Matematica Generale I - Appunti

Esame di matematica generale I

g(x) = -f(x) ⟶ Grafico simmetrico rispetto all'asse x

g(x) = f(-x) ⟶ Grafico simmetrico rispetto all'asse y

g(x) = f(|x|) ⟶ g(x) = f(x) per x≥0; + per x<0 simmetria della parte positiva rispetto all'asse y.

g(x) = |f(x)| ⟶ g(x) = f(x) per f(x)≥0; per f(x)<0 ribaltato in modo che sia positiva.

g(x) = f(x)+k

• k>0 traslazione verso l'alto
• k<0 traslazione verso il basso

g(x) = f(x+k)

• k>0 traslazione a sinistra
• k<0 traslazione a destra

PUNTO DI ACCUMULAZIONE

Un punto si dice di accumulazione per un insieme di punti se qualunque suo intorno contiene sempre almeno un punto dell'insieme diverso dal nostro punto.

PUNTI ISOLATI

Un punto si dice isolato per un insieme di punti se esiste un intorno del punto tale da non contenere alcun altro punto dell'insieme.

PUNTI DI FRONTIERA

Un punto si dice di frontiera per un insieme di punti se in ogni intorno del punto cadono sia punti dell'insieme che del suo complementare.

Matematica generale I - Dimostrazioni e teoremi

• Teorema dell'unicità del limite

Se f ( ⊆ ℝ) → ℝ, ₀ punto di accumulazione per ,

∃ lim f(x)_x→x₀

⇓

tale limite è unico.

• Teorema della permanenza del segno

Se per x → ₀, f ammette limite positivo allora ∃ U(x) in cui f è positivo (stessa cosa con il negativo).

• Teorema del confronto

f, g, h definite in U(x₀) − {x₀}

se: g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∀x ∈ U(x₀) − {x₀}

∴ lim g(x)_x→x₀ = lim h(x)_x→x₀ = l con l ∈ ℝ

⇓

∃ lim f(x)_x→x₀ = l

Osservazioni (in queste condizioni)

• se lim h(x)_x→x₀ = −∞ ⇒ lim f(x)_x→x₀ = −∞
• se lim g(x)_x→x₀ = +∞ ⇒ lim f(x)_x→x₀ = +∞
• Vale anche per i limiti destro e sinistro.

Matematica

Approssimazione di Funzioni Tramite Polinomi

f: D ⊆ R → R

se f derivabile in x₀

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + o(x-x₀)

Teorema (Formula di Taylor con resto di peano)

f: D ⊆ R → R

x₀ punto interno a D

f derivabile almeno n volte nel punto x₀

=> ∃ ! P_n(x) polinomio in x di grado ≤ n

tale che ∀x f(x) = P_n(x) + o((x-x₀)ⁿ) per x → x₀

Inoltre

• P_n(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + f''(x₀)(x-x₀)²/2 + ... + f⁽ⁿ⁾(x₀)(x-x₀)ⁿ/n!
• R_n(x) = f(x) - P_n(x)

lim R_n(x)/(x-x₀)ⁿ = 0

Per x₀ = 0.

Formula di Mac Laurin.