Appunti di Meccanica Razionale con dimostrazioni (prof. Sellitto)

• ALGEBRA VETTORIALE
• E - SPAZIO AFFINE EUCLIDEO TRIDIMENSIONALE
• V - ∀ (P₁, P₂) ∈ E - ∃ (P₁', P₂') ∈ E
• ( P₁, P₂ ) (P₁', P₂') sono EQUIVALENTI

• VETTORI UGUALI -> UGUALE MODULO DIREZIONE E VERSO

V - SPAZIO VETTORIALE EUCLIDEO

O ∈ E - ORIGINE

∃ un μ ∈ V - ∀ P ∈ E -> O P = μ (O) →

μ = {(P, O)}

PRODOTTO SCALARE

V: ℝ

∀ μ, ν, ω ∈ V ->

• μ · ν = ν · μ SIMMETRIA
• (μ + ν) · ω = μ · ω + ν · ω BILINEARE
• μ · μ ≥ 0 POSITIVA

SEMPRE

MODULO: ||μ||= √(μ · μ) → |R|

-> SEMPRE POSITIVO

VERSORE: û

μ = ||μ|| û

SOMMA DI VETTORI

μ, ν ∈ V

μ: (0 - 1)

ν: ρ, 1

ω: μ + ν = 1(2 - 0) + (ρ - 1) = (2 - 0)

SCOMPOSIZIONE DI UN VETTORE

μ₁

μ = (ρ - 0)

υ

ν₁

μ = (0, P) + (P, P₁) = P

ω

ν₂

μ = (0, P₁) = (P, 0)

υ_μ

ω_μ

• μ = (ρ - 0)
• ν = (P₂ - ρ)
• ω = (P₃ - P₂)

μ₁ + ν₁ + ω₁ = μ + ν + ω

1

2

1. ([ρ₁ - 0] + [P₂ - ρ₁]) + (P₃ - P₂) = (P₂ - 0) + (P₃ - P₂) = (P₃ - 0)
2. (P₁ - 0) + ([P₂ - P₁] + (P₃ - P₂))

[α₁ μ + α₂ ν + α₃ ν = 0

μ = λ₁ μ + λ₃ ν

PRODOTTO SCALARE V × R

μ, ν ∈ V

μ · ν = ||μ|| ||ν|| cos φ

μ · ν = 0 ( λ = 0

μ →

μ, ν ≠ 0

PRODOTTO VETTORIALE V_x V

μ, ν ∈ V

{ξ₁, ξ₂, ξ₃} → TERNA DESTRA

MODULO: ||μ|| ||ν|| sin φ

DIREZIONE ⟂ allieareformato da

VERSO μ · ν < 0

μ, ν, μ · ν → ( Costituiscono una

TERNA DESTRA

(u e v) = V

u_A

u₁

u = (P - O)

VETTORE LIBERO il punto di applicazione non è

rilevante

DOPPIO PRODOTTO VETTORIALE V x V

u, v, w ε V

[u x v] x w = [(w ⋅ u) v - (v ⋅ w) u]

DICI: {î₁, î₂, î₃} -> BASE ORTONORMALE DI V

-ó TERNA DESTRA

u̅ = u₁ î₁ + u₂ î₂

u̅ = u₁ î₁ + u₂ î₂ + u₃ î₃

- u = V^-1 = | î₁ î₂ î₃ | = | u₁ |

| V | | u₁ u₂ |

| u₂ |

î₂ î₃

u̅ x v̅ = | î₁ î₂ î₃ | = | u₁ u₂ u₃ | = |- u₂ v₃ w₃ |

| î₃ | | v₂ v₃ | | u₂ v₃ w₃ |

M_a = Σ_i=1ⁿ V_i ∧ (O-A_i) û =

= Σ_i=1ⁿ V_i ∧ O û - Σ_i=1ⁿ V_i ∧ (A_i) û =

(Σ_i=1ⁿ V_i) ∧ O û - (Σ_i=1ⁿ V_i∧ A_i) û = R ∧ O - A_i û = M_a

° LEGGE PER LA VARIAZIONE DEL POLO NEL PLANO

M_o = Σ_i=1ⁿ V_i ∧ (O + A_i)

M_o = Σ_i=1ⁿ V_i ∧ (O' + A_i) =

= Σ_i=1ⁿ V_i ∧ (O + O' + O - A_i) =

= Σ_i=1ⁿ V_i ∧ O' + O + Σ_i=1ⁿ V_i ∧ O - A_i =

=(Σ_i=1ⁿ V_i) ∧ (O + O') - M_o =

Mo' = R ∧ (O - O') = M_o

° Se non cambia al variare del Polo P R=O

2) ^oP o = 0

Σ ^oG ≡ (P, β)

PUNTO O

ASSE EQUILIBRANTE

Σ ^oI ≠ 0

Σ ≡ EQUIVALENTE AD UN VETTORE APPLICATO

IN UN ARBITRARIO PUNTO O È UNA COPPIA

Σ ¹ ≡ {O, β | (B₁, µ), (B₂, υ)}

Υ ^o = β ∧ O - Ο + µ ∧ (B₂ - B₁)

SISTEMI DI VETTORI PIANI

Σ⁺ = {(a_i, u_i) i = 1, 2, … m}

∃ π ϵ ε: ∀ν ϵ Σ ν ϵ π

β = Σ^m_i=1 υ_i ϵ π

Υ_oΣ^m_i=1 υ_i ∧ (O - (A_i, 1)) ≡ π

I = β - Υ_o = 0

VELOCITÀ SCALARE

V = _ds/_dt

VELOCITÀ NEL PUNTO P

v̲ = _dl̲/_dt (t̂) = x₁ î₁ + x₂ î₂ + x₃ î₃

|V| = √(x₁² + x₂² + x₃²)

V = _dl̲(P(t))/_dt = _dl̲/_{ds ds}/_dt = ³d_l̲/d_s = ³t̂

d_l̲/d_s = lim /_ho→0 (P(s+δs) - P(s)) / δ ŝ

|d_l̲/d_s| = lim /_̲̲ho→0 || P(s+2δs) - P(s) || / δ = l / h_ARCO

d_l̲/d_s = £̂

MOTO DIRETTO

(t > ) ^{5 ⁾}0

MOTO RETROGRADO

(t < ) ^{5 ⁼}0

ISTANTE DI ARRESTO

(t = ) ⁵ = 0

MOTO UNIFORME

(t) S(t) = Vt + _so

V _Ù R

dr = αi₁ + βi₂ α β = coseni direttori

{

1. r.₁ = α
2. r.₂ = β
3. sin θ = α
4. cos θ = β

k = cos θi₃ + sin θk

dr/dt = -sin θi₁ + cos θi₂ = k

v = φr + φk

k ⋅ r = -cosθcosθ + sinθcosθ = 0

k ⋅ r → φk = velocità trasversa

φr = velocità radiale

Accelerazione

a = dv/dt = d/dt |φr + φk| =

= φr + φ dr/dt + φk - φk + φ fh/dt =

= φr + φk + φr + φh + δφ dk/dt