Appunti di Matematica (2° semestre)

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Appunti presi durante le lezioni del professor Egidio Battistini, durante l'Anno Accademico 2014-15, nel Polo Territoriale di Mantova.Sono presenti in questa seconda parte, gli argomenti …

Esame Matematica

Facoltà Architettura e società

Dal corso del Prof. Battistini Egidio

Università Politecnico di Milano

A.A. 2014-2015

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Estratto del documento

MATEMATICA

2º SEMESTRE

Y = x^∞

x ≥ 0 x ∈ R

AUMENTANDO ∞, LE PARABOLE SI SCHIACCIANO PER TARE DI PIÙ VERSO L'ASSE X.

CURA LIMITE (DISCONTINUA)

Y = x^m/n

DEVE ESSERE UNA FUNZIONE INIETTIVA (IL PUNTO AMMETTE 1 IMMAGINE). POTER FARE LA FUNZIONE INVERSA.

Y = x² NON È INIETTIVA:

x ≥ 0

Y = x²

È INIETTIVA SE:

LA FUNZIONE INVERSA

Y = x^1/2

DEFINISCO ⁺√x_'' L'UNICA SOLUZIONE DI x = y² ASSUNTO 4, LA SOLUZIONE È 2 E NON +2.

N.B.: DAL 5° GRADO, COMPRESO, IN POI NON HO FORMULE RISOLUTIVE.

Matematica

2^o semestre

y = x^∞

x ≥ 0

x ∈ R

Quando x ➝ +∞

x² ➝ 0

x² ➝ +∞

Aumentando a, le parabole si schiacciano, restare di più verso l'asse X.

Cura limite (discontinua)

y = x²

Deve essere una funzione iniettiva (1 punto = 1 immagine x poter fare la funzione inversa)

y = x² non è iniettiva:

{ x ≥ 0

{ y = x²

La funzione inversa

y = 2_√(x)

y: x = y²

Definisco 2_√x, unica soluzione di x = y² quindi se

desamo 4, la soluzione è 2 e non +2.

y = x + sin x

x = y + sin y

NB: Dal 5^o grado, compreso, in poi non ho foritule risolutive.

y₂=x^3/2

P(0,b)

P₁(b,0)

SIMMETRIA RISPETTO ALLA BISETRICE DEL 1^o -3^o QUADRANTE

α=1

α=1/2

α=1/3

FUNZ. DISPARI

SIMMETRIA RISPETTO ALL'ORIGINE DEGLI ASSI

FUNZ. PARI

SIMMETRIA RISPETTO ALL'ASSE DELLE Y

y = x^5/2

5/2 = 3

y = x^5/2 SI TROVERA TRA y = x² E y = x³

α=1

α=5/2

α=3/5

α=1/2

α=-1

|x|=-2

y = 1/x²

y = 1/√x

Y=sinx

Y=cosx

Y=tanx

Se x è piccolo:

x∼tanx

x∼sinx

sinx ≤ x ≤ tanx

sinx ∼ x ∼ x

tanx ∼ x ∼ x

Sin ∏ periodo 2∏ ⇒ fun dispari

Ton ∏ periodo 1 ∏ ⇒ fun dispari

Formule:

sin²x+cos²x=1

sin(α+β) = sinα cosβ + sinβ cosα

cos(α+β) = cosα cosβ − sinα sinβ

Sin 2α = 2 sinα cosα

Cos 2α = cos²α − sin²α

x=_π/² ⇒ 2 cos²^x/²-1=cosx

1-cosx= 2 (1-sin²^x/²)

2-2 sin²^x/² -1=cosx

cosx=1-2 sin²^x/² ∆ = 1-^x²/₂

cosx∼ 1-^x²/² x∼0

cos(x-^π/₂)=cosx cos(^π/₂)−sinx sin(^π/₂)=-sinx

y=¹/_√(2-x)

y=₁/^x

y=¹/_x-^π/₂

Se vado avanti, metto ^π/₂

Se vado indietro, metto −^π/₂

¹/x-^π/₂x= _π/₂-x

y = f(x)

{y = tan x-π/2 < x < π/2}

tan x

- arctan x

y = f^-1(x) ⇒ x = y: x = tan y

y = arctan x

arctan x ≃ π/2 - 1/x x → ±∞

y = f(x)

{y = sin x-π/2 ≤ x ≤ π/2}

sin x

y/2

- +

arcsin y

y = f^-1(x) ⇒ x = y: x = sin y

y = arcsin x

y = a^x

a > 1

0 < a < 1

a = 2.718182⇒ ex - e^x

y = a^xx ∈ R

f: R → R⁺

y = f^-1(x)

f^-1: R⁺ → Rx = a^y

y = log_ax

MATEMATICA

16-03-2015

y = f(x)

y = f(x) + α

Se ho y = f(x+α)

Indietro, se α > 0

Avanti, se α < 0

cos x è sin ( x + π/2 )

y = α · f(x)

In 0 sono entrambi 0

Es: y = 2 · sin x

Es: y = 1/2 · sin x

Raddoppio le ordinate e mantengo uguali le ascisse.

y = f(αx)

Con α = 2, prendo ogni ascissa e la dimezzo (f(x) si comprime il grafico).
Con α = 1/2, il grafico si estende, si dilata.

y = -f(x) → cioè con α = -1

Il grafico si specchia rispetto all'asse delle ascisse.

y = f(-x) → α = -1

Il grafico si specchia rispetto all'asse delle ordinate.

y = sinx

Nel seno, f(ξ) = -f(x), che si può dire come f(x) = -f(x)

Funzione dispari

f(x) e -f(x) sono uguali

Sintetica p

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