Appunti Meccanica razionale

Matrici di Rotazione

• M_x = \vec{M} \cdot \hat{i}
• M_y = \vec{M} \cdot \hat{j}
• M_z = \vec{M} \cdot \hat{k}

Rotazione piana del sistema di riferimento

* In una rotazione piana un versore resta fermo:

Nel nostro caso \hat{k} = \hat{k}'

Espando \vec{M} come somma vettoriale delle sue componenti

\(M'_x = ? \)

\(M'_y = ? \)

M'_x = \vec{M} \cdot \hat{i}' = (M_x \cdot \hat{i} + M_y \cdot \hat{j} + M_z \cdot \hat{k}) \cdot \hat{i}'

M'_y = \vec{M} \cdot \hat{j}' = (M_x \cdot \hat{i} + M_y \cdot \hat{j} + M_z \cdot \hat{k}) \cdot \hat{j}'

Quindi dobbiamo calcolare i seguenti prodotti scalari:

• \hat{i} \cdot \hat{i}'
• \hat{j} \cdot \hat{i}'
• \hat{i} \cdot \hat{j}'
• \hat{j} \cdot \hat{j}'

SCOMPONIAMO ORA I VERSORI RUOTATI SECONDO LE DIREZIONI DEI VERSORI INIZIALI

L̂ = Î · cos φ + Ĵ · sin φ

L̂' = Î' · cos φ + Ĵ' · sin φ

μ_x = M_x cos φ + M_y sin φ

μ'_y = - M_x sin φ + M_y cos φ

μ'_z = M_z

• Î · Î' = cos φ
• Î · Ĵ' = sin φ
• Ĵ · Î' = -sin φ
• Ĵ · Ĵ' = cos φ

|μ_x| |M_x|

|μ'_y| = |cos φ sin φ | |M_y|

| -sin φ cos φ |

R₂(φ) = MATRICE DI ROTAZIONE 2x2

R₂(φ) È UNA MATRICE ORTOGONALE

A SI DICE ORTOGONALE SE:

• ∃ A^-1 : A^-1 = A^T
• det A = ± 1

TEORIA DEI MOMENTI

SIA (A, μ) UN VETTORE APPLICATO E SIA "O"

UN PUNTO , DEFINIAMO:

M(O) = (A - O) x μ IL MOMENTO DEL VETTORE μ

RISPETTO AD "O"

M(O) = ∅

- A = ∅

O ∈ r RETTA D'AZIONE DI μ

* M(O) È INVARIANTE PER SPOSTAMENTI DI μ LUNGO

LA SUA RETTA D'AZIONE

LEGGE DELLA VARIAZIONE DEL MOMENTO AL VARIARE DEL POLO

SIA μ = (A, M) E "O" POLO E "O'" UN ALTRO POLO

M(O') = (A - O') x μ = (A - O + O - O') x μ

= (A - O) x μ + (O - O') x μ = M(O) + (O - O') x μ

SE NE DEDUCE CHE:

O' = O

O - O' // μ

M = ∅ BANALE

=> IL MOMENTO RISULTA INVARIANTE RISPETTO AL

POLO SE QUESTO SI SPOSTA LUNGO UNA RETTA

PARALLELA ALLA RETTA D'AZIONE DEL VETTORE

ASSE CENTRALE

Sia M = {A_i, M̅_i}_i=1ⁿ, polo = 0 , ̃B , ̃r(0)

In generale ̃r(0) ✖ ̃B

⇒ ∆ un punto Ω : ̃r(Ω) ∥ ̃B ?

Sì, esiste e non è unico ✔

• Sia Ω tale punto e sia Ω¹ = Ω + λ̃B

Per ipotesi: ̃r(Ω) ∥ ̃B ,

Sappiamo inoltre che

̃M(Ω¹) = ̃M(Ω) + (Ω¹ − Ω) ✖ ̃B = ̃r(Ω) ∥ ̃B ☑

⇒ La retta Ω¹ = Ω + λ̃B è detta

asse centrale del sistema

L’asse centrale è quindi il luogo dei punti che rendono il momento parallelo alla risultante del sistema di vettori. Calcolando il momento rispetto ad un qualsiasi punto dell’asse centrale, questo sarà quindi parallelo alla risultante del sistema.

