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Meccanica - Prof. M. Vasta
A.A. 2014/15
Lezione 1 (26/02/15)
Presentazione del corso
Contatti: www.mvasta.it/pricos mvasta@univh.it
Ricevimento: c/o Dip. INGEO, 2° piano, Mercoledì 12.30 →
Testo consigliato: P. Casini - M. Vasta, "Scienza delle costruzioni" Ed. Edito Studi - UTET (anche su Amazon)
Modalità esame: prova scritta parziale sostituisce (per chifrequenta) l'orale; scritto e orale normali in alternative.L'esame di costruzioni e quello di statica.
Principali argomenti trattati nel corso:
- Costruzioni ed azioni esterne (azioni solo statiche, nondinamiche); pesi struttureli, entrappe, spinte di terreni,acque, vento, sisma ecc.;
- Elementi strutturali e vincoli (travi, pilastri, giunturein c.a, bullonate, saldate ecc.);
- Analisi strutturale: per valutare le risposte strutturalestatica e cinematica alle azioni esterne;
- Modelazione strutturale: riconduttano di analisi inun modello (2D, aste e nodi);
- Studio di modelli: corpo rigido, fase rigida, elastica, m.continuo di Cauchy, alimento di Saint Venant, piastra,fumero;
- SAP 2000 → input → risposta deformazioni + sollecitazioni;
- Cenni sul calcolo agli elementi finiti per elementigeometricamente complessi, con software ANSYS.
Geometria delle Masse (o delle aree)
Baricentro (G) - È il punto che equilibrio di una massa o di un'area. Data una figura generica di area A:
x0, y0 - distanza di G da x e y.
G è il punto di coordinate xG, yG.
Attraverso del prisma MOMENTI STATICI:
- rispetto all'asse x: Sx=∫y dA
- rispetto all'asse y: Sy=∫x dA
Sx, Sy ≥ 0
Con riferimento a G, e solo per figure piane:
xG= Sy/A, yG= Sx/A
Valgono le inverse: Sx= A yG, Sy= A xG
Le formule sudette del momento statico con gli integrali sono generiche e sono sicuramente indispensabili per le figure irregolari, complesse. Ma nel caso di figure semplici, in cui il baricentro si individua facilmente e quindi conosciamo subito xG, yG, oltre dell'area A si può fare uso di formule semplici ed intuitive.
Esempio: baricentro di una figura con un vuoto
A = Ar - Ac ; Sx = Sxr - Sxc ; Sy = Syr - Syc
RET CER TOT Ai 280 50,27 229,7 cm2 xg 7 6 - yg 10 12 - Sy 1960 301,6 1658 cm3 Sx 2800 603,2 2496 cm3I momenti statici si definiscono come momenti del 1° ordine. Accanto a questi esistono quelli del 2° ordine, cioè i momenti di inerzia.
Ix = bh3/3
Iy = hb3/3
Ixy = b2h2/4
Ix = Ix - Ad2 = bh3/3 - (bh)(h/2)2 = b3h/12
Iyp = hb3/12
Ixy = b2h/4 (bh)(h/2)(h/2) = 0
Si consideri adesso l'ipotesi di ruotare il sistema di riferimento con origine in G, e di voler determinare i momenti di inerzia della stessa figura rispetto ai nuovi assi (ξ, η).
Ruotando le distanze x e y diventano rispettivamente distanze ξ e m, dove:
ξ = x cosθ + y senθ
η = y cosθ + x senθ
Dunque, volendo calcolare i nuovi momenti d'inerzia:
Iξ = ∫A(y cosθ - x senθ)2 dA = cos2θ ∫A y2 dA + sen2θ ∫A x2 dA - 2 senθ cosθ ∫A xy dA
Iξ = Ix cos2θ + Iy sen2θ - 2 Ixy senθ cosθ e dunque:
Iη = Ix sen2θ + Iy cos2θ + 2 Ixy senθ cosθ
Iξ = Iη (cosθ - senθ) + (Ix - Iy) senθ cosθ
Ix = Ix(1) + Ix(2)
Ix(1) = Ix(1) + A(1) dy(1)2 = ( 10 · 153⁄12 ) + 150 · (17,5 - 10,36)2 = 10458 cm4
Ix(2) = Ix(2) + A(2) dy(2)2 = ( 20 · 103⁄12 ) + 200 · (10,36 - 5)2 = 7284 cm4
Ix = 10458 + 7284 = 17742 cm4
Iy = Iy(1) + Iy(2)
Iy(1) = Iy(1) + A(1) dx(1)2 = ( 103 · 15⁄12 ) + 150 · (15 - 12,14)2 = 2476 cm4
Iy(2) = Iy(2) + A(2) dx(2)2 = ( 203 · 10⁄12 ) + 200 · (12,14 - 10)2 = 7582 cm4
Iy = 2476 + 7582 = 10058 cm4
Ixy = Ixy(1) + Ixy(2)
Ixy(1) = Ixy(1) + A(1) dx1dy1 = 0 + 150 · (17,5 - 10,36) (15 - 12,14) = 3063
Ixy(2) = Ixy(2) + A(2) dx2dy2 = 0 + 200 · (10 - 12,14) (5 - 10,36) = 2294
Ixy = 3063 + 2294 = 5357 cm4
6) Calcoliamo l’angolo di rotazione degli assi x, y per avere gli assi principali d’inerzia ξ η:
Θ = 1⁄2 · tg-1 [2 · Ixy⁄Ix - Iy]
dove:
α = cos (n, x) β = cos (n, y) γ = cos (n, z)
Questi 3 valori sono detti I COSENI DIRETTORI.Poiché n è un versore in realtà, di modulo n = 1, Allora α2 + β2 + γ2 = 1.
Premesso ciò. Vediamo adesso quali sono le tensioni di Cauchy alle facce del tetraedro. Abbiamo:
(tn su ABC tx su BPC ty su BPA tz su PAB) → dunque → ( ABC ≡ ΔAnBPC ≡ ΔAxPAC ≡ ΔAyPAB ≡ ΔAz) ; ΔV: Volume di PABC.
Per l’equilibrio: tnΔAn + txΔAx + tyΔAy + tzΔAz + b · ΔV = 0Ma sappiamo che per il lemma di Cauchy:
tx = -tx; ty = -ty; tz = -tz;
quindi l’equazione per l’equilibrio si può riscrivere con:tnΔAn + txΔAx - tyΔAy - tzΔAz + b · ΔV = 0.Poiché ci riferiamo a ΔAn dividiamo tutto per ΔAn:
tn - tx ΔAx/ΔAn - ty ΔAy/ΔAn - tz ΔAz/ΔAn + b ΔV/ΔAn = 0.
Per le considerazioni fatte in precedenza dato che:
limΔn→0 ΔAx/ΔAn = α; limΔn→0 ΔAy/ΔAn = β; limΔn→0 ΔAz/ΔAn = γ; limΔn→0 ΔV/Δn = 0
avremo che il vettore di Cauchy sarà dato da:
Tn = α · tx + β · ty + γ · tz [forma vettoriale]
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