Appunti di Meccanica Teorica

Corpi Complessi

Un corpo complesso è un corpo i cui elementi materiali presentano una loro microstruttura che influenza il comportamento macroscopico del corpo, e che quindi non possono essere incarnati in una loro rappresentazione con un modello.

Rappresentazione di un corpo complesso:

Dato un corpo C, una sua completa rappresentazione si ottiene con una mappa:

K: C → E³ x M

essendo E³ lo spazio euclideo tridimensionale e M una varietà differenziabile finito-dimensionale. Lo sottomappa:

k : C → E³ e k_e : C → M

definiscono rispettivamente la configurazione di riferimento B = K_e(C) ⊂ E³ del corpo e la varietà M descrittiva della microstruttura.

CORPI COMPLESSI

Un corpo complesso è un corpo i cui elementi materiali presentano una loro microstruttura che influenza il comportamento macroscopico del corpo, e che quindi non possono essere ignorati in una loro rappresentazione con un modello.

Rappresentazione di un corpo complesso

Dato un corpo C, una sua completa rappresentazione si ottiene con una mappa:

_K: C → ℰ³ x M

Essendo ℰ³ lo spazio euclideo tridimensionale e M una varietà differenziabile finito-dimensionale, lo sottomappa:

_Kx: C → ℰ³ e _Kc: C → M

Definiscono rispettivamente la configurazione di riferimento B = _KC(C) ⊂ ℰ³ del corpo e la varietà M descrittivo della microstruttura.

* La configurazione di riferimento \( \mathcal{B} \) è una regione regolare connessa di \( \mathbb{E}^3 \) orientabile quasi ovunque, rappresenta la regione occupata dal corpo.

Morfologia e deformazioni:

In \( \mathcal{B} \), attraverso altro mappa definisco se le configurazioni deformato del corpo e le caratteristiche microstrutturali è rispettivamente:

\( x \rightarrow y = \hat{y}(x) \in \mathbb{E}^3 \)

Definisco la configurazione deformata in \( x \in \mathcal{B} \), detto deformazione, \( \hat{y}(x) \) è detta configurazione.

\( x \rightarrow \varphi = \hat{\varphi}(x) \in \mathcal{M} \)

Definisco la microstruttura in \( x \in \mathcal{B} \), detto descrittore morfologico.

Entrambi invertibili e differenziabili.

* La coppia \( (y, \varphi) \) è detta configurazione, il loro insieme è lo spazio delle configurazioni \( \mathcal{Q} \).

Gradienti di deformazione e rappresentazioni

Sia \( \{ \overline{e}_A \} \) una base locale su \( \mathcal{E}^3 \), \( \{ \overline{\xi}_a \} \) una su \( \xi \) e sia \( \{ e_i \} \) una base locale d'ogni varietà (è localmente euclidea), allora si definisco:

\( \mathbf{F} = \frac{\partial y^i}{\partial x^a} \overline{e}_i \otimes \overline{e}^a \) \(\Rightarrow\) Gradiente di deformazione \( \mathbf{F} = \mathrm{Dy} \)

\( \mathbf{N} = \frac{\partial \varphi^a}{\partial x^i} \overline{\xi}_a \otimes e^a \) \(\Rightarrow\) Gradiente di rappresentazione \( \mathbf{N} = \mathrm{D}\varphi \)

\( \tilde{\mathbf{N}} = \frac{\partial \varphi^a}{\partial y^i} \overline{\xi}_a \otimes e^a \) \(\Rightarrow\) Gradiente di rappresentazione in forma euleriana

Risulta:

\( \mathbf{F} \in \mathrm{Hom}(T_x B, T_y B) \)   \( \mathbf{N} \in \mathrm{Hom}(T_x B, T_\varphi M) \)

\( \tilde{\mathbf{N}} \in \mathrm{Hom}(T_y B, T_\varphi M) \)

MOTI:

I moti sono configurazioni parametrizzate nel tempo:

\( y = \widetilde{y}(x, t) ,\, \widetilde{\varphi} = \widetilde{\varphi}(x, t) ,\, \varphi = \widetilde{\underline{\underline{\Phi}}} (y, t) \)

Si possono quindi definire i campi di velocità come derivata rispetto al tempo:

\( x(t), t) \to \dot{y} = \frac{\partial \widetilde{y}(x, t)}{\partial t} \) , (x(t), t) \to \dot{\widetilde{\varphi}} = \frac{\partial \widetilde{\varphi}(x, t)}{\partial t} \)

\( (y, t) \to v(y, t) \)

\( (y, t) \to \underline{\underline{g}}_0 = \frac{\partial \underline{y}}{\partial t} + (\underline{\underline{D}}_y \underline{\underline{\varphi}}_2013) \underline{v} \)

\( \ddot{y} \in T_y B \, \ddot{\varphi} \in T_M \)

La coppia \( (\dot{y}, \dot{\widetilde{\varphi}}) \) è detta velocità, il loro insieme è detto spazio delle velocità \( \nu y \underline{\underline{\epsilon}} \)

OSSERVATORI:

• Un osservatore è una collezione di sistemi di coordinate (un atlante) su tutti gli ambienti geometrici necessari a descrivere un corpo.

Nel nostro caso tali ambienti sono la rotta R del toroide, gli spazi ai punti E^3 e \widetilde{E