Appunti di Misura ed integrazione secondo Lebesgue

Proposizione 3.1

Sia uno spazio di misura e sia allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:

• αu ´1 M:X f ftx P pxq ě “ prα, 8sq P
• αu ´1 M:X f ftx P pxq ą “ ppα, 8sq P
• αu αqq´1 M:X f ftx P pxq ă “ pr´8, P
• αu αsq´1 M:X f ftx P pxq ď “ pr´8, P µqM

Definizione 3.1 (Funzione misurabile)

Sia uno spazio di misura e : si dice chef X f èpX, Ñ R,αu αM,se :misurabile X ftx P pxq ě P @ P R.

Dire che è misurabile equivale a dire che uno qualsiasi degli insiemi riportati nella Osservazione f(Proposizione 3.1) è misurabile.

3.2. Questa definizione non corrisponde a quella data in Probabilità e Statistica (quella è più generale, vedi [Luc22]), ma esiste una caratterizzazione che le rende equivalenti, inoltre, nelle notazioni di Probabilità e statistica, M{BpRq-misurabile.

è una eA TP P tH, t8u, t´8u, t8, ´8uu,credo che si abbia ,M B N“ YN Bdove è definito in modo analogo. Vedi come abbiamo definito in [Luc22].µqM

Definizione 3.2 (Variabile aleatoria). Sia uno spazio di probabilità, se è una funzione misurabilefpX,su allora si diceX f variabile aleatoria.

Definizione 3.3 (Funzione caratteristica o funzione indicatrice di un insieme). Siano un insieme eX E XĎχun suo sottoinsieme la funzione : 1uE Ñ t0, # 1, se x EPχ pxq “E 0, se x ERsi dice funzione caratteristica di E 10

CAPITOLO 3. FUNZIONI MISURABILI 11

Lemma 3.2 (Proprietà funzione indicatrice di un insieme). Siano X un insieme e E X un suo sottoinsie-Ďme, allora χ è misurabile E è misurabileðñE µqM

Definizione 3.4 (Funzione semplice). Sia uno spazio di misura, allora una funzione :s XpX, Ñ Rsi dice semplice se il suo codominio è finito.spXq

Proprietà 3.3

(Rappresentazione canonica e massimale di una funzione semplice). Sia s:X→R una funzione semplice e siano sp(X,c) il suo codominio e E(s) allora ∀u ∈ E(s) ∃! i ∈ {1,...,n} t.c. u = s(x_i) E i∈{1,...,n} s(x_i) ∈ c. Nota che abbiamo scritto una funzione semplice nella forma riportata, ma vale anche il viceversa, cioè una qualsiasi funzione scritta in quella forma è una funzione semplice.

Proprietà 3.4 (Caratterizzazione misurabilità funzione semplice). Sia uno spazio di misura (X,Σ,μ) e sia s una funzione semplice su X e sp(X,c) allora s è misurabile se e solo se s^(-1)(c) ∈ Σ, ∀c ∈ c.

La classe delle funzioni misurabili è la più ampia che conosciamo, infatti funzioni continue e funzioni monotone unidimensionali (da R a R) sono misurabili.

Proposizione 3.5 (Composizione di operatori e funzioni misurabili). Siano f, g:X→R funzioni misurabili,

alloramint maxt1. f, gu e f, gu sono funzioni misurabili in X:
2. f g è una funzione misurabile in Xztx X f` P pxq “ ’gpxq “ ˘8u
3. f g (è il prodotto non la composizione)) è una funzione misurabile in X (perché abbiamo posto che0 0).
4. è una funzione misurabile in Xztx X gpxqP “g :
Inoltre se f X sono funzioni misurabili per ogni n (cioè f è una successione di funzioniÑ P p qR Nn n nPNinft : supt : lim inf lim supmisurabili), allora f n f n f e f sono funzioni misurabili.P PNu, Nun n nPN n nnPN La dimostrazione non è proprio banale (falla).
Dimostrazione.
Definizione 3.5 (Parte positiva e parte negativa di una funzione). Sia : una funzione, si dicef X parteÑ Rla funzionepositiva di f ` maxt 0uf f,“e si dice la funzioneparte negativa di f ’ mint 0uf f,“ ’
Proprietà 3.6. :Sia f X una funzione, alloraÑ R ` ’f f f x Xpxq “ pxq

