Appunti di Matematica generale - Teoria

Dispensa

di

Matematica Generale

Teoria

Indice

1. Le funzioni ............................................................. Pag. 1
2. Classificazione delle funzioni .............................. Pag. 4
3. Le funzioni composte ........................................... Pag. 9
4. Le funzioni elementari ....................................... Pag. 11
5. Le funzioni trigonometriche ............................... Pag. 22
6. Le funzioni quasi elementari ............................ Pag. 25
7. Le strutture ....................................................... Pag. 28
8. Rapporto tra elemento ed insieme di numeri reali .. Pag. 35
9. La nozione di limite .......................................... Pag. 37
10. Le funzioni continue .......................................... Pag. 44
11. Le funzioni discontinue .................................... Pag. 45
12. Funzioni elementari e continuità: le proprietà ... Pag. 46
13. Infiniti ............................................................. Pag. 48
14. Le derivate .................................................... Pag. 50
15. Derivabilità e continuità ................................ Pag. 51
16. Teoremi ......................................................... Pag. 53
17. Massimi e minimi ......................................... Pag. 56
18. Funzioni concave e convesse ....................... Pag. 58
19. Punto di flesso ............................................. Pag. 59
20. Asintoti ........................................................ Pag. 61
21. Funzioni in 2 variabili .................................... Pag. 64

Classificazione delle Funzioni

Funzione Limitata: Una funzione f: A ⊂ ℝ → ℝ si dice limitata se esistono due numeri reali M e m tali che M ⩽ f(x) ⩽ N ∀ x ∈ A.

Nel caso in cui ordinate sono SOLO maggiori di M (o minori), allora si definisce limitata inferiormente (o superiormente).

Funzione Limitata Inferiormente

Funzione Limitata Superiormente

Funzioni Crescenti e Decrescenti

Funzione Crescente (in senso stretto): Una funzione f: A ⊂ ℝ → ℝ si definisce tale quando ∀ x₁, x₂ ∈ A con x₁ < x₂ si ha che f(x₁) < f(x₂).

Le Funzioni Composte

Premessa

Data 2 funzioni: f: D → R e g: B → R

se f(D) ⊆ B allora è possibile definire una funzione: h: D → R detta funzione composta o indicarlo con:

(g∘f): D → R

oppure

g∘f: D → R

In generale le funzioni g∘f o f∘g sono tali solo in cui risulta che D ≠ B, sia x le leggi che le definiscono sono

Le funzione composte siano date le funzioni f: A×X → Y e g: Y → Z definite, rispettivamente, in A ⊆ X e Y.

Ad ogni x ∈ X è corrispondente tramite la prima, l’elemento f(x) ∈ Y, il quale, a sua volta, viene trasformato nella seconda funzione in g(f(x)).

Si definisce funzione composta mediante f∘g la funzione h: A×X → Z che, ad ogni x ∈ A × X associa l’elemento g(f(x)).

• Le funzioni composte sono corrispondenze tra variabili indipendenti o dipendenti non diretto ma mediante altre o altre variabili.
• Le funzioni composte si indicano con la notazione:

h = g∘f

quindi, dati M, G insiemi X, Y, Z e le funzioni f: A×X → Y = z

g

Intersezione con gli assi

• Dipendono dal valore di Δ (b²-4ac)
• Δ > 0
• 2 intersezioni
• Δ = 0
• Una intersezione o tangenza in x = ^-b/__2a
• Δ < 0
• Nessuna intersezione

Iperboli

Le iperboli sono funzioni in cui vi è un rapporto inverso tra le 2 variabili.

All'aumentare del valore di x l'altro diminuisce.

f(x) = ^ax+b/_cx+d

con a, b, c, d ∈ ℜ, 2a-bc ≠ 0

• Asintoti
• Verticale: x = ^-d/_c
• Orizzontale: y = ^a/_c

Centro di simmetria

C (^-d/_c, ^a/_c)

Intersezioni con gli assi

• Asse verticale: x = 0
• Asse orizzontale: y = 0

{_{b/_}}

FUNZIONE ESPONENZIALE

f(x) = a^x

NON si considerano i seguenti casi

• a = 1 ⟹ f(x) = 1^x = 1
• a = 0 ⟹ f(x) = 0^x = 0

La figura sarebbe una retta orizzontale (y = cost)

• a = 0 ⟹ f(x) = 0^x = 0

La figura sarebbe l’asse delle X

Consideriamo

a > 0, a ≠ 1

Il grafico ha le seguenti caratteristiche:

• Dominio: ℝ
• f(x) = a^x > 0 ⟹ ∀x ∈ ℝ ⟹ f(x) è sempre positiva
• All'estremo sx dell’asse x, la funzione f si avvicina sempre più allo zero.

Per valori crescenti di x (procediamo verso dx l’asse delle x) la funzione assume valori crescenti

f(x) = 2^x ⟹ strettamente crescente

f(x) = a^x ⟹ funzione crescente

Tra le funzioni esponenziali con a ≥ 1, risulta rilevante quella con base e

f(x) = e^x, e = 2,73...

• f(x) = cos x Funzione concava 0 ≤ x ≤ π/2 e 3/2 π ≤ x ≤ 2π
• Funzione convessa π/2 ≤ x ≤ 3/2 π

Particolari valori

• cos 0 = 1
• cos π/6 = √3/2
• cos π/4 = 1/√2
• cos π/3 = 1/2
• cos π/2 = 0

Funzione tangente

f(x) = tg x

• f(x) = tg x è una funzione periodica con periodo π → è discontinua
• f(x) = tg x è una funzione monotona → Assume valori sempre maggiori a mano a mano che ci avvicina a π/2 (asintoto verticale)
• f(x) = tg x è una funzione dispari: tg(x) = -tg(-x)
• f(x) = tg x è una funzione crescente in senso stretto per 0 ≤ x ≤ π/2 o per π/2 < x < π
• f(x) = tg x Funzione convessa 0 ≤ x ≤ π/2
• Funzione concava π/2 ≤ x < π

1° Principio

Sommando ad entrambi i membri la stessa quantità 2, la disequazione viene conservata.

Compatibilità tra la struttura di ordine e l'operazione di somma.

2° Principio

Moltiplicando entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero positivo 2, la disequazione viene conservata.

Compatibilità tra la struttura d'ordine e l'operazione di moltiplicazione.

Sistema ampliato di numeri reali:

R⁺ = R ∪ {-∞, +∞}

• +∞ → numero più grande di tutti i numeri reali finiti.
• -∞ → numero più piccolo di tutti i numeri reali finiti.

Regole per le operazioni algebriche con infinito

• a < ∞ ∀x ∈ R
• ∞ + ∞ = ∞
• ∞ - ∞ = ?
• a + ∞ = ∞ ∀x ∈ R
• a - ∞ = -∞ ∀x ∈ R
• a × (+∞) = ± ∞ ∀x < 0
• a × (-∞) = ± ∞ ∀x > 0
• (±∞) × (±∞) = ∞
• (±∞) × (∓∞) = -∞

Forme Indeterminate

• +∞ - ∞ = ?
• ∞/∞ = ?
• t/t = ?

x₀-r₁ x₀ x₀+r₂

• Intorno
• intorno
• intorno

Con intervalli del tipo (_k, +∞) oppure rispettivamente (-∞, -k)

N(+∞) N(-∞)

N(+∞) N(-∞)

∞ -k 0 +k +∞