Schemi: Appunti di Meccanica Razionale

SCHEMI

DI

MECCANICA

RAZIONALE

SCHEMI

DI

MECCANICA

RAZIONALE

CINEMATICA

CINEMATICA DEL PUNTO

• MOVIMENTO: posizione di configurazioni al variare del parametro tempo
  • P - O = r(t) → Equazione vettoriale finita del movimento
  • Δ_i manovre di ricorrimento e, relativo all'andamento, una sintesi di movimento analitico
    • x = x(t); y = y(t); z = z(t)

• VELOCITÀ:

• ACCELERAZIONE:

• In generale lo rivelativo è l'accelerazione di un punto:

• CARTESIANA

• INTRINSECA

• POLARE (in piano)

CINEMATICA DEI SISTEMI MATERIALI LIBERI E VINCOLATI

• MOVIMENTO RIGIDO: movimento durante il quale rimane inalterata la distanza tra due punti qualunque del sistema.

1. SPOSTAMENTO TRASLATORIO: Tutti i punti descrivono lo stesso spostamento
   • La spezz principale.
2. SPOSTAMENTO ROTATORIO: Punti descrivono spostamento nullo
   • Forniscono una retta: ASSE DI ROTAZIONE (la cui direzione è l'asse principale).
   • ANGOLO DI ROTAZIONE: Angolo di cerchio percorso punto dell'asse a distanza unità dal punto del corpo non appartenente a qualunque retta.
3. SPOSTAMENTO ROTOTRASLATORIO: Spostamento traslatorio + spostamento rotatorio
   • L'asse di rotazione è l'orizzonte principale
   • Nei traslatori e rotazioni sono // => SPOSTAMENTO ELICOIDALE.

I TEOREMA DI EULERO

• Ogni movimento rigido piano, non traslatorio, è rotatorio
  • A', B', B' ≤ ad una circonferenza di centro C e raggio c
  • => Se AA' = B'B', ΔA'C = B'B'C => C ≠ C.

II TEOREMA DI EULERO

• => SPOSTAMENTO POLARE
• Unico movimento rigido, nel quale nulla nei punti fissi, è rotatorio.

TEOREMA DI CHASLES

• Ogni movimento rigido, non traslatorio, si riduce in infiniti modi a uno movimento rototraslatorio, sempre però con lo stesso vettore rotatorio dell'equivalente rotatorio; in sintesi, in modo unico e elicoidale.

1. RIDUZIONE A ROTOTRASLATORIO
   • Con traslazione nodo in C'' => C ≠ C'.
   • Con una rotazione intorno al resto.
2. RIMANE STESSO VETTORE ROTAZIONE
   • Direzione stessa: la direzione del vettore rotazione principale, deve essere stessa; permette un unico rotore che si comporta come anche nel caso del rotore che si muova verso me.
   • Modulo e verso.
3. RIDUCIBILE AD ELICOIDALE
   • r = direzione principale
   • Il vettore spostamento A'A = accoppiabile nei due compatti.

=> β+ψ = spostamento rotatorioL = simbolo alla torsione α determina uno spostamento elicoidale

4) QUESTA RIDUZIONE È UNICA

ANGOLI di EULERO

Descrivono la posizione di un sistema di riferimento XYZ solidale con ilcorpo rigido attraverso una serie di rotazioni a partire da un sistema diriferimento fisso xyz.

1. LINEA DEI NODI (N) = detta anche asse dei nodi
2. ANGOLO DI NUTAZIONE (θ) : tra z e Z
3. ANGOLO DI PRECESSIONE (ψ) : tra X e N
4. ANGOLO DI ROTAZIONE PROPRIA (φ) : tra x e N

TERNA SOLIDALE

• PIANO OSCULATORE = il piano formato dai vettori tangenti in due punti infinitamente vicini
• TIEDRO PRINCIPALEt = tangente: {\dot{P}}/{\dot{s}}n = normale: {(\overrightarrow{P'P})\wedge{\overrightarrow{P}}}/{\|\overrightarrow{P'P}\| \|\overrightarrow{P}\|}b = binormale: {\overrightarrow{\beta} \wedge \overrightarrow{P'}}/{\|\overrightarrow{\beta} \|}=> da qua definizionedi curvatura

CURVATURA: rapporto tra l'angolo formato da due tangenti in due punti infinitamente vicini (ANGOLO DI CONVERGENZA) e l'arco che li separa{1}/{\rho} = {\frac{\partial \varphi}/s}/{\partial s} \wedge \frac{\partial \varphi}/s = {d}P/sds = \frac{\partial P}/sds\wedge \frac{\partial \beta}/sds = {d}P/s \wedge {d}\overrightarrow{\mathbb{P}}/{s\dot{s}}{{sds}}\| = dalla definizione= {\rho}\frac{\partial \overrightarrow{P}}/{\dot{s}}/{\dot{s}}=\frac{\partial \dot{P}}/\dot{s}=\frac{\partial/\dot{s}(\dot{P})/\dot{s}ds}raggio di curvatura

Atto di Moto Rigido

• Definizione: Atto di moto di un sistema: insieme delle velocità di tutti i punti de