bq

P X “ H ùñ Y “ `

λ Ω

λ `Ť ˘ 8

8 ř per ogni successione di sottoinsiemi di

3. A pA q, pA q

ď i i

i nPN

i“1 i“1

2.1 Misura di Lebesgue , , N

Definizione 2.13 (Misura esterna di Lebesgue). Per ogni intervallo di di

I b b

“ ra q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ ra q R

1 1 n N

, . . . , , . . . ,

estremi e poniamo

a a b b

pa q pb q

“ “

1 1

N N N

ź a

pb q

|I| “ ´

i i

i“1

questa si dice misura elementare.

N

Sia e consideriamo la famiglia

A Ď R # +

ď

F : A I

“ pI q Ď

n nPN n

nPN

gli si dicono ricoprimenti di e definiamo

A

pI q

n nPN

CAPITOLO 2. MISURE 5

# +

8

ÿ

µ ˚ F

inf :

|I |

pAq “ pI q P

n n nPN

n“1

µ ` ˘

N

˚ P R

In tal modo abbiamo definito una funzione : che si dice misura esterna di

Ñ r0, 8s

N .

Lebesgue di R n

Proprietà 2.3. La misura esterna di Lebesgue è una misura esterna su .

R

Vogliamo arrivare definire una "misura di Lebesgue", per fare ciò, dobbiamo prima studiare delle

proprietà della misura esterna di Lebesgue.

Proprietà 2.4 (Misura esterna di Lebesgue sugli intervalli). La misura esterna di Lebesgue coincide con la

misura elementare sugli intervalli.

2.1. La misura esterna di Lebesgue può essere vista come un’estensione della misura ele-

Osservazione

mentare.

Studiamo come la misura esterna di Lebesgue si comporta sugli insiemi chiusi (limitati e disgiunti)

,

Proprietà 2.5 (Additività della misura esterna di Lebesgue su chiusi limitati e disgiunti). Siano F F Ď

1 2

µ µ µ

Ť

N ˚ ˚ ˚

chiusi limitati e tali che F F allora F

X “ H, pF q “ pF q ` pF q

R 1 2 1 2 1 2

2.2. Nota che questa proprietà non ci dice né che la misura esterna di Lebesgue è una misura,

Osservazione

né che è una misura esterna additiva perché l’insieme su su cui vale questa proprietà è troppo piccolo

σ-algebra,

(dovrebbe essere tutti gli elementi della ma per adesso non sappiamo nemmeno se l’insieme

σ-algebra).

degli insiemi misurabili secondo Lebesgue sono una n

Introduciamo una proprietà preliminare degli aperti di .

R

n

Proposizione 2.6. Sia G aperto, allora esiste con K intervallo per ogni i e K K

Ď tK u P X “ H

R N

i iPN i i j

per ogni i j tale che

‰ ď

G K

“ i

iPN

Dimostrazione lunghissima, non la chiede.

Dimostrazione.

Ora studiamo come la misura esterna di Lebesgue si comporta sugli aperti.

ε

n

Teorema 2.7. 0

Sia G aperto limitato, allora per ogni esiste un chiuso F G tale che

Ď ą Ď

R

µ µ ε.

˚ ˚

pGq ´ pFq ă

Proposizione 2.8. La misura esterna della differenza fra un aperto limitato G e un chiuso F G è

Ď

µ µ µ

˚ ˚ ˚

pGzFq “ pGq ´ pFq ε

N N

Definizione 2.14 (Insieme misurabile secondo Lebesgue). Sia , se per ogni 0 esistono

A G

Ď ą Ď

R R

N

aperto e chiuso tali che

F Ď R µ ε

˚ pGzFq ă

Definizione 2.15 (Famiglia degli insiemi misurabili secondo Lebesgue). Si definisce

n

M : è misurabile secondo Lebesgueu

A

tA Ď

B R M

2.3. Questa non è una vera e propria definizione, cioè il simbolo non identifica univoca-

Osservazione

mente la famiglia degli insiemi misurabili secondo Lebesgue, ma è utilizzato anche per parlare di algebre e

σ-algebre in generale. σ-algebra,

M

Vogliamo dimostrare che è una lo facciamo per passi.

M

Teorema 2.9 (M è un’algebra). è un’algebra.

Si fa easy con la definizione.

