Appunti di Matematica generale

Dispensa

di

Matematica Generale

Teoria + Esercizi

Indice

1. Le funzioni .......................................................... Pag.1
2. Classificazione delle funzioni .................................. Pag.4
3. Le funzioni composte ............................................... Pag.9
4. Le funzioni elementari ........................................... Pag.11
5. Le funzioni trigonometriche ................................... Pag.22
6. Le funzioni quasi elementari .................................. Pag.25
7. Le strutture ......................................................... Pag.28
8. Rapporto tra elemento ed insieme di numeri reali ............ Pag.35
9. La nozione di limite ............................................... Pag.37
10. Le funzioni continue ........................................... Pag.44
11. Le funzioni discontinue ......................................... Pag.45
12. Funzioni elementari e continuità: le proprietà .............. Pag.46
13. Infiniti .............................................................. Pag.48
14. Le derivate ........................................................ Pag.50
15. Derivabilità e continuità ..................................... Pag.51
16. Teoremi ........................................................... Pag.53
17. Massimi e minimi .................................................. Pag.56
18. Funzioni concave e convesse ................................... Pag.58
19. Punto di flesso .................................................. Pag.59
20. Asintoti ........................................................... Pag.61
21. Funzioni in 2 variabili ........................................ Pag.64

22. Esercizi svolti ........................................................... Pag.65

ℝ \ℜ > Numeri irrazionali

Rappresentazione geometrica dei numeri reali

Insieme numeri reali negativi   ℝ^-   Origine   ℝ⁺   Insieme numeri reali positivi

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Origine

Dati 2 numeri reali a e b con a < b per rappresentare la nozione di intervallo di estremi a e b, l'insieme di tutti i numeri reali compresi tra a e b si utilizzano notazioni diverse:

• (a;b) = intervallo di estremi a e b quando entrambi gli estremi appartengono all'intervallo
• (a;b) = intervallo di estremi a e b quando entrambi gli estremi non appartengono all'intervallo
• [a;b) = solo il primo estremo appartiene all'intervallo
• (a;b] = solo il secondo estremo appartiene all'intervallo

Grafico funzioni reali di variabile reale

Funzione reale di variabile reale -> x e y coincidono con l'insieme ℝ

ρ ∈ ℝ → ℝ

La corrispondenza definita da una funzione f associa a un ascissa x l'ordinata y in modo tale che y = f(x)

Grafico di funzione reale di variabile reale

Considerando una funzione ρ:ℝ→ℝ il suo grafico è costituito dall'insieme delle coppie (x;y) in cui x appartiene al dominio e y è il valore corrispondente a x

Y(f) = { (x;y) ∈ ℝ² : x ∈ A, y = f(x) }

Nel caso di funzioni, proprio la condizione di corrispondenza univoca implica che ogni retta verticale del tipo x=k deve intersecare il grafico della funzione una sola volta. La stessa cosa vale per le rette orizzontali del tipo y=k.

Funzione    Non è una funzione    Funzione    Non è una funzione

! I grafici della funzione f(x) e quello della sua inversa f^-1(x) sono simmetrici rispetto alla bisettrice del piano cartesiano.

Per un punto di coordinate (x₁; y₁) passano infinite rette (fascio di rette)

L'equazione del fascio di rette passanti per (x₁; y₁) è

y = f(x) y₁ + m(x - x₁)

Per 2 punti di coordinate (x₁; y₁) e (x₂; y₂) passa una e soltanto una retta di equazione

y = f(x) = y₁ + y₂ - y₁(x - x₁) / y₂ - x₁

Funzione quadratica

f(x) = ax² + bx + c

A, b, c, ∈ R; a ≠ 0

• a > 0 indica una parabola rivolta verso l'alto e quindi convessa;
• a < 0 indica una parabola rivolta verso il basso e quindi concava.

