Appunti di Matematica Generale, docente Mauro Bisceglia

Matematica per l'economia - Lezione 1

Una funzione può essere definita in due modi:

f: A → B

V x ∈ A ∃!

cos'è la funzione?

è una legge che mi dà ad un certo elemento uno e un solo elemento.

Dominio e codominio

Dominio: insieme di partenza ove la funzione poggia i piedi.

Codominio: insieme che contiene tutti i codici della funzione.

Occhio! Non sempre B e codominio coincidono!

f(A) = CODOMINIO (insieme dei valori della funzione)

f(A) = l'IMMAGINE A tramite f

f(A) ⊆ B ⟺ f(A) è un sottoinsieme di B

Il codominio di una funzione è sempre un sottoinsieme di B

f(A) ⊆ B ⟺ ∀y∈f(A), ∃x∈A: y = f(x)

DEFINIZIONE IN SOTTOINSIEME

SOTTOINSIEME: X ⊆ R ⟺ ∀x ∈ X, x ∈ R

SOTTOINSIEME PROPRIO: X ⊂ R ⟺ ∀x ∈ X, x ∈ R, ∃x ∈ R, x ∉ X

INSIEMI DI NUMERI

N = {1, 2, 3, 4, ...} N. NATURALI

Z = {..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, ...}, Z = {x ∈ R | ∃m ∈ N, x = m o x = m+1} N. INTERI

Q = { ..., 3/2, 1/3, ... }, Q = {x ∈ R | ∃m ∈ Z, ∃n ∈ Z, x = m/n} N. RAZIONALI

R = {..., π, 1.7, √2, ...} REALI

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R

IMPLICAZIONE

P → Q "P implica Q"

IPOTESI tesi

x P → Q

Q → P allora P ← Q → Q

CONDIZIONE NECESSARIA G??

x ∈ ℤ x &= {?}∈ℤ ∃m∈ℕ x = mα x - mα = m - 1

x ∉ ℚ⇒ x ∈ ℝ / ∃m∈ℤ ∃m∈ℕ x = {±}&frac{m}{m}

ESEMPIO

∀x ∈ ℕ

x² ≥ 62 ⇒ x ≥ 7 VERA

∀x ∈ ℤ

x² ≥ 62 ⇒ x ≥ 7 ( + 8 )² ≥ 62 ⇒ 8 ≥ 7 SI

-8 ≥ 7 NO FALSA

x² ≥ 62 x ≥ 7

√x ≥ √62

|x| ≥ √62 x ∈ℚ ⇒ x|1|} ⇐⇒&

|x|{<}>0

{x : ∈ℚ

-x ∈ ℚ x ≥ 0 (-x ≤ 0

-x ≤ 0 x ≤ 0

x = 0

|x| non resta : un numeri....

Invertibilità

Se una funzione biunivoca non è iniettiva né suriettiva, questa risulta anche invertibile.

∀ y _∈ ^T ∃! x _∈ ^S : f(x) = y

Una e una sola x

Funzione Inversa

f : B ^→ A

Si scambiano dominio e codominio

Normale

f^-1 : ∀ y _∈ B ^→ f^-1(y) : x _∈ A

“Ogni y opportunamente _∈ B, tale che ha una immagine die cui x _∈ A”

f(x) = 2x - 1

f : ^{ℝ → ℝ}

f^-1 : ∀ x _∈ ^{ℝ →} ( y ⁺ 1 ^)/2

Se g : ^{ℝ → ℝ}

g(y) = ^{y + 1} _{/ 2} , allora g ^-1(x) = ¿

Teorema dell'invertibilità delle funzioni monotone

1. f: X → f(X) suriettiva → f⁻¹ invertibile

2. f strettam. monotona → iniettiva

Teorema sulle condizioni necessarie e sufficienti della connessità

f: X → R

• X intervallo
• f continua ⟺ ∀ a, b ∈ X: f(^a+b/₂) ≤ f(a'), f(b')

