Appunti completi Analisi 1

Indice per Argomenti

1. INSIEMI E RELAZIONI

   • Operazioni insiemi
   • Funzioni
   • Relazioni
   • Topologia
   • Completezza
   • Insiemi di numeri
   • Cardinalità
   • Intervalli
   • Punti interni, isolati, accumulazione, frontiera

2. SUCCESSIONI

   • Limiti
   • Algebra limiti
   • Sottosuccessioni
   • Teorema permanenza segno
   • Teorema dei carabinieri
   • Limitata e infinitesima
   • Convergenza e limitatezza
   • Limiti e monotopia
   • Bolzano Weierstrass
   • Compattezza
   • Heine-Borel
   • Criterio del rapporto
   • Criterio della radice
   • Teorema di Cesaro
   • Formula di Stirling
   • Successioni di Cauchy

3 Funzioni

• 3.1) Teorema Ponte (Limiti) 74
• 3.2) Teoremi Limiti 75
• 3.3) Massimi e Minimi 77
• 3.4) Continuità 79
• 3.5) Continuità 84
• 3.5.1) Proprietà Funzioni Continue 86
• 3.6) Teorema di Weierstrass 87
• 3.7) Teorema di Bolzano 88
• 3.8) Teorema Valori Intermedi 89
• 3.9) Criterio di Cauchy 90
• 3.10) Heine Cantor 91
• 3.11) Funzioni Iperboliche 92
• 3.12) Limiti Notevoli 93

4 Calcolo Differenziale

• 4.1) Algebra Derivate 95
• 4.2) Retta Tangente 98
• 4.3) Teorema Fermat 101
• 4.4) Teorema Rolle 102
• 4.5) Teorema Cauchy 103
• 4.6) Teorema di Lagrange 104
• 4.7) Test Monotonia 105
• 4.8) Teorema di de l'Hopital 106
• 4.9) Teorema di Darboux 106
• 4.10) Classi Funzioni 108
• 4.11) Taylor 110
• 4.12) Convessità 123
• 4.13) Asintoti 124

Def.

Siano A, B ∈

Si dice prodotto cartesiano di A con B l'insieme A × B

A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

coppia ordinata

P.C. = insieme di tutte le coppie ordinate — non oper binaria

Esempio

A = {7, a, *}

B = {3, b}

A × B = {(7, 3), (7, b), (a, 3), (a, b), (*, 3), (*, b)}

(7, b) ∈ A × B

(b, 7) ∉ A × B

no commutativo

R = {(7, 3), (a, b)}

7 R 3 a R b

Def.

Siano A, B ∈

Un sottoinsieme R ⊂ A × B si dice relazione

Se (a, b) ∈ R, si dice che a è in relazione con b e si scrive a R b

DEFI

Sia f: A ⟶ B; f: A ⟶ B

1. f si dice suriettiva se f(A) = B

   ∀y ∈ Cod ∃x ∈ A tale che y = f(x)

   Tutti gli elementi del codominio sono raggiunti da elementi del dominio (anche due volte)

   f : A ⟶ B ↠ si scrive così

2. f si dice iniettiva se

   { y = f(x₁) y = f(x₂) } ⟶ x₁ = x₂

   Ogni elemento del codominio è raggiunto da un elemento del dominio (ci possono essere elementi non raggiunti)

   f : A ⟶ B_1-1 si scrive così

3. f si dice biunivoca se è

   1. suriettiva
   2. iniettiva

   f : A ⟶^su_1-1 B

Def

Sia A ≠ ø e R una relazione R ⊆ A × A.

1. R si dice riflessiva se ∀a ∈ A aRa.
2. R si dice simmetrica se ∀a, b ∈ A aRb ⇒ bRa.
3. R si dice antisimmetrica se ∀a, b ∈ A aRb e bRa ⇒ a = b.
4. R si dice transitiva se ∀a, b, c ∈ A
   • aRb
   • bRc
   ⇒ aRc.

