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Matematica
2o semestre
Y = ∞
X = 0
X > 1
X ∈ ℝ
Aumentando K, le parabole si spostano sempre di più verso l'asse X.
Cura limite (discontinua)
Y = X1/n
Y = X2
Deve essere una funzione iniettiva (1 punto + 1 immagine). Poter fare la funzione inversa.
Y = X2 non è iniettiva.
X ≥ 0
Y = X2
È iniettiva X: c
La funzione inversa
Y = Xn (x)
Y: X = y2
Definisco √X, l'unica soluzione di x = y2, quindi se davanti a √, la soluzione è 2 e non ±2.
Y = X + sin X
X = y + sin y
√(x), Y: x = y + sin y
N.B. dal 5o grado, compreso, in poi non ho forti risolutive.
Y2 = x3
P (b,a)
P1 (b,a)
SIMMETRIA RISPETTO ALLA BISECTRICE DEL 1° E 3° QUADRANTE
a=1/2
a=1/3
FUNZ. DISPARI -> SIMMETRIA RISPETTO ALL'ORIGINE DEGLI ASSI
FUNZ. PARI -> SIMMETRIA RISPETTO AL'ASSE DELLE Y
Y = x5/2
c=5/2 >3
Y = x5/2
x>1
a>1
0<a<1
a=5/2
a=3/5
Y=x1/x
y = f(αx)
- Con α = 2, prendo ogni ascissa e la dimezzo (f1 si comprime il grafico).
- Con α = 1/2, il grafico si espande, si dilata.
y = f(-x) ⇒ α = -1
Cioè con α = -1
Il grafico si specchia rispetto all'asse delle ascisse.
Il grafico si specchia rispetto all'asse delle ordinate.
y = sin x
Nel seno, f(x) = f(x), che si può dire come f(x) = -f(x)
Funzione Dispari
Simmetria puntuale
f(x) e -f(x) sono uguali
Prendo una retta passante per l'origine e ho 2 punti opposti.
MATEMATICA
nlim an = l
∀ɛ > 0 ∃ nɛ: n ≥ nɛ ↦ |an - l| < ɛ
ES:
an = 1⁄n
n→∞lim 1⁄n = 0
ES:
an = cos 1⁄n
n→∞lim cos 1⁄n = 1
∀ɛ > 0 ∃ nɛ: n ≥ nɛ ↦ |cos 1⁄n - 1| < ɛ?
-ɛ < cos 1⁄n - 1 < ɛ
1 - ɛ < cos 1⁄n < 1 + ɛ
1 + ɛ < cos x
0 < x < arc cos (1 - ɛ)
1⁄n ≤ arc cos (1 - ɛ)
n > 1⁄arc cos (1 - ɛ)
n→∞lim an = a7
ES:
an = (4⁄3)n
n→∞lim (4⁄3)n = a7
n⁄k → 0 con k > 0
an = ak nk + ak-1 nk-1 + ... + a0 n + a0
nk (an + ak-1⁄n + ... + a1⁄nk-1 + a0⁄nk) ↦ ┍ an(∂k)
ES:
an = n3 - 10n2 → + ∞
1⁄nk → 0
n→∞X se X > 0 0 se X = 0 -X se X < 0
Y = √(X-4)
Y = -X2
Y = X2
Y = X + 4
Y = X
Y = X + 1
Y = -X + 1
Traslo di 4 il grafico di √X
Alzo il grafico di √(X-4) di 1
- Se metto -Y, ho simmetria rispetto all'asse X.
- Se metto -X, ho simmetria rispetto all'asse Y.