´ pxq @ Pe ` ´f f f x X| pxq| “ pxq ` pxq @ PProposizione 3.7 (Approssimazione di una funzione con funzioni semplici). :Sia f X una funzione,Ñ R:allora esiste una successione con s X semplice per ogni n tale cheps q Ñ PR Nn nPN n .lim s f“nnÑ8Se f è una misurabile, allora s è misurabile per ogni n Se f è misurabile e limitata, allora laP N.n 0,convergenza è uniforme. Inoltre se f allora si può costruire crescente la successione s .ě nE’ sufficiente dimostrare solo il caso 0, perché posso sempre decomporre la funzioneDimostrazione. f ě,` ´ ` ´come e 0 (dovresti completare questo discorso ma mi annoio, poi scrivilo bene,f f f f f f“ ´ ěnon ci vuole molto). Il resto è lungo, ma non tropo difficile.CAPITOLO 3. FUNZIONI MISURABILI 12Questa definizione è presente più sopra ma in modo diverso (poi devi scegliere)µqM,Definizione 3.6

(Proprietà vera quasi ovunque). Sia uno spazio di misura, sia una proprietà suPpX,seX, µptxM: e : 0X Ppxqu X Ppxquqtx P P P “allora si diceP vera quasi ovunque.3.4. Secondo me questa definizione non è ben posta, almeno non per tutti i casi in cui l’ab-Osservazionebiamo utilizzata. Infatti, ad esempio, la proprietà di una successione di funzioni di essere convergentef npuntualmente è una proprietà che vale IN UN PUNTO (e questo caso va bene) ma la proprietà di di esseref nuna successione convergente uniformemente in un intervallo è una proprietà che vale IN UN INTERVAL-LO (UN INSIEME), quindi non posso applicare direttamente così la definizione. Però, data una proprietàche vale IN UN INSIEME, posso dire seP µpE ,cM : e 0E PpEqD P q “allora si dice vera quasi ovunque. In questo modo non sto considerando "l’insieme dei punti in cui valePla proprietà"

(perché non avrebbe senso) ma sto chiedendo che esista un insieme in cui la proprietà è vera (come proprietà dell'insieme) e che il complementare (cioè dove eventualmente non vale la proprietà) abbia misura nulla.

Definizione 3.7 (Estremo superiore essenziale ed estremo inferiore essenziale di una funzione). Sia f una funzione misurabile e sia A un sottoinsieme di X, si dice il numero reale A estremo superiore essenziale di f su A se: quasi ovunque in A esiste un numero reale t tale che per ogni α > t si abbia P(f > α) ≥ P(A) e inoltre sup f ( α : quasi ovunque in A) = sup α : quasi ovunque in A; in altri termini se quasi ovunque in A esiste un numero reale t tale che per ogni α > t si abbia P(f > α) = P(A).

Analogamente si dice il numero reale A estremo inferiore essenziale di f su A se: quasi ovunque in A esiste un numero reale t tale che per ogni α < t si abbia P(f < α) ≥ P(A) e inoltre inf f ( α : quasi ovunque in A) = inf α : quasi ovunque in A; in altri termini se quasi ovunque in A esiste un numero reale t tale che per ogni α < t si abbia P(f < α) = P(A).

3.5. Nota che gli insiemi considerati nelle definizioni di ess inf e ess sup possono essere

Osservazione

scritti esplicitamente, ad esempio α ∈ Ω : α ∈ A : quasi ovunque in X : P(f = α) = 0.

P pxq ď “ tα P P pxq ą “R R µptx Ωed è per questo che devo supporre le funzioni misurabili, altrimenti non saprei come valutare :Pαuq (ho anche riflettuto se si possa definire senza l’ipotesi di misurabilità e forse si può fare maf pxq ąperde il senso che gli stiamo dando, inoltre su [Aca] è definito come l’ho scritto io),

Definizione 3.8 (Funzione essenzialmente limitata su un insieme). Sia : una funzione misurabilef X Ñ Re sia seA X,Ď ess inf e ess supf f´8 ă ă 8A Ao equivalentemente ess sup f| | ă 8Ala funzione si dicef essenzialmente limitata.

Notazione 3.9. ess sup ess supf f“ Xess inf ess inff f“ XNotiamo che in generale ,ess inf ess sup q.o. inf f f Aď pxq ďA Ae ,ess sup q.o. inf f A| pxq| ď | |ACAPITOLO 3. FUNZIONI MISURABILI 133.1 (Calcolo estremo superiore essenziale della funzione di Dirichlet). CalcoliamoEsempio χ χess sup 0 1 sup“ ‰ “QXr0,1s

A_0,1 in generale sup ess sup.‰ 8 8LOra vogliamo introduciamo gli spazi e .

Definizione 3.10 (Relazione di equivalenza fra funzioni che coincidono quasi ovunque). Siano :f, g X Ñfunzioni, diciamo che esse sono in relazione tra loro mediante quando„R q.o. inf g f g X„ ðñ “8

Definizione 3.11 (L ). Definiamo8L misurabile : ess sup: ff X | | ă 8upXq t ÑB R Xcioè è l’insieme delle funzioni da a che sono essenzialmente limitate.X R8

Definizione 3.12 (L ). Sia definiamoX Ď R, 8L pXq8L pXq äB „8