Appunti Meccanica razionale

Matrici di rotazione

μ_x = ⋅ ̂ μ_y = ⋅ ̂ μ_z = ⋅ ̂

Rotazione piana del sistema di riferimento

In una rotazione piana un versore resta fermo: ̂ = ̂^'

Esprimo come somma vettoriale delle sue componenti:

• μ_x^' = ?
• μ_y^' = ?
• μ_x^' = ⋅ ̂^' = (μ_x ̂ + μ_y ̂ + μ_z ̂) ⋅ ̂^'
• μ_y^' = ⋅ ̂^' = (μ_x ̂ + μ_y ̂ + μ_z ̂) ⋅ ̂^'

Dobbiamo quindi calcolare i seguenti prodotti scalari:

• ̂ ⋅ ̂^'
• ̂ ⋅ ̂^'
• ̂ ⋅ ̂^'
• ̂ ⋅ ̂^'

Matrici di rotazione

• μ_x = μ · i
• μ_y = μ · j
• μ_z = μ · k

Rotazione piana del sistema di riferimento

In una rotazione piana un versore resta fermo:

Nel nostro caso k = k₁

Esprimo μ come somma vettoriale delle sue componenti:

• μ_x^' = ?
• μ_y^' = ?
• μ_x^' = μ · i' = (μ_xi + μ_yj + μ_zk) · i'
• μ_y^' = μ · j' = (μ_xi + μ_yj + μ_zk) · j'
• μ_x^' = μ · i' = (μ_xi + μ_yj) · i'
• μ_y^' = μ · j' = (μ_xi + μ_yj) · j'

Dobbiamo quindi calcolare i seguenti prodotti scalari:

1. i' · i
2. i' · j
3. j' · i
4. j' · j

Scomponiamo ora i versori

Ruotano secondo le direzioni dei versori iniziali:

• \(\hat{1}' = \hat{1} \cdot \cos \varphi + \hat{2} \cdot \sin \varphi\)
• \(\hat{2}' = -\hat{1} \cdot \sin \varphi + \hat{2} \cdot \cos \varphi\)
• \(\hat{1} \cdot \hat{1}' = \cos \varphi\)
• \(\hat{2} \cdot \hat{1}' = \sin \varphi\)
• \(\hat{1} \cdot \hat{2}' = -\sin \varphi\)
• \(\hat{2} \cdot \hat{2}' = \cos \varphi\)

\(M'_x = M_x \cos \varphi + M_y \sin \varphi\)

\(M'_y = -M_x \sin \varphi + M_y \cos \varphi\)

\(M'_z = M_z\)

\[\begin{pmatrix} M'_x \\ M'_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \varphi & \sin \varphi \\ -\sin \varphi & \cos \varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} M_x \\ M_y \end{pmatrix}\]

Matrice di rotazione

\(R_2(\varphi) = \text{Matrice di rotazione } 2 \times 2\)

\(R_2(\varphi)\) è una matrice ortogonale

A si dice ortogonale se:

\(A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A^T = A^T\)

\(\det A = \pm 1\)

Proprietà delle matrici ortogonali

Una matrice ortogonale ha le righe ortonormali tra loro e le colonne ortonormali tra loro. Una matrice ortogonale rappresenta sempre una rotazione nello spazio. Se il determinante di una matrice di rotazione è 1, l'orientamento degli assi si conserva. Nel caso di det = -1, si ribalta.

Nel caso di una rotazione nello spazio, si utilizza una successione di rotazioni piane: angoli di Eulero

1. Rotazione attorno "z" di un angolo "φ"
2. Rotazione di un angolo “” attorno ’
3. Prendono il nome di angoli di Eulero:
• φ = angolo di precessione
• θ = angolo di nutazione
• ψ = angolo di rotazione propria (figura)

\(\begin{pmatrix} \phi \text{ attorno } z\end{pmatrix}\)

R₁ = | cos φ sin φ 0 | | -sin φ cos φ 0 | | 0 0 1 |

\(\begin{pmatrix} \theta \text{ attorno } \xi\end{pmatrix}\)

R₂ = | 1 0 0 | | 0 cos θ sin θ | | 0 -sin θ cos θ |

\(\begin{pmatrix} \psi \text{ attorno } \zeta\end{pmatrix}\)

R₃ = | cos ψ sin ψ 0 | | -sin ψ cos ψ 0 | | 0 0 1 |

Teoria dei momenti

Sia (A, ̅) un vettore applicato e sia “O” un punto, definiamo:

M(O) = (A