MATEMATICA
Y = sinx / x
f(x0) ≠ limx→x0 f(x)
-1 ≤ sinx ≤ 1
- 1 / x ≤ sinx / x ≤ 1 / x
La funzione sta qui dentro (dentro alla zona definita dagli zeri)
sinx / x = 0 quando: x = kπ con k = ±1, 2, ...
sinx / x = 1 / x per x: sinx = 1 ➔ x = π/2 + k2π
sinx / x = -1 / x per x: sinx = -1 ➔ x = -π/2 + k2π
l- = LIMITE SINISTRO
l+ = LIMITE DESTRO
Y = X / |X| ➔ FUNZIONE SEGNO (sgn)
per x > 0 ➔ 1
in x = 0 non è definita
per x < 0 ➔ -1
LIMITE SINISTRO = -1
LIMITE DESTRO = 1
LIMITE IN 0 NON ESISTE
E3: Y = x + log x
CE = (0; +∞)
limx→0+ x + log x = -∞
limx→+∞ x + log x = +∞
AS. OBLIQUO ?
limx→+∞ (x + log x) / x = limx→+∞ (1 + log x / x) = 1 = m
limx→+∞ (x + log x) - mx = limx→+∞ log x = +∞
NON SI HA ASINTOTO OBLIQUO
LE DERIVATE
Per trovare la retta tangente dobbiamo fare il limite per h che va a 0 della retta.
Yt = f'(X0)(x - X0) + f(X0)
EQUAZ. DELLA RETTA TANGENTE
Derivata della funzione valutata in X0
- La derivata in un punto è il limite del rapporto incrementale effettuato in quel punto.
∀ f, è derivabile se esiste il limite ed è finito.
d(ex)dx = limh→0 ex+ h h = limh→0 ex(eh - 1)h = ex
d(√x)dx = 12√x
d((αf(x)+βg(x))dx = αf'(x)+βg'(x)
f·(x)+g·(x) se∃ f(x),g(x)
d((αf(x)+βg(x))dx = αf'(x)+βg'(x)
f·(x)·g(x)+f(x)·g·(x) se∃ f'(x),g'(x)
f(x)dx => NOTAZIONE DI "LEIBNIZ"
D(sinx) = 1sinx·x = cosx = sinx·x cosx
ddx (f(x)g(x))=f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)g²(x)
D(tanx) = D(sinxcosx )= cosx·cosx-sinx·(-sinx)cos²x = cos²x + sin²xcos²x = 1cos²x
TEOREMA DI DERIVAZIONE DELLA FUNZIONE COMPOSTA:
ddx (f(g(x)))quando x=x0
Ip: ∃ g(x0), ∃ f'(t0) dove t0 = g(x0)
QUINDI: f'(g(x0))·g'(x0)
f(x) = ln(1 + ex)
f(x) = 1 / (1 + e-x)
f(x) = arctan(1 + x)
D[ln(x)] = 1 / x
D[arctanx] = 1 / (1 + x2)
f(x) = tgx + ctgx
D(tgx) = D(sinx / cosx) = (cosx⋅cosx - sinx⋅(-sinx)) / cosx2 = 1 / cos2x
D(ctgx) = D(cosx / sinx) = (-sinx)⋅sinx - cosx⋅cosx / sin2x = -1 / sin2x
f'(x) = 1 / cos2x - 1 / sin2x
y = 5 + 4x - x2 EQ. RETTA TANG. NEL PUNTO IN CUI x = 2 = ?
V = (b / (2a); c) = (2; 9)
y = q = m(x-2)
m = y'(2) DERIVATA DELLA FUNZ. IN x = 2
y' = 4 - 2x
y'(2) = 4 - 4 = 0
LA RETTA TANG. SARA' QUINDI y = 9
I'm sorry, I cannot transcribe the text from the image.- Nel punto c'è la tangente, quindi la derivata c'è più volte.
- Priva di Xo la funzione sta nella zona di Xo ma sotto la tangente.
NB: Punto di flesso con tangente verticale se:
Se lim SX e DX uguali ⇒ Flesso
Se lim SX e DX diversi ⇒ Cuspide
- Ho un flesso se ho un massimo e finito della funzione derivata. (Crescere o decrescere della derivata prima)
- Condizione necessaria per il punto di flesso è che la derivata seconda si annulli.
- Se la derivata seconda cambia verso e in quel punto c'è la tangente, allora c'è un punto di flesso.
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