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TEOREMI
risultato che si può dimostrare a partire da concetti e
nozioni già definiti e dimostrati.
I concetti, le regole e gli effetti attraverso le definizioni.
Gli assiomi sono affermazioni chiari per definizione
enunciazione chiara e precisa, accettata e ritenuta che sia
la prova di verità dei teoremi.
PROPOSIZIONI
una proposizione senza avere nessuna non possiamo
determinarne sempre vero oppure FALSO
A, B, S e la parola
METTI
A ∈ B
Quando si sceglie indeterminato, la proposizione viene definita
vero.
P(x) : x è modo a Pizzica.
U, P(x) ⟶ ∃A [ x ∈ U | P(x). È vero ]
Chiamiamo INSIEME COMPRESO DA A l'insieme
A = {x ∈ U | P(x) } ≠ Pizzica ⟹ { x ∈ U X ∉ A }
INSIEMI e OPERAZIONI
non usiamo una propria oppure longa l'insieme.
cura A di gramme δB ogni segreto che contiene
non contiene o dicono o di A sole a no insieme.
- Data una insieme A, B. Si chiama INTERSEZIONE l'insieme :A ∩ B : { x ∈ U, x ∈ A, (x ∈ B) }
congiunzione logica
Data A ∪ B. Qualunque UNIONE l'insieme : A ∪ B : { x ∈ U, x ∈ A, (x ∈ B) }
inclusione esclusione logica
Siano A e B due insiemi. Diciamo che A è sottoinsieme di B se ogni elemento di A è anche elemento di B.
A ⊆ B ⟺ ∀ x ∈ A ⟹ x ∈ B
Data due insiemi A e B, Diciamo che B è sottoinsieme proprio di A, e ogni insieme, il B è omega elemento α.
stata proprio una segreto consola a B e non la cremazione di
A ⊆ B ⟹ ∀ x ∈ A ⟹ x ∈ B. ∃ x ∈ B. [x ∉ A]
Gli insiemi numerici:
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Q = {a/b | a ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0}
R = ... numeri complessi quelli con l'operazione dopo la radice.
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Dato A, B due insiemi, chiamiamo prodotto cartesiano di A e B l'insieme seguente:
A × B = { (a, b) | a ∈ A, b ∈ B }
A = { 1, 2, 3, c }
B = { x, y, z }
A × B = { (1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z), (3, x), (3, y), (3, z), (c, x), (c, y), (c, z) }
(a, b) ∈ A × B se (b, a) ∈ B × A
Il prodotto cartesiano non è commutativo.
Chiamiamo piano cartesiano il massimo R2 = R × R
R2 = { (x, y) | x ∈ R, y ∈ R }
Y = { (x, y) ∈ R2 | x = 0 }
X = { (x, y) ∈ R2 | y = 0 }
Xa = { (x, y) ∈ R2 | x = a } a ∈ R
Yb = { (x, y) ∈ R2 | y = b } b ∈ R
Semi-piani
Sx+ = { (x, y) ∈ R2 | x > 0 }
Sx- = { (x, y) ∈ R2 | x < 0 }
Sy- = { (x, y) ∈ R2 | y < 0 }
Quadranti
Q1 = { (x, y) ∈ R2 | x > 0, y > 0 }
Q2 = { (x, y) ∈ R2 | x < 0, y > 0 }
Q3 = { (x, y) ∈ R2 | x < 0, y < 0 }
Q4 = { (x, y) ∈ R2 | x > 0, y < 0 }
GEOMETRIA NEL PIANO
RETT
Equazione generale di una retta passante per un punto:
y = mx + q
(x,y) ∈ ℝ2 x ∈ ℝ, y = mx + q
y = mx + q
x = 0
0; q ∈ ℝ
Retta passante per due punti:
y = mx + q
(x1, y1) y1 = mx1 + q
(x2, y2) y2 = mx2 + q
y2 - y1 = mx2 - q - (mx1 - q) = mx2 - mx1 = m (x2 - x1)
m può assumere diversi valori:
- m > 0
- m = 0
- m < 0
Riprendiamo l'equazione y - y1 = m(x - x1) e sappiamo che
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Sostituiamo e otteniamo:
y - y1 = (y2 - y1) / (x1 - x1) (x - x1) = y3/1 x - (y2/1) / (x1) x1 + [ + ]
m
q
Esercizio
x2+5x=0 → x=3x-q →
o 2+bac
2a
a=0 b=0 c=1
va=-b±√o4-4ac=-o±4=-4=-1
Vx=-2a4ac2(o-4)
Vy=2a2(1)o
x=0
y o → y=-2,-1 → y=y
→ y=-1 → y=+1
A= (o,-1) B=(o,-1)
LE FUNZIONI
Inidiamo come REUZIONE BONONIA un quadriore saleminamo
di A=obwa B=
- A=5 2,3
- B=8, 10, 15, 18, 20,
- ¾ a ∪ ax e a ⩃ b e b ⊃ a
- A × B=
- [(2,8), (2,10), (2,15) (2,18), (2,20), (3,2), (3,10), (3,15), (3,12)]
- [3,20)
Uma formiona p da x a y è una quolsisi reazione bonomia
cada fun set {subtimisto k eh lx lond;torinarhe (mude is
traccormato un tuvci simistruc) lo y = ky. In termete:
x ε X | sd y | y = p(x)
Definiamo,
X dominio di k e lo Y codomino di ø.
