Appunti matematica 2 semestre

1) REGIME DELLA CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE/SCONTO RAZIONALE

L’interesse è direttamente proporzionale sia al capitale sia alla durata

I = a x C x t a € R

M = C + I = C + a x C x t = C x (1 + a x t)

IL MONTANTE IN REGIME SEMPLICE è M = C x (1 + i x t)

SCONTO CONIUGATO A = S x (- )

Il tasso annuo di interesse semplice può essere convertito in un tasso periodale coerente

• con la misura del tempo: 2

noto i i = noto i i = i × m

à à

m m m

*

COME CERCARE IL TASSO DI INTERESSE i 345

=

Formula indiretta ricavata da quella del montante: 5 6 )

2) REGIME DELLA CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA/SCONTO COMPOSTO

Gli interessi sono direttamente proporzionali al capitale ma esponenziali alla durata

M = C x (1 + i) t

IL MONTANTE IN REGIME COMPOSTO =

– t

A = S x = S x (1 + i)

LO SCONTO COMPOSTO

(- ) ! %/)

I = ( ) − 1

"

Il tasso annuo di interesse composto può essere convertito in un tasso periodale coerente

• con la misura del tempo: 1/m m

noto i i = (1 + i) noto i i = (1 + i )

à à

m m m

ALTRI TASSI DI INTERESSE PER IL REGIME COMPOSTO

TAN Si definisce J tasso annuo nominale convertibile m volte l’anno

à m 0

#

J = m x i i =

m m m 1

Si definisce tasso istantaneo d’interesse δ t.c.

7

δ = ln (1 + i) opp. I = − 1 7 6 )

t

M = C · ( 1 + i ) = C · 7

3) REGIME DELLO SCONTO COMMERCIALE/INTERESSI SEMPLICI ANTICIPATI

Lo sconto (d) è direttamente proporzionale al nominale a scadenza (S) e alla durata (t)

() = − ∙

Il fattore di sconto d = tasso annuale di sconto commerciale

A = S x (1 – d x t)

VALORE ATTUALE IN REGIME DI SCONTO COMMERCIALE

M = C ∙

MONTANTE (− ∙ )

COME CERCARE IL CAPITALE C = M x (1 – d x t)

Formula indiretta ricavata da quella del montante:

Il tasso annuo di sconto commerciale può essere convertito in un tasso periodale coerente

• con la misura del tempo: 8

noto d d = noto d d = d x m

à à

m m m

*

se in un O.F ci sono 2 o più diversi interessi:

3 3 3

M = ∙ ( + ) ∙ ( + ) ∙ … … … ( + ) regime composto

'

M = C i t + i – t ) +……+ i (T - t )

∙ + ∙ ∙ (t ∙ regime semplice

1 1 2 2 1 n n-1

SCINDIBILITA’

Una legge finanziaria in una variabile f : [0, +∞) → R+ si dice scindibile quando

f (x + y ) = f (x ) · f (y ) , y ≥ 0

∀x

• F (x+y) è il montante di 1 euro dopo x + y anni;

• f (x) è il montante di 1 euro dopo x anni;

• f (y) è il fattore di montante per un impiego di durata y anni.

UNA LEGGE FINANZIARIA è SCINDIBILE SE E SOLO SE è IN REGIME COMPOSTO 8

LEGGI FINANZIARIE IN DUE VARIABILI

CAPITALIZZAZIONE

F ( durata, epoca inziale) ----à x = epoca iniziale 0 ≤ <

y = epoca finale

0 x y M = C x F (x, y)

C M

ATTUALIZZAZIONE

0 x y A = S x I (x, y)

A S T = y – x

Siano F : [0,+∞) × [0,+∞) → R e Φ : [0,+∞) × [0,+∞)→ R due funzioni. Affinché siano

leggi finanziarie devono essere verificati dei livelli di generalità:

LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE

F(x,x) = 1 Φ (x,x) = 1

∀x≥0

F(x,y) > 0 0 ≤ x ≤ y Φ (y,x) > 0 ≤ x ≤ y

∀ ∀0

≤ x ≤ y1 < y2 ≤ x ≤ y1 < y2

∀0 ∀0

F (x,y1) < F (x,y2) Φ(y1,x) > Φ(y2,x)

F (continua in y e) Φ (continua in y e) differenziabile con derivata

differenziabile con derivata parziale in y continua parziale in y continua 9

Tasso annuo d’interesse associato a F

I è l’Interesse maturato su un Capitale unitario nel primo anno di impiego a partire

x

dall’epoca x ≥ 0: x x+1

C = 1€ M = 1 × F (x , x + 1)€

-1 =

: i = F (x, x+1) – 1 =

Pertanto x ( +, ) -

Tasso annuo di sconto associato alla legge Φ

d è lo Sconto maturato su un Nominale unitario disponibile un anno dopo l’epoca x:

x x x+1

A = 1 × Φ (x + 1, x ) € S = 1€

=

d = 1 – Φ (x+1, x) = 1 -

Pertanto: x (, +) +

SCINDIBILITA’ IN DUE VARIABILI

Una legge finanziaria in due variabili F (x,y) è scindibile quando

F (x , y ) = F (x , z ) · F (z , y ) ≤ x ≤ z ≤ y

∀0

TEOREMA:

Una legge finanziaria in due variabili F (x,y) è scindibile SE E SOLO SE il fattore di montante

è del tipo ()

F (x,y) = ()

con f (t) fattore di montante in una variabile. 10

OPERAZIONI FINANZIARIE

Una operazione finanziaria prevede flussi di cassa a R disponibili agli istanti t , s = 0,...,n.

∈

s s

Dove se a > 0 entrata di cassa

s

se a < 0 uscita di cassa.

s

ADDITIVITA’ DELLE OPERAZIONI FINANZIARIE

Il valore attuale di n flussi di cassa è la somma di n valori attuali

VALORE ATTUALE NETTO (o net present value - NPV)

Data una operazione finanziaria {a , t } chiamiamo VALORE ATTUALE NETTO la somma dei

s s

valori attuali dei singoli flussi di cassa.

In regime composto, al tasso d’interesse annuo effettivo si ha:

+ + .....+ + .....+

( + ) ( + ) ( + ) ( + )

La formula è una somma di prodotti tra i flussi di cassa ed i corrispondenti fattori di sconto.

Se i sale allora NPV (i) scende

DISCOUNTED CASH FLOW

Data una operazione finanziaria {a , t } s = 0,… , n si definisce Discounted Cash Flow

s s

(D.C.F.) la funzione del tasso d’interesse annuo composto effettivo x > −1:

G (x) = a ( 1+ x) + a ( 1+ x) +…..+ a ( 1+ x)

-t0 -t1 -tn

0 1 n

INVESTIMENTI PURI

Si ha una somma negativa iniziale e le altre tutte

positive

Il tasso che rende il valore attuale netto = 0 si chiama

T.I.R (tasso interno di rendimento)

Il TIR si calcola ponendo il valore attuale = 0 11

FINANZIAMENTI PURI

Si ha una somma positiva iniziale e le altre tutte negative

Il tasso che rende il V.A.N = 0 si chiama T.E.G (tasso

effettivo globale)

Il TEG si calcola ponendo il valore attuale = 0

Data una operazione finanziaria {as, ts} s = 0, . . . , n si definisce TASSO INTERNO il tasso

d’interesse annuo composto effettivo x∗ > −1 tale che G (x ) = 0

∗

Ogni Investimento puro ammette un unico tasso interno che viene definito TASSO INTERNO di

RENDIMENTO (T.I.R.)

- Il TIR può non esistere e può non essere unico

Ogni Finanziamento puro ammette un unico tasso interno che viene definito TASSO EFFETTIVO

GLOBALE (T.E.G.)