Dimostrazione. ε

n

Proposizione 2.10. 0

Sia A limitato, allora A è misurabile secondo Lebesgue se e solo se

Ď @ ą DF Ď

R

µ µ ε

˚ ˚

:

A chiuso pAq ´ pFq ă

2.4. Nota che questa caratterizzazione è come ci dice che affinché un insieme limitato sia

Osservazione

misurabile secondo Lebesgue non è necessario trovare un chiuso contenuto nell’insieme e un aperto conte-

nente l’insieme (e verificare la proprietà "di approssimazione") ma basta trovare solo il chiuso contenuto (e

verificare la proprietà "di approssimazione").

CAPITOLO 2. MISURE 6

σ-algebra M).

Teorema 2.11 (M è una e la misura esterna di Lebesgue si comporta come una misura su

σ-algebra µ n

˚

M M

è una e la restrizione della misura esterna di Lebesgue a è una misura su .

R

µ

˚ ˚

M",

2.5. Talvolta si usa l’espressione "µ si comporta come una misura su ma è definita

Osservazione µ

N n

˚

PpR M

su tutto stiamo dicendo che la restrizione di a è una misura su .

q, R

La dimostrazione è lunghissima la puoi trovare su [Aca, Teorema 3.1, p. 35], è divisa in 3

Dimostrazione.

passi:

1. Supponiamo che una successione di insiemi misurabili secondo Lebesgue a due a due di-

pA q

i iPN

sgiunti e che esista un intervallo tale che per ogni e dimostriamo la tesi

I A I i

Ď P N

i

2. Supponiamo che una successione di insiemi misurabili secondo Lebesgue a due a due di-

pA q

i iPN

sgiunti e dimostriamo la tesi

3. Supponiamo che una successione di insiemi misurabili secondo Lebesgue e dimostriamo che

pA q

i iPN

l’unione è ancora misurabile

La prof non la chiede (se non a grandi linee?). σ-algebra M

Definizione 2.16 (Misura di Lebesgue). La misura esterna di Lebesgue ristretta alla è una

N

misura su , si dice e si denota

misura di Lebesgue

R µ µ ˚ |

B M

2.6. Questa definizione è giustificata da (Teorema 2.11).

Osservazione

2.1 (Esempi di insiemi misurabili secondo Lebesgue). Gli insiemi aperti, gli insiemi chiusi, gli

Esempio

insiemi che hanno misura esterna di Lebesgue nulla, gli insiemi del tipo o sono misurabili.

F G

σ δ

Definizione 2.17 (Insieme dei misurabili con misura nulla). Definiamo l’insieme

µpEq

N

N : 0u

tE Ď “

B R

N

e sappiamo che gli elementi di sono tutti misurabili. N

Teorema 2.12 (Caratterizzazione insieme misurabile secondo Lebesgue). Sia A , allora A è misura-

Ď R

N

bile secondo Lebesgue se e solo se esistono F o G e E tali che A F E G

P “ Y “ zE.

σ δ σ δ

, , σ-algebra.

M M

E’ ovvia perché e è una

Dimostrazione. F G E

ðù q P

σ δ 1

Sia misurabile secondo Lebesgue, allora

A

ùñ q 1 ,

, µpG

chiuso e aperto :

n G F A G

@ P DF Ď Ď zF q ă

N n n n n n n n

µpNq

Ť

siano e , allora dobbiamo mostrare che 0. Sia

F F N AzF A F N, m

“ “ “ Y “ P

σ σ σ N,

n

nPN

calcoliamo ˜ ¸ 1

ď

µpNq µpAzF µ µpG ,

Az F

“ q “ ď zF q ă

σ n m m m

nPN µpNq

ma poiché questo vale per un arbitrario, necessariamente dev’essere 0.

m “

Per adesso abbiamo dimostrato questa implicazione caratterizzazione solo per gli , ora lo facciamo per i

F σ

c

. Sia misurabile secondo Lebesgue, allora è misurabile e per la caratterizzazione dimostrata si ha

G A A

δ

c è del tipo , cioè esistono chiusi al variare di tali che

A F F n P

σ N

n ď ,

c

A F

“ n

nPN

allora č ,

c

A F

“ n

nPN

ma per ogni è aperto, allora è del tipo .

n F A G

P δ

N n µ, µ

1 ˚

Nota che possiamo usare e non