Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
Matematica
Egidio Battistini
Libri
- Matematica: Calcolo infinitesimale e algebra lineare di Bramanti, Pagani e Salsa
- Politeisti e sez. matematica
Mail: egidio.battistini@polimi.it
N = Naturali 1, 2, 3
Z = Interi -1, 2, 3
Q = Razionali 3/4, 5/3
R = Reali
4√4 = 1√2
V√ = x f = y
Alla funzione do un valore di x e ottengo un valore di y
f : A → B
f : x ∈ A → y ∈ B
Dominio codominio
√4/√ = 2
√ =
y = √x
con x ≥ 0
La funzione radice
IR va da R{U}{0} a R{U}{0}
3√-1 = -1
x2 - 4 = 0
È un'operazione cioè un'uguaglianza tra 2 termini dipendenti da una o più variabili
x2 + y2 = z2 Equazione di una circonferenza con origine in 0 e raggio 1
x2 + y2 = -z2 Non ammette soluzioni perché una somma di quadrati è sempre positiva.
x2 - 4 = 0; x2 = 4, x1,2 = ±2
x3 - y3 = 0
y = ±1√3
y = ±3√2
y = ±√3√2
√ = x3 con x ∈ m/√n
x1/2 = ±√x3
con x ≥ 0
Y = mx + q
"q" è il valore della distanza dall'asse x sull'asse y
Parto da 9
Mi sposto di 1 da 9 (in orizzontale) e salgo/scendo di m
m è coefficiente angolare
m = tan α
La tangente trigonometrica
Y = sin x , y = cos x , y = tan x = sin x/cos x , y = cot x = 1/tan x
sin2 x + cos2 x = 1
sin x/cos x = 1/tan x
tan x = sin x/cos x
cos2 x = 1 + tan2 x
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α , cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
sin 2x = cos 2x - sin2 y = cos x - j cos x2 y - tan2 x2 y - tan x2
sin x = 1/2
Periodo 2π
- X1 = π/6 + 2kπ con k ∈ ℤ
- X2 = -π/6 + 2kπ con k ∈ ℤ
cos x = sin (x + π/2)
sin y/6 = 1/2
sin (y/6 + 2k 2π) = 1/2
Aggiungo infinito periodo di 2π
X1 + 2k 2π è una sorta di periodo 2π
sin x ≥ ± 1/2
- [π/6 + ZKπ]; 5π/6 + ZKπ] con k ∈ ℤ
π è l'angolo piatto
sinx = 2 ∄ x ∈ ℝ
log_e(-2) → ex = -2 ∄ x ∈ ℝ
Nei numeri reali non posso fare: ax, sinhx, coshx, arcsinhx, tanhx, logax, ecc...
Numeri ℂ
Numeri complessi - da coppia ordinata di numeri reali
x = 2 - 3
y; x: 3 + x = 2
√-1 = i
i ⋅ i = i2 = -1 non posso farlo nei reali
x = 0 + i b
Parte reale
Parte immaginaria
x, y ∈ ℂ
x = a + ib
y = c + id
x + y = si fa scritta di vettori
x + y = (a + c) + i (b + d)
x2 + bx + c = 0
Δ = b2 - 4ac = Δ
- Δ > 0 radici reali e distinte
- Δ = 0 radici reali e coincidenti
- Δ < 0 ?
x1,2 = -b ± √b2 - 4ac / 2a
Se Δ < 0 si ha una radice negativa quindi:
x1,2 = ± √(-1)(4ac - b2)/2a
= -b/2a ± i √-Δ / 2a
x ⋅ y
(a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i (ad + bc)
1/y
1/(c + id) = (c - id)/(c + id)(c - id)
=(c - id)/c2 + (i)2d2 = c/c2 + d2 - id/c2 + d2
Moltiplico sopra e sotto per (c - id)
NEL PIANO 2 VETTORI SI DICONO LINEARMENTE INDIPENDENTI
Ogni unico modo per ottenere il vettore nullo è quello dato da λ1 = λ2 = 0
SI PUÒ FARE ANCHE:
PER OTTENER O POSSO ANCHE FARE λ1 = λ2 [TOTA λ3 = -1
NELLO SPAZIO
k l' j
NELO SPAZIO I VTTORI POSSONO ESSERE LINEARMENTE INDIPENDENTI SE SONO SULLO STESSO PIANO
λx j λix k k λ
L'UN PIANO CHE PUÒ SOTRARE AL MASSINO N VETTORI LINEARMENTE INDIPENDENTI
R3 = 3 VETTORI LINEARMENTE INDIPENDENTI
NEL PIANO:
ib ||
j c
k λ
λ: u = λ1 = λ2 [I TOTA λ2 = -1 U]Uguaglianza fra vettori
Ax = b
x = b sono nesti
(α11x1 + α12x2 = b1) α21x1 + α22x2 = b2
Sistema lineare di 2 equazioni in 2 incognite quindi si può pensare come uguaglianza di vettori.
Nel caso scalare
x = b; x = α-1b
y = Ax ∈ R²; x ∈ R²
Funzione con x y incognite
Le trasformazioni lineari
ES:
- y = Ax
- A = [1 2] [3 4]
- x = [x1] [x2]
- con: [1] [0]
- prodotto: A [1] [0] → vettore usc.
- con: x = [0] [1] versore del 1° asse
Partenza [in R²]
N.B.: con x = [1] [0] ottengo il primo vettore della matrice A, cioè [α1] [α2]
con x = [0] [1] ottengo il secondo vettore della matrice A, cioè [α2] [α4]
Versore 2° asse
con: x = [2] - [2] + [2]
- 4
- 10
Matematica [Esercizi assistente]
14-11-2014
x2 + 1 = 0 - 4 13 > Irreali in R loge(2)Introduzione numeri complessi [C]
Un numero complesso è dato da una coppia ordinata (a, b) ∈ R2 = R x R con a ∈ R, b ∈ R.
In forma algebrica: z = a + ib i = unità immaginaria = √-1
- (a, 0) -> a parte reale
- (0, b) -> b parte immaginaria
- (1, 0) -> 1
- (0, 1) -> i
Esempio:
(2 - 3i) + (4 - 5i) = (z1 + t1) + (-3i - 5i) = 6 - 8i = Si sommano tra loro le parti reali e le parti immaginarie - 7 - 3i (5 + 4i) - (7 - 5) = (3-i) - (4 - i) = 2 - i 3 - 4i (4 - z2) = (z1 - 1z) - z22 = (i + 2)/z = i - z2 sopra = z12 - 1/i Multiplo i fattori ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- i2 ∙ i = i-1 1/i3 = √2∙i = z2-1 i/i 2 = i - z2 = -1 Z: 3i - (1 - i) = Z - 3i - Z1 i + 3i2 - 1 - 5i = - 1 = 1/z i i + i - (i - i) = i2 Z - Z = 1 Zi i 2 -✽ Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato dei numeri complesso al denominatore ✽
Z = x + i y = i - z = x - iy Vettore|ConiugatoZ = x + iy
Rappresentazione sul piano y = Parte immaginaria | 2 pi R Lunghezza del segmento = |Z| x = Parte reale 3 = z fod(2) = f√2 · f²(2) y = (Z1·sen(θ) = f sen(θ))Guida:
z= x + i y = f(cos θ + i · sen(θ)) Forma trigonometrici di un numero complesso
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