Il tasso interno di una operazione finanziaria è il parametro impiegato per la valutazione del

superamento della soglia di usura 12

LE RENDITE

Si dice RENDITA una sequenza finita (temporanea) o infinita (perpetua) di flussi di cassa positivi

detti RATE.

Le rendite possono essere:

- ANTICIPATE = la prima rata la pago all’epoca zero

- POSTICIPATE = la prima rata la pago alla fine dell’anno

n = numero delle rate e durata della rendita

RENDITA POSTICIPATA

Rendita temporale Rendita perpetua

' *

% 3 (% - 8 )

(

= R ∙ V. A =

V. A 8

(

( - ) 3

= ∙

Montante

RENDITA ANTICIPATA

Rendita temporale rendita perpetua

'

3 ( - ) <

∙ ( + ) ∙ ∙ ( + )

V.A = V. A =

8

(

( - ) 3

∙ ( + ) ∙

Montante =

RENDITE FRAZIONATE = il valore della rata è mensile, semestrale ecc.

Esempio se è mensile n = 1/12 e devo trasformare i in

* 13

AMMORTAMENTO

Ammortizzare un debito di importo S € significa RIMBORSARE il capitale finanziato oltre agli

interessi maturati

Diversi contratti prevedono l’ammortamento di un debito:

1) Finanziamenti

2) Credito al consumo

3) Leasing

4) Obbligazioni (prestiti obbligazionari)

AMMORTAMENTO GRADUALE

Un debito di importo S € è rimborsato mediante n pagamenti posticipati periodici detti RATE

(Rs s = 1, . . . , n) a titolo di:

1- Parziale rimborso del capitale (Cs)

2- Interessi maturati sul debito nel periodo trascorso dal pagamento precedente (I )

s

Quindi Rs = Cs + Is s=1,...,n

S è il NETTO FINANZIATO: somma di denaro o valore

monetario di un bene al netto di eventuali anticipi

T è la scadenza del contratto

La 1 (A) = finanziamento puro

La 2 (B) = investimento puro

Il piano di ammortamento è una tabella che riassume, per ogni scadenza prevista dal contratto, le

grandezze rilevanti dell’operazione. Tra le grandezze esposte nel piano devono essere verificate

alcune relazioni che sanciscono la correttezza dell’operazione

Le GRANDEZZE DEL PIANO DI AMMORTAMENTO:

a. IMPORTO FINANZIATO S: l’ammontare oggetto del contratto (al netto di anticipi)

à

b. NUMERO DELLE RATE il numero totale di pagamenti posticipati previsti dal contratto

àn:

c. PERIODICITà DELLE RATEà m: frequenza delle rate nell’anno

d. SCADENZEà le date alle quali sono previsti dei flussi di cassa

e. TASSO D’INTERESSE SU BASE ANNUA solitamente espresso in forma di TAN convertibile con

à

la stessa periodicità delle rate è il TASSO INTERNO del contratto

f. RATEà R s=1,…,n: importo dei pagamenti posticipati

S

g. QUOTE CAPITALE C s=1,..,n: importo del rimborso di capitale liquidato con la rata s-esima

à S

h. QUOTE INTERESSI s = 1, . . . , n: l’importo degli interessi, maturati nel periodo tra il

àIs

pagamento della rata s − 1 e s e liquidati nella rata Rs; 14

i. DEBITO RESIDUOà Ds s = 1, . . . , n: ammontare del debito dopo il pagamento della rata

Rs s = 1,...,n;

j. DEBITO ESTINTO Es s=1,...,n: ammontare del debito complessivamente rimborsato dopo

à il pagamento della rata Rs s = 1,...,n.

C1 + C2 + C3 = S

D = somma dei valori attuali di

0

tutte le rate = S = NPV

1) Unico versamento comprensivo di capitale e interessi

2) N versamenti periodici a tito