UNTUVALIZZAZIONI

f: A → R

• max f(t) = β ⟹ β ∈ f(A), ∀ x ∈ A, β ≥ f(x)
• sup f(t) = k ⟺ ∃ k ∈ R, ∀ x ∈ A: k ≥ f(x), ∀ ε > 0 x ∈ a

Punto di minimo di una funzione

Punto del dominio dove la funzione è strett. min.

f: [-1, 0] → y + 1 ∈ [0, 1]

• Punto di min ↔ Minimo

Per sapere se la funzione è limitata, bisogna guardare al codominio

Esempio: y = x^max è limitato in (-1, 1) ma max ⅄ ⅃ ⊃ ⅄ y = max Uno in altra un massimo ma infiniti pti di massimo

PUNTUALIZZAZIONI

l₁ y = 2x + 1

A (1,2)

l₂: 2 (x - 1) + 2 = cp => y = 2x

l₂: 1/2 (x - 1) + 2 = cp => y = 1/2 x + 5/2

y = 2x + 1

(x_C = -3/5

y_C = 11/5

y = 1/2 x + 5/2

C(3/5, 11/5)

d_CA = √((-3/5)² + (7 - 11/5)²)

RETTE EQUISDISTANTI DA UNA RETTA

l y = 2x + c

A (1,2)

Supponiamo che |z + (-1)(z) + c 1. - z|

√1² + 2²

segue che |c|/√5 = 2 => c = ±2√5

(ENTRAMBE A DISTANZA 2 DA l y=2x+c)

• y = 2x + 2√5
• y = 2x - 2√5

DOMINIO DI UNA FUNZIONE LOGARITMICA

\( \log_{\frac{1}{2}} \left| \operatorname{tg}^{2}\frac{x^2}{x-1} \right| \)

1. Quale numeri si mettono? Ossia, qual è il suo dominio X?
• Si porta da \( \log_{f(x)} \), sappiamo che \( \log_{x} \neq 0 \)
• Ne consegue che \( \left| \operatorname{tg}^{2} \frac{x^2}{x-1} \right| > 0 \)
• Proseguire con il dominio delle singole funzioni
2. Le X sono date dalle intersezioni fra X, Y e Z...

FUNZIONE PERIODICA

\( f: X \to \mathbb{R} \)

\( L > 0 \)

Una funzione periodica se e intervallo regolare si:

• \( \forall x \in X, (x+kd) \in X \ \forall k \in \mathbb{Z} \)
• \( \forall x \in X, f(x) = f(x+kd) \ \forall x \in \mathbb{Z} \)

Funz. Periodica

\( \psi = \sin x \)

\( \alpha = 2\pi \)

\( f: \mathbb{R} \to \min \in \left[-1, 1\right] \)

\( \min(0-x) - 0 = - [\max (0+x) - 0] \)

\(\because\) IMPAR

\( \psi = \cos x \)

\( f : \mathbb{R} \to \cos x \in \left[-1, 1\right] \)

\( \cos x = \cos (-x) \)

PARI

Limite di una funzione

r > 0, a ∈ℝ → log_a x ∈ℝ

lim_x→3 log₂ x = 1 (I_L)

dunque ∀ I cointiene I_L, ∃ T₃ ∀ x ∈ X - {3} = T₃, f(x) ∈ T

f: X → ℝ

X₀ ∈ℝ

X₀ punto di accumulazione per X

L ∈ ℝ

lim_x→x0 f(x) = L Condizioni verificate

∀ I_L ∃ T_x, ∀ x ∈ X∩{T_x0} (3) f(x) ∈ I

Definizione n.1

lim_x→x0 f(x) = L ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 (1) x ∈ X, 0 < |x-x₀| < δ (x₀):f(x) ∈ [L-ε, L+ε]

Definizione n.2

lim_x→+∞ lnx = +∞ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 x ∈ ]0+δ] ∩]δ](lnx) > ε

lnx > ε