Appunti di Meccanica Teorica

Corpi Complessi

Un corpo complesso è un corpo i cui elementi materiali presentano una loro microstruttura che influenza il comportamento macroscopico del corpo, e che quindi non possono essere ignorati in una loro rappresentazione con un modello.

Rappresentazione di un corpo complesso

Dato un corpo C, una sua completa rappresentazione si ottiene con una mappa:

K : C _x ℰ³ × M

Essendo ℰ³ lo spazio euclideo tridimensionale e M una varietà differenziabile finito-dimensionali. Lo sottomappa :

k_x : C → ℰ³ e k_p : C → M

Definiscono rispettivamente la configurazione di riferimento

B = k_x(C) ℰ³ del corpo e la varietà M descrittiva della microstruttura.

La configurazione di riferimento B_t(t testo) B / ∂xⁱ⁄^β e E^ắ™ → gradiente di rappresentazione N = Dϕ

∂g/∂2 ea

→ gradiente di rappresentazione in forma euclidea

Risulta:

F ∈ Hom(T_y,B,T_o, B)

N ∈ Hom(T_y,M,T_o, M)

[N] ∈ Hom(T_ϕ, B,T_ϕ, M)

Data un lagrangiano dello spazio in y e φ, ciò implica:

∫ E ₆(ε)^t x (g_e(x-y,b),Ag) = 0

Ossia la risposta esterna è nulla per campi a velocità rigidi.

Modo debole integrale

Modo periodo macroscopica

L'arbitrario di E_ε, G₂, φ implica le equazioni integrali di bilancio:

∮ B dm + ∮ S t dh² = 0

Bilancio delle forze

∫_∂Ω(g(y-x)xb t + A^*b) dm + ∫_∂Ω((y-b)xt + A^e) dh² = 0

Bilancio dei momenti

Ossendo B^* x Ag = A^p*φ da definizione di aggiunto, A^e ε hom(T^* M, ℝ³)

Nel bilancio delle forze non compaiono le azioni microstrutturali,

infatti nel nostro modulo tali azioni si trovano su M, però per IRI estendere su corpo, bisogna monitorarlo nello spazio fisico attraverso A^*,

ma proiettando questo forze diventano momenti.

Principio di azione reazione e tensore degli sforzi di Piola-Kirchoff:

Sia sup b^t + c₀₀ e sia T(ω,n) continua in P₁, allora:

Vale il principio di azione-reazione:

T(x,n) = T(x,-n)

T(x,x') è limitato omogeneo rispetto a h, ossino quindi un campo tensoriale

x -> P(x) tale che T(x,n) = P(x)n adatto primo tensore di Piola-Kirchoff!

Dato da:

P(x) = ∑³_A=1(t(x,e_a) ⊗ e_a)

con P(x) ε hom(T_x^* B,T_y^* B))

Tensore dei microstorsi φ:

Supponiamo che sia T= T(χ,h), con T(ω,n) continua in B₁, sia inoltre

sup (y-b)x t ^max + ^p + c₀₀ posto T= (g(y-b)xb t + A^pt^*ε

sup (y-b)x t ^max + ^p + c₀₀ posto T= (g(y-b)xb t + A^pt ^** ε

rigon ω = (y-b)xb^t A^e, allora supp V r < sup V r_c e fc(ω,n) ε continua in B₁,

quindi le equazioni:

∮ P^t dh² + ∮ P^t dh²

Rispetto lo istinto di azione reazione ed di ossioduità di un tensione,

Equazioni di bilancio euleriane

Le tre equazioni di bilancio per i corpi continui, si possono scrivere in forma euleriana attraverso i cambi di integrazione:

d/dt ∫_Ω(detF)ψ dV^t = ∫_Ω (detF)ψ* v dA^t (formula di Nanson)

Si definino:

σ = (detF)^-1σ^a

β = (detF)β^a

ζ = (detF)ζ

β* = (detF)β

Si arriva a:

• div σ + b = 0
• div σ + β* ζ = 0
• ∀ϕ: ϕ = A^∞(ψ ζ + (D_ϕϕ^a)σ

Moltiplicando la seconda equazione per A^∞ → A^∞(div ψ + β* ζ) = 0 e sapendo che div(A^∞ψ) = D_ϕA^∞ψ + A^∞divψ si ottiene:

e.g. div(A^∞ψ) - A^∞v + A^∞ ζ = div(A^∞ψ) + A^∞β*

Questa ultima equazione non è equivalente alla terza ultima del bilancio; infatti l'equazione A^∞(ζ - divϕ) = A^∞β* non è necessariamente vera solo quando vale la seconda equazione di bilancio, ma è vera per ogni ζ ϕ nel nullspazio ϕ_a, ossia per ζ tale ció A^∞ ζ = 0, il che implica

ζ + ζ = β* div ϕ, ossia non rispetta la seconda eq. di bilancio.

Passando dallo ultimo due equazioni alla quarta pertanto si perde informazione perché il nucleo di A^∞ è in generale non nullo.

Per quanto detto quindi tale equazioni presentano una indeterminazione dovuta al fatto che lo spazio nullo di A^∞ è non nullo in generale, tale indeterminato zerò, può risolversi richiedendo, oltre che l'invarianza (invarianza rispetto a cambiamenti SO(3)!) anche la covarianza (invarianza rispetto a geometrici differomorfismi tra osservatori).

Affinché l’equazione elastica non dipenda da Q, si devono verificare che

dψ/dQ = 0

Fissando i passaggi ψ→ψI/α→N^∂(Λ^t)q valuti

Cioè eseguendo calcoli attorno a q = 0 e quindi Q = I, si richiede che sia

dy/dq|q=0 = yn = 0 identicamente. Quindi φ(y) = (y)α^(-q^i) dψ/dq1 (ψ(q) + ψ(q) - φ^(-q^i) + altri

_{(yφ)^q=q+k(qΦ)(A^t)}

Essendo dy = Det q^isdq^i = Det (e(Λ)q)

notiamo che passaggi dal PF* (A^t)^2 + (D^ts+y^t)A + $ = 0 ∀q, quindi:

SKEW[PF] = 1/2 p[E, y, y2] + (qz)^t = 0

(dopo aver opportunamente sistemato gli indici)

Ossia in contesto esterno bilancio il momento e vincolozia

che per sostenere 3 fattori equivalenti i) equilibrio ii) antic notte iii) continua finno a notte

Proprietà dell’energia libera

φ = Fφ⊗F, o può N, quindi scriviamo

φ= φ_F (F)(伤a+ βΣ拉)* в特别地φ₀)

Osservaq 约的const料于得恒

Il termine è di energia del Ginzburg-Landau.

Il termine di W può essere scomposto come:

ψ(F, φ) può essere scomposto come:

ψ_E(F) associati di material ψ_E과 nəz di material.k