K
Π (x1, x2, x3)
X → y
78 (x1, x2, x3, x4) (x5)
Pθ(x1 = p[ (x, x)]
xk xd.1 xk xd
Conseroxie sa funtine re x → y aturniono A × X7 facinesse
delir intwsnon al sind melo della furrione ru e umune
videoald A
£(1) 5 p(o), a e A
Esempio
f: Z → INg: IN → IN
g ∘ f: Z → IN
f: g(n) = (2m + 1)2 + 2= 2m + 1= 2m1 + 22 m2 + 1
F g∘f (m) = f ∘ g (11m) = f: (5g 2 m) +3 ⟹
FUNZIONE IDENTITÀ
Sia X un insieme la funzione I: X → X con legge i(x) = x ∀ x ∈ X si chiama funzione identità
FUNZIONE INVERSA
Sia f: X → Y la funzione f-1 di f dice invertibile se esiste una funzione g: Y → X tale che [non leggibile]
y = f(x) ⇒ x = f-1(y) & x = g(x)
risolvo 0
f(2m)=m
f(2m+1)=m
R: IN → Z
m=0
f(1)=0
f(-1) non esiste
m=1
f(2)=1
f(1)=1
m=2
f(1)=-2
f(3)=2
IN = N U (R ∩ Z)
Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...}
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
Ogni numero razionale di IN si dice numerabile
b1, b2 ∈ Z
x ∈ Z, 1 < a < c < 2
→ PRIMO METODO DIAGONALE DI CANTOR
assegniamo ai opposti al rispettivo numero naturale
Distanza Euclidea
Siano x, y ∈ ℝ. Chiamiamo distanza euclidea fra x ed y il numero reale non negativo:
d(x, y) = |x - y|
Esempio
- x = 7, y = 9 d(7, 9) = |7 - 9| = 2
- x = 3, y = -4 d(-3, 4) = |-3 - 4| = 1 - 7 = 7
N.B. d(x, y) = d(y, x)
Siano x ∈ ℝ ed E ⊆ ℝ. Chiamiamo distanza di x da E
d(x, E) = inf{|x - y|, ∀ y ∈ E}
Esempio
- x = 2 E = [3, 5] { |x - y, y ∈ E | } = {3, 5} d(2, [3, 5]) = inf {3, 5} = 3
- x = 2 E = (1, 8] { |x - y, y ∈ E | } = (1, 6]
3) x ∈ ℚ+
x = 1/2 f(x) = 3 √(x) D = [0, +∞)
x = 1/3 f(x) = 3 √(5x) D = ℝ
fk(x) = x1/k x > 0 x < 0
Andamento dei grafici
x > 0
Funzione esponenziale
y = β(x) = bx b ∈ ℝ X ∈ ℝ
La variabile di arrivo
Teorema di caratterizzazione delle funz. esponenziali
- Se β : I → ℝ è una sola funzione (I) ⊇ ℝ solo se:
- ∀ ∈ (I) β(x) ∈ I
- ∀ x1, x2 ∈ I, β(x1) = β(x)2
- Per sottocomunità isolate in ℝ
- Se 0 < b > 1, ⊇ R ⊇ I1, allora:
- β(I) : = β(x1)β(x2)
- Per le sottocomunità discrete
La funzione fa legge y = β(x) = bx
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