In particolare se R verifica

• 1, 2, 4 ⇒ R si dice relazione di equivalenza
• 1, 3, 4 ⇒ R si dice relazione d'ordine

Sia R è relazione di equivalenza si dice classe di equivalenza di a l'insieme

[a] = {{x ∈ A | xRa}}

Inoltre si chiama insieme quoziente A/R = {[a] | a ∈ A}, insieme delle classi di equivalenza

Def Se ∃ x ∈ X max per A allora si dice che A ammette il max e in questo caso il max si denota

x̅ = max A

Def Se ∃ y ∈ X min per A allora si dice che A è dotato di min e in questo caso il min si denota

γ = min A

Esempio (Q, ≤), A = {q ∈ Q : 0 ≤ q < 1}

1. Maggiurati
   • ↑A = {q ∈ Q : q ≥ 1}
2. Minorati
   • ↓A = {q ∈ Q : q ≤ 0}
3. Minimo

   ∄ min A → ◻ ∈ A → ◻ ∈ ↓A

4. Massimo

   ∄ max A → ◻ ∈ A → ◻ ∈ ↑A

• Durpaj: a_λ → ◻ → Durpaj -
• P.A. supponiamo ∃ λ max A λ ∈ Q

∃ λ ∈ A → ◻ ∃ ≥ λ < λ → <

◻ a_x = x - λ = Δx/2

u ∈

a_λ | - [ ] λ ∉ A λ ∉ u_x ∈ A

⟹ a_λ ∈ A ⟹ assurd⟩ ⟹ ◻

DEF: GRUPPO COMMUTATIVO

Sia X ≠ ∅ insieme dotato di operazione binaria interna ⊕ ⊗ ⊕. Si dice gruppo commutativo se:

1. Operazione associativa
2. Operazione commutativa
3. Elemento neutro
4. Elemento inverso ∀ a ∈ X

Es. (N, +) non ha l'inverso

(Z, ·) = no gruppo

DEF: CAMPO COMMUTATIVO

Sia (X, ⊕) un gruppo commutativo (o elem. neutro ⊕)

Sia (X\{0}, ⊗) (*) un gruppo commutativo (+ elem. neutro ⊗)

(*) togliamo elem. neutro

Se (X, ⊕, ⊗) si dice campo commutativo

Se ⊗ è distributiva rispetto ⊕... c.d.d.

∀ a, b, c ∈ X ⇒ a ⊗ (b ⊕ c) = a⊗b ⊕ a⊗c

Es. (Q, +, ·) ⇒ campo commutativo

a∈Q -a = opposto

a -1 = 1/a = reciproco

Proprietà di N

1. N ammette minimo
2. N non è superiormente limitato
3. se A ⊆ N → ∃ min A ∈ N
4. sia A ⊆ N se A ≠ ∅ → ∃ max A ∈ N
5. se A ⊆ N allora ∃ min A ∈ N

Osservazione

• sia A ⊆ ℝ l'insieme ∅ ≠ ∃ A ⊆ ℝ ⊃ A
• ∃ ϵ > 0, ∃ c ∈ ℝ, ∀ a ∈ A |a - c| < ϵ

Dimostrazione

N = ∅

• PA: supp N = ∅ → ∃ λ ∈ ℝ | λ ⊂ ∅ N
• ∃ ϵ > 0, ∃ m ∈ N | m - λ < ε
• se A &exists; ε → ∃ m ∈ N | A - λ < ε ∈ N

Osservazione

Sia A finito. Se B ⊂ A ⟶ B è finito

In particolare se B ⊂ A = D ⟶ B ≠ A

Def

A è infinito se esiste B ⊂ A | A → B

Esempio 1

_IN ≡ A = B: {n ∈ N | n è pari}

B ≡ A = B ⟶ F = A | A ≠ A ⟶ B ≠ B ⟹ A ≠ B ⟹ B = vero

l(m) = 2m   N è infinito

_Z = A   Z: finito infinito?

N ⟹ Z ⟹ infinito

IN ⟹ Z ≡ vera: l: IN ⟹ Z

l(n) = {  n/2   se n è pari  (n+1)/2   se n è dispari}

CARD(IN) = CARD(Z)

Def

Si dice cardinalità di IN

CARD(IN) = N₀ = ℵ₀ (aleph 0)

Simbolo

In particolare se ≡ A ≡ N ≡ A

Si dice numerabile

Esempio 3

N ⟹ Z ⟹ Q   IN ⟹ Z ⟹ Q

Q ≡ infinito ≡ numerabile

1. Ogni punto ≡ frazione
2. Ogni punto della spirale assegnato ad un naturale