Appunti di Matematica generale - Teoria

Indice

1. Le funzioni ................................................................. Pag. 1
2. Classificazione delle funzioni .................................... Pag. 4
3. Le funzioni composte ................................................. Pag. 9
4. Le funzioni elementari ................................................. Pag. 11
5. Le funzioni trigonometriche ....................................... Pag. 22
6. Le funzioni quasi elementari ................................. Pag. 25
7. Le strutture ................................................................. Pag. 28
8. Rapporto tra elemento ed insieme di numeri reali .... Pag. 35
9. La nozione di limite .................................................... Pag. 37
10. Le funzioni continue ................................................... Pag. 44
11. Le funzioni discontinue ............................................. Pag. 45
12. Funzioni elementari e continuità: le proprietà ......... Pag. 46
13. Infiniti ........................................................................... Pag. 48
14. Le derivate .................................................................. Pag. 50
15. Derivabilità e continuità ........................................... Pag. 51
16. Teoremi ....................................................................... Pag. 53
17. Massimi e minimi ....................................................... Pag. 56
18. Funzioni concave e convesse ................................. Pag. 58
19. Punto di flesso ........................................................... Pag. 59
20. Asintoti ........................................................................ Pag. 61
21. Funzioni in 2 variabili ................................................. Pag. 64

Funzione

Dati 2 insiemi X e Y si definisce funzione da X in Y un assegnato corrispondente che ad ogni x ∈ X associa al più un unico y ∈ Y.

Esempio

L'insieme di partenza X è chiamato dominio di una funzione. In una funzione l'insieme d'arrivo Y è chiamato codominio della funzione. Il sottoinsieme f(A) ⊆ Y formato dai valori assunti dalla funzione è detto insieme delle immagini. Per esprimere che una determinata funzione è definita su A ⊆ X e assume valori in Y si scrive:

f : A ⊆ X → Y

L'elemento y = f(x) corrispondente a x ∈ X tramite la funzione è detto immagine di x.

x -> variabile dipendente
y -> variabile indipendente

Gli insiemi numerici

• N = Numeri naturali Es: N = { 0, 1, 2, 3, ... }
• Z = Numeri interi Es: Z = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
• Q = Numeri razionali Es: Q = { m/n | m, n ∈ Z, n ≠ 0 }

N ⊂ Z ⊂ Q

Incastonamento tra gli insiemi

In N e Z -> insiemi numerici discreti ovvero insiemi numerici adiacenti perché tra due numeri successivi non vi siano altri numeri. Q = insieme numerico denso

E6. Dati due numeri q₁ e q₂. Questa costruzione del punto medio può essere velocemente ripetuta. Il punto medio del segmento di estremi q₁ e q₂ è: Questa operazione può essere infinita dando luogo a infiniti numeri compresi tra q₁ e q₂. Q insieme denso, quindi insieme più potente è sempre possibile eseguire operazioni.

MA Presenta delle manchevolezze ("buchi") Esempio: 3

Insieme R = numeri reali

Q -> Rappresentazione decimale finito o periodico
R -> Ammettono ogni illimitamento decimale

ℝ\−3 - NUMERI IRRAZIONALI

Rappresentazione geometrica dei numeri reali

Insieme numeri reali negativi ℝ− ℝ− insieme numeri reali positivi −3 −2 −1 0 1 2 3 Origine

Dato 2 numeri reali a e b con a < b per rappresentare la nozione di intervallo di estremi a e b, l'insieme di tutti i numeri compresi tra a e b si utilizzano notazioni diverse:

• [a,b] -> intervallo di estremi a e b quando entrambi gli estremi appartengono all'intervallo
• (a,b) -> intervallo di estremi a e b quando entrambi gli estremi non appartengono all'intervallo
• [a;b) -> solo il primo estremo appartiene all'intervallo
• (a;b] -> grafico funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale - x e y coincidono con l'insieme ℝ
ϕ : A ⊎ ℝ → ℝ Definito da 1 in ℝ con A ⊎ ℝ
La corrispondenza definita da una funzione ϕ associa a