DETERMINAZIONE DEL PUNTO DI APPLICAZIONE

SUPPONIAMO _e ≡ _k = ₀

Γ̄_M(₀) = ∑_i m_i(A_i - O) x _e

= ∑_i m_i(A_i - Ο) x _k̂ = F (A - O) x _k̂

β̄ = F _k̂, F = ∑_i m_i

= ∑_i m_i(A_i - A + A - O) x _k̂ = F (A - O) x _k̂

= ∑_i m_i (A_i - A) x _k̂ + ( ∑_i m_i) (A - O) x _k̂ = F (A - O) x _k̂

= ∑_i m_i (A_i - A) x _k̂ + F (A - O) x _k̂ = F (A - O) x _k̂

⇒ PER FAR VALERE L'UGUAGLIANZA

∑_i m_i (A_i - A) x _k̂ = ∅

· MOLTIPLICHIAMO ORA SCALARMENTE PER _î

∑_i m_i (A_i - A) x _k̂ · _î = ∅

Per ogni punto dello spazio passa una ed una sola curva coordinata di ogni tipo e anche in questo caso le curve si incontrano secondo angoli retti, ne segue quindi che anche le coordinate polari piane sono un sistema di coordinate ortogonale.

Versori dei sistemi di riferimento

I versori di un sistema di coordinate cartesiane sono vettori liberi costanti

I versori di un sistema di coordinate polari sono vettori liberi non costanti

\(\hat{e}_\rho = \cos \phi \hat{i} + \sin \phi \hat{j}\)

\(\hat{e}_\phi = -\sin \phi \hat{i} + \cos \phi \hat{j}\)

* \(\hat{e}_\rho, \hat{e}_\phi\) dipendono da \(\phi\), ma non da \(\rho\)

Cinematica Relativa

P = O = P - O¹ + O¹ - O

v = P - O Posizione Assoluta

v¹ = P - O¹ Posizione Relativa

v = v¹ + c Trasformazione della Posizione

• Trasformazione scritta per componenti
• x + y + z = x¹i¹ + y¹j¹ + z¹k¹ + c
• Posizione Relativa
• Ricavo la velocità da
• v = v¹ + c
• v = d/dt (x¹i¹ + y¹j¹ + z¹k¹ + c) = v¹ + c
• v = c + x¹i¹ + y¹j¹ + z¹k¹
• = c + x¹i¹ + y¹j¹ + z¹k¹
• Velocità di Trascinamento
• Velocità Relativa

v = v_T + v¹ Trasformazione della Velocità

• ACCELERAZIONE NEI MOTI RELATIVI

̅ = ̇̂ + ̇̂ + ̇̂ + ̇ + ̅ × (̂ + ̂ + ̂)

̅ = ACCELERAZIONE RELATIVA

̅ = ̇̂ + ̇̂ + ̇̂ + ̇ + ̅ × ̅ + ̇̅ × (̂ + ̂ + ̂) + ̅ × (̇̂ + ̇̂ + ̇̂)

VELOCTÀ RELATIVA

+ ̅ × (̂ + ̂ + ̂)

POSIZIONE RELATIVA

̅ = ̅′ + ̈ + ̇̅ × ̅′ + ̇̅ × ̅′ + ̅ × ̅′ + ̅ × (̅ × ̅′)

̅ = ̅′ + ̈ + ̇̅ × ̅′ + ̅ × (̅ × ̅′) + 2̅ × ̅′

ACCELERAZIONE DI TRASCINAMENTO ̅_T

ACCELERAZIONE DI CORIOLIS O COMPLEMENTARE ̅_C

̅ = ̅′ + ̅_T + ̅_C

TRASFORMAZIONE DELL' ACCELERAZIONE