Appunti di Matematica e statistica 1

APPUNTI DI

MATEMATICA E

STATISTICA

Proff. Piretto e Fontanari

MATEMATICA E STATISTICA I

• n√a = b ↔ bⁿ = a con a ≥ 0 e b ≥ 0 con n pari
• n√a = b ↔ bⁿ = a con a, b ∈ R con n dispari
• |A(x)| ≥ B(x)
  • ⎧ A(x) ≥ 0
  • ⎨ A(x) ≥ B(x)
  • ∪
  • ⎩ A(x) < 0
  • -A(x) ≥ B(x)
• A(x) ≥ 0 →
  • A(x) > 0 → tabella dei segni
    • ⊕ se chiede >
    • ⊖ se chiede
    0
  • Equazioni con "seno" e "coseno" → moltiplico per coefficienti che mi conducono ad equazioni elementari (→ formule)
  • Disequazioni irrazionali
    • n dispari → n√A(x) ≥ B(x) ↔ A(x) ≥ [B(x)]ⁿ
    • n pari →
      • ⎧ B(x) ≥ 0
      • ⎨ A(x) ≥ [B(x)]ⁿ ∪
      • ⎩ B(x) < 0
      • A(x) ≥ 0
    • ⎧ A(x) ≥ 0
    • ⎨ B(x) ≥ 0
    • ⎩ A(x) ≤ [B(x)]ⁿ

  TANGENTE

  f(x) = ^senx⁄_cosx = tanx;

  dominio: ℝ - {^π⁄₂ + kπ} e codominio: ℝ

  • P E R I O D I C I T A': tan (x + π)

  FUNZIONE INVERSA

  cotg x = ^cosx⁄_senx (PERIODICITÀ= π)

  dominio: ℝ - {kπ} codominio: ℝ

  LIMITI

  Es: Sia f(x) = x+1, quando x si avvicina a 0, f(x) si avvicina a 1

    lim_x→0 x+1 = 1

  • Per x che tende a x₀, f(x) ha limite L se per valori di x vicini a x₀, i valori di f(x) si avvicinano a L.

  Oss: Se f(x)→L, allora f(x)-L→0, quindi la distanza tra f(x) e L tende a 0.

  • PUNTO DI ACCUMULAZIONE ⟹ Sia E ⊆ ℝ, un punto x₀∈ℝ si chiama di accumulazione per E se in ogni intorno di x₀, cadono infiniti punti di E.
  • LIMITE ⟹ Sia f(x) una funzione definita in un insieme D ⊂ ℝ, e sia x₀ un punto di accumulazione di D.

      lim_x→x₀ f(x) = L

    se ∀ε>0, ∃ δ>0 tale che ∀x∈D, con 0<|x-x₀|<δ, si ha che |f(x)-L|<ε

  Es: per a>0, lim_x→0 a^x = 1

  ① dalla def ∀ε>0 devo trovare un δ’>0 tale che con 0<|x|<δ’ si abbia che 1-ε < a^x < 1+ε

    ⟹ log(1-ε) < x log a < log(1+ε) ⟹

    ⟹ ^log(1-ε)/_{log a} < x < ^log(1+ε)/_{log a}

           ↘0     ↘0

  A

  Controllo asintoti verticali: x → x₀ (x₀ = estremo del dominio)

  Se ^lim_x→x0 f(x) = ±∞, x = x₀ asintoto verticale

  B

  Controllo f(x) → ±∞

  Se ^lim_x→±∞ f(x) = c, y = c asintoto orizzontale

  C

  se ^lim_x→±∞ f(x) = ±∞

  ^lim_x→±∞ ^f(x)⁄_x = a → ^lim_x→±∞ [f(x) - ax] = b → y = ax + b asintoto obliquo

  • ^lim_x→0 ^{log(1+x) + log(1-x)}⁄_x² = ? → se sostituisco x = 0, ottengo ​&Divide;!

  ^lim_x→0 ^log(1-x2)⁄_x² → y = -x² → x² = -y → ^lim_y→0 ^log(1+y)⁄_-y

  si sa che ^log(1+y)⁄_y = 1 → ^lim_y→0 ^log(1+y)⁄_-y = -1

  • ^lim_x→0 ^{ex - e-x}⁄_senx = ? → se sostituisco x = 0 ottengo ​&Divide;!

  ^lim_y→0 ^y⁄_seny = 1

  ^lim_y→0 ^{ey - 1}⁄_y = 1

  • ^lim_x→0 ^{ex(e2x - 1)}⁄_senx × ^x⁄_x → moltiplico e divido per x → ^lim_x→0 ^x⁄_senx × ^{e2x - 1}⁄_x × ²⁄₂

  → ^lim_x→0 ^x⁄_senx × ^{e2x - 1}⁄_2x × 2 = 2

  • Studiare la derivabilità della funzione f(x)=|x|

  Non è derivabile in x=0 perché il rapporto incrementale

  quindi

  E' derivabile per x>0 (c=1) e per x<0 (c=-1)

  |x| = ( 1 x ≥ 0-1 x < 0

  funzione continua ma non derivabile

  • Calcolare la derivata di √x

  √x = x ^1/2 → D(x^1/2) = 1/2 x ^-1/2 = ¹/_2√x

  • Data f(x) = x³, calcolare f'(0) e f'(-2)

  f'(x) = 3x²→ f(0) = 0f(2) = 3(-2)² = 12

  REGOLE DI DERIVAZIONE

  Ⓒ la derivata della somma di 2 funzioni, è la somma delle derivate

  Ⓡ D[(f(x)∙g(x)] = f(x)∙g'(x) + f'(x)∙g(x)

  Ⓢ D[^f(x)/_g(x)] = ^{f'(x)∙g(x) - f(x)∙g'(x)}/_g(x)²

  Es: D(tan x) = D(^{sen x}/_{cos x}) = ^{(cos x)(cos x) - (sen x)(-sen x)}/_cos²x = ^{cos2x + sen2x}/_cos²x

  = ¹/_cos²x

  D[f(g(x))] = f'(g(x))∙g'(x)

  E

  STUDIO INTERVALLI DI MONOTONIA DI UNA FUNZIONE

  Sia I un intervallo e f derivabile in I, ciò implica che:

  1. Se f cresce, f'(x) > 0 ∀x ∈ I
  2. Se f'(x) ≥ 0 ∀x ∈ I, f è crescente in I
  3. Se f'(x) > 0 ∀x ∈ I, f è strettamente crescente in I

  NB: vale anche per decrescente > / > ↔ < / <

  Corollario:Sia f derivabile in I. Sia x₀ punto critico in I (f'(x₀) = 0).Se f'(x) ≥ 0 a sinistra e f'(x) ≤ 0 a destra ↔ x₀ = max (e viceversa per il minimo)

  STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE

  1. Studio del dominio ed eventuali simmetrie o periodictà, codominio e zeri della funzione (f(x)=0), continuità
  2. Comportamento agli estremi del dominio
     • limiti agli estremi
     • asimtoti
  3. Intervalli di monotonia ed estremi e derivabilità
     • calcolo derivata f'(x)
     • studio derivata f'(x) ≥ 0, ≤ 0, = 0
       • crescente
       • decrescente
       • max/min
     • studio i punti stazionari (se esistono)
     • cerco massimi e minimi assoluti e relativi tra i punti di non derivabilità e gli estremi del dominio
  4. Traccio il grafico