Appunti di Matematica

Revisionato il 30/06/2026

di Valeditom

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Vengono descritti in maniera semplice e approfondita argomenti quali: - definizione di teoremi, postulati, insieme e operazioni, intervalli, condizione necessaria e sufficiente - geometria nel …

Esame Matematica

Facoltà Farmacia

Dal corso del Prof. D'amico Mauro

Università Università degli studi Gabriele D'Annunzio di Chieti e Pescara

A.A. 2021-2022

93 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Teoremi

Teoremi sono risultati che si possono dimostrare a partire da concetti e assiomi precedentemente definiti o dimostrati. I concetti di sviluppo vengono definiti attraverso la definizione. La dimostrazione procede da passi semplici a passi più complessi, costruendo concettualmente ciascun passo sui concetti o risultati precedenti.

Proposizioni

Una proposizione è ogni frase che possiede un valore di verità, può essere VERO o FALSO. Esempio: Se sei una pantera, sei un felino. Quando il soggetto è indeterminato, la proposizione viene definita aperta. P(x): "X è modo o persona."

U, P(x) => A = {X EPSILON U | P(x) = vero} Chiamiamo insieme compreso di A l'insieme: A = {X EPSILON U | X EPSILON P(x)} = P(a) => {X EPSILON U | X EPSILON A}

Insiemi e operazioni

Non esistendo un modo di propria definizione formalmente di insiemi, uno speciale gruppo di essi occupa gli oggetti che contano. I loro universi sono gli elementi dell'insieme. Dati due insiemi A e B, A si chiama intersezione l'insieme:

A con B = {X EPSILON U | X EPSILON A ave X EPSILON B}

Dati gli insiemi A e B, A si chiama unione l'insieme:

AUNB = {X EPSILON L | X EPSILON A vi X EPSILON B}

Siano A e B due insiemi. Diciamo che A è sottoinsieme di B, se ogni elemento di A è anche elemento di B. A sotto B per ogni X EPSILON A => X EPSILON B

Fatti due insiemi, A e B, A dice che A è sotto l'insieme proprio di B, se ogni elemento di A è sotto l'insieme di B e esiste almeno un elemento di B che non è elemento di A. A sotto B => per ogni X EPSILON A => X EPSILON B, e esiste un B EPSILON B - a ESP A

Teoremi

È un risultato che si può dimostrare a partire dai concetti e dai risultati precedentemente definiti e dimostrati. I concetti vanno sempre definiti attraverso le definizioni. [Dimostrare: mettere al riparo da ogni dubbio fornendo un'argomentazione che faccia uso di teoremi e definizioni.]

Proposizioni

È una proposizione senza valore che può assumere solo valori di VERITÀ VERO o NERO FALSO. Ex: Sia: n un naturale n è multiplo di 2 ssen è multiplo di 8. Quando il soggetto è determinato, la proposizione viene definita APERTA. P(x): x = meno 2 "numero"

U, P(x) => A = {x ∈ U | P(x) = vero} Chiamiamo insieme compreso di A l'insieme A' = {x ∈ U | x = falso} = {x ∈ U | x ∉ A}

Insiemi e operazioni

Una definizione è una propria definizione formale di termini essenziali; questi sono dati sei cf gli oggetti cdi calcolo; Sono i numeri, gli elementi, gli insiemi dell'insieme. Dati due insiemi A e B si chiama intersezione l'insieme:

A ∩ B = {x ∈ U | x ∈ A ∧ x ∈ B} congiunzione logica

Dati gli insiemi A e B si chiama unione l'insieme:

A ∪ B = {x ∈ U | x ∈ A ∨ x ∈ B} disgiunzione inclusiva

Siono A e B due insiemi. Diciamo che A è sottomisura di B se ogni elemento di A è anche elemento di B => A ⊆ B n ∈ A => (∃) a ∈ B

Per due insiemi A e B dire che A è sottomisura proprio di B significa che è nulla senza di B ed in A stesso almeno loro elemento di B che non è contenuto di A. => A ⊂ B => ∀ a ∈ A γ a ∈ B ≠ ∃ b ∈ B ∴ b ∉ A

Insiemi numerici

N = {1, 2, 3, 4, ...}
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Q = {^q⁄_t | q ∈ Z, t ∈ Z, t ≠ 0}
R = tutti i numeri, compresi quelli con espresso dopo la virgola

I.N. ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R

Prodotto cartesiano

Dato A e B due insiemi, chiamiamo prodotto cartesiano di A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} es. A = {1, 2, 3, 4} B = {x, b}

A × B = {(1, a), (1, b), (1, x), (2, 5), (3, x), (3, 5), (a, a), (a, 5)} ⇒ (x, y) ∈ A × B ma (x, z) ∈ B × A A × B ≠ B × A se prodotto Cartesiano non è commutativo

Piano cartesiano

Chiamiamo piano cartesiano, l'insieme IR² = IR × IR

IR² = {(x, y) | x ∈ IR, y ∈ IR}

Y = {(x, y) | ∈ IR² | x = 0} X = {(x, y) | ∈ IR² | y = 0} ⇒ Y_a = {(x, y) ∈ IR² | x = a} a ∈ IR X_b = {(x, y) ∈ IR² | y = b} b ∈ IR

Semipiani

S_x+ = {(x, ...}

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