V(^b/_2a, ^4ac-b2/_4a)

f(x) = x^1/3 = ³√x

è definita ∀x ∈ ℝ

• f(x) > 0 per x > 0
• f(x) = 0 per x = 0
• f(x) < 0 per x < 0

la funzione è dispari

f(x) = -f(-x)

x^1/3 = -(-x)^1/3

x^1/3 = (-x)^1/3

alcuni dei procedimenti rispetto alla bisettrice del I e del III quadrante

f(x) = √(x) - 1 tutti i grafici passano per il punto (1;-1)

• per 0 < x < 1 con l’aumento di x i grafici si deformano passano (fissando l’estremo) intorno ai punti (1;0) e (-1;-1) abbassandosi e scostandosi progressivamente dalla bisettrice del II e III quadrante
• per x > 1 con l’aumento di x i grafici si deformano allontanandosi progressivamente dalla bisettrice.

f(x) = sen x è una funzione periodica con periodo 2π

La funzione f(x) = sen x dopo un intervallo di lunghezza 2π torna ad assumere lo stesso valore.

sen x = sen (x + k 2π) ∀ x ∈ ℝ

L'analisi della funzione si limita dunque all'intervallo 0 < x < 2π.

f(x) = sen x è una funzione limitata

-1 ≤ f(x) = sen x ≤ 1 ∀ x ∈ ℝ

f(x) = -sen x

f(x) = -sen x è dispari ⇒ -sen(-x) = -sen x

f(x) = sen x è strettamente crescente per 0 < x < 1/2 π, e 3/2 π < x < 2 π

Strettamente decrescente per 1/2 π ≤ x ≤ 3/2 π

f(x) = sen x funzione con 0 < x < π

Funzione convessa per π < x < 2π

Valori particolari

• sen 0 = 0
• sen π/6 = 1/2
• sen π/4 = √2/2
• sen π/3 = √3/2
• sen π/2 = 1

Funzione coseno

f(x) = cos x

• f(x) = cos x è una funzione periodica con periodo 2 π
• f(x) = cos x è una funzione limitata
• -1 ≤ f(x) = cos x ≤ 1 ∀ x ∈ ℝ
• f(x) è strettamente decrescente per 0 < x < π e strettamente crescente per π < x < 2 π
• f(x) = cos è una funzione pari

Le Strutture

Tutti i problemi che coinvolgono R possono essere ricondotti a 3 tipi fondamentali a secondo delle operazioni che vengono eseguite sui numeri reali. Più precisamente, i contesti nei quali verranno intesi permettono di individuare in R:

• Struttura algebrica
• Struttura d'ordine

La Struttura Algebrica

La struttura algebrica ricorre comunque ogni volta in cui si esegue un'operazione algebrica.

Ovvio che R costituisce un campo ovvero che vi in R sono definite due operazioni (addizione e prodotto) tra i numeri reali e che queste due operazioni godono delle consuete proprietà formali (proprietà associativa, proprietà commutativa, ecc.).

La Struttura d'Ordine

Con i numeri reali oltre a poterli “contare” siamo in grado anche di confrontarli e di ordinarli.

La struttura d'ordine è quella che viene utilizzata quando, dati due numeri, stabiliamo qual è l’elemento maggiore e qual è l’elemento minore.

In questo senso, si vede che R è un insieme totalmente ordinato, ovvero che dei numeri reali sono sempre confrontabili tra loro.

Esempio Quando risolviamo un’equazione come: x (x - 2x) < 6

Eseguendo le operazioni indicate al primo membro, utilizzando la struttura algebrica, mentre verificando quando il primo membro è minore del secondo attiviamo la struttura d’ordine.

Quando struttura d’ordine e struttura algebrica operano insieme, devono essere tra loro compatibili.

Si ha compatibilità quando valgono i seguenti principi:

1º principio fondamentale delle disequazioni: x < z ⇒ x + 2 < z + 2 ∀ x, y, z ∈ R

2º principio fondamentale delle disequazioni: x < y ⇒ x : 2 < y : 2 (x, y) ∈ R ^y2 > 0