Appunti di Matematica Generale, docente Mauro Bisceglia

MATEMATICA PER L'ECONOMIA - LEZIONE 1

Una funzione può essere definita in due modi:

f: A → B

f ∈ A × B

∀x∈A = > f(x₁) = y ∈ B (per ogni x ∈ A, esiste una f(x) tale che y ∈ B)

∀x∈A ∃1 y ∈ B / f(x) = y

COS'È LA FUNZIONE?

È una legge che mi dà ad un certo elemento uno ed un solo elemento.

INSIEME DI PARTENZA

INSIEME L'ARRIVO

f(x₁) = y₁

f(x₂) = y₁

DOMINIO E CODOMINIO

DOMINIO: insieme di partenza ove la funzione poggia i piedi.

CODOMINIO: insieme che contiene TUTTI i calori della funzione.

OCCHIO! NON SEMPRE B = CODOMINIO COINCIDONO!

A = {x₁, x₂}

B: {y₁, y₂}

DOMINIO: {x₁, x₂}

CODOMINIO: {y₁}

B ≠ C!

MATEMATICA PER L'ECONOMIA - LEZIONE 1

Una funzione può essere definita in due modi:

: A → B

: A ⟶_x∈A () | () = y ∈ B

∀∈A ∃! y ∈ B | () = y

COS'È LA FUNZIONE?

È una legge che mi dà ad un certo elemento uno ed un solo altro elemento.

()⟶(())

(₁) = ₁

(₂) = ₁

DOMINIO E CODOMINIO

DOMINIO: insieme di partenza a cui la funzione "appoggia i piedi".

CODOMINIO: insieme che contiene TUTTI i codici della funzione.

OCCHIO! NON SEMPRE B = CODOMINIO COINCIDONO!

()

()

A: {₁, ₂}

B: {₁, ₂}

DOMINIO: {₁, ₂}

CODOMINIO: {₁}

B ≠ C !

f(A) = CODOMINIO (insieme dei valori della funzione)

f(A) : L'IMMAGINE IN A TRAMITE f

f(A) ⊆ B ⟺ f(A) è un sottoinsieme di B

IL CODOMINIO IN UNA FUNZIONE È SEMPRE UN SOTTOINSIEME DI B

f(A) ⊆ B ⟺ ∀y ∈ f(A) : y ∈ B : ɸx ∈ B : x ɸ f(A)

DEFINIZIONE DI SOTTOINSIEME

SOTTOINSIEME : X ⊆ R ⟺ Ɐ x ∈ X. x ∈ R

SOTTOINSIEME PROPRIO : X ⊂ R ⟺ Ɐ x ∈ X. x ∈ R, ɸx ∈ R : x ɸ X

INSIEMI DI NUMERI

N (1, 2, 3, 4, ... )

N. NATURALI

Z { ±1, ±2, ±3, ±4, ... }, Z : { x ∈ R | ∃ m ∈ N : x = m v x = m + 1}

N. INTERI

Q ( 3/4, 2/5, 1/3, ... ), Q = { x ∈ R | ∃ m ∈ Z, ∃ n ∈ Z . x = m/n }

N. RAZIONALI

R ( 3, 1/4 , 1/7, √2 ... )

REALI

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

CURIOSITÀ N 1

√2 ∉ Q

CONSIDERIAMO UN TRIANGOLO RETTANGOLO DI LATO X=1

LA SUA IP NATA DA PITAGORA È

1² + 1² = d² = 2 => d = √2

Ora, poniamo che d ∈ Q (la diagonale sia un numero razionale)

dunque per definizione d = m/n con M ∈ Z (interi) e N ∈ N (naturali)

con M e N NUMERI PRIMI.

se m/n = √2, allora m²/n² = 2, per cui 2n² = m²

Da cui deduciamo che m² è PARI

ma se m² PARI, allora m è PARI

m è un numero pari quindi m = 2k m² = 2k²

quindi 2n² = 4k², dunque n² = 2k², ergo n² è PARI

ma se n² PARI allora n è PARI

DUNQUE

Se m e n sono pari, allora non otteniamo il rapporto di quelli detti NUMERI PRIMI

d = 2P/2Q ergo M e N NON sono NUMERI PRIMI

PERCIÒ d ∉ Q

PUNTUALIZZAZIONI

a, b ∈ ℝ con a ≤ b

∀ q ∈ ℚ a < q < b

∃ p ∈ (ℝ - ℚ) 1,0 < p < b

Q ⊆ ℝ

ℝ - Q ⊂ ℝ

NON INCLUSIONE

A ⊈ B

Supponiamo che dire A ⊂ B ↔ ∀ x ∈ A x ∈ B

funziona A ⊈ B in due con:

• A ⊈ B ↔ ∃ a ∈ A x ∉ B

• A ⊈ B ↔ ∀ c ∈ A: x ∉ B ∃ b ∈ B b ∈ A

FUNZIONE INIETTIVA

A

x₁, x₂

B

y₁, y₂, y₃

FUNZIONE INIETTIVA ∀ x₁, x₂ ∈ A, x₁ ≠ x₂, f(x₁) ≠ f(x₂)

x₁ e x₂ RESTITUISCONO VALORI DIVERSI

FUNZIONE SURGETTIVA

· x₁

· x₂

FUNZIONE SURGETTIVA: ∀ y ∈ B ∃ x ∈ A: f(x) = y

PER OGNI Y C'È ALMENO UNA X

Lezione 2

A = {2, ...}

B = {2}

A ⊂ B ma B ⊂ A

dico A ⊂ B ⇔ ∀ d ∈ A : d ∈ B

Uguaglianza tra insiemi

C = {1}

D = {0,1}

C ⊂ D

D ⊂ C

se vere

C = D ⇔ C ⊂ D ∧ D ⊂ C

C ∩ D = C = D; C ∪ D = C = D

Unione e intersezione

A = {1,2,...}

B = {1,2}

A ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈ B}

A ∩ B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ B}

IMPLICAZIONE

P => Q "P implica Q"