Appunti di macchine a fluido riscritti al computer

CAPITOLO: Aerodinamica dei corpi

Concetto di strato limite: l’approssimazione di strato limite colma l’abisso tra l’equazione di Eulero (ʋ=0)

e l’equazione di Navier Stokes e tra l’assenza e la presenza della condizione di aderenza alla parete. Prandtl

introdusse l’approssimazione di strato limite e la sua idea fu quella di dividere il campo di moto con due

regioni: una REGIONE ESTERNA, di moto non viscoso e irrotazionale, una REGIONE INTERNA, chiamata

STRATO LIMITE, molto sottile e adiacente alla parete solida, nella quale le forze viscose e la rotazionalità

non possono essere ignorate. Nella regione esterna il campo di velocità si ottiene dalla continuità e

dall’equazione di Eulero, mentre il campo di pressione si ottiene dall’equazione di Bernoulli (teoria dei

MOTI A POTENZIALE). All’interno dello strato limite valgono le eq. dello strato limite che sono, anch’esse,

approssimazioni dell’eq. di Navier Stokes. L’approssimazione di strato limite è tanto più corretta quanto

più è piccolo lo spessore dello strato limite δ.

Il concetto di strato limite è molto importante per comprendere l’interazione macchina-fluido, in generale

a cause dell’attrito interno dovuto alla viscosità, lo strato di fluido vicino al corpo si “incolla” alla superficie

e la velocità aumenta gradualmente fino al bordo dello strato limite, dove raggiunge la velocità della

corrente esterna adiacente. È noto come in generale lo spessore dello strato limite diminuisce al crescere

del numero di Reynolds Re. È importante ricordare che all’interno dello strato limite la pressione statica

è costante lungo le direzioni normali alla parete, pertanto la pressione sul bordo esterno dello strato può

essere misurata tramite una presa statica a parete. La transizione laminare-turbolento può essere favorita

tramite diversi meccanismi, “ostacoli” e può avvenire con una gradualità più o meno pronunciata.

Sono qui riportate l’eq. del moto per lo s.l. di un fluido incomprimibile in moto permanente e in regime

laminare nel piano xy, in assenza di effetti gravitazionali:

Da un punto di vista aerodinamico i corpi si distinguono in TOZZI e AERODINAMICI. Nei corpi tozzi la

resistenza all’avanzamento è elevata, la forza di drag è importante se confrontata con quella di lift. Nei

corpi aerodinamici la forza di lift è importante se confrontata con quella di drag; in generale si può dire

che nei corpi tozzi lo strato limite è molto esteso e tende a “separarsi” dal corpo mentre nei corpi

aerodinamici è molto piccolo e aderente. La separazione del flusso lungo un ostacolo è dovuta alla

presenza di un gradiente avverso di pressione, come ad esempio può accadere in corrispondenza dello

spigolo di un corpo. Il processo di separazione dello strato limite superficiale genera dei vortici che

producono forti suzioni nel punto di separazione, e che defluiscono a valle del corpo formando la scia. Se

il fluido si distacca, nella regione di separazione l’approssimazione di strato limite non è valida. In molte

applicazioni pratiche non interessa (e non è possibile) conoscere tutti i dettagli all’interno dello s.l. ma

piuttosto interessano stime ragionevoli di caratteristiche globali come lo spessore o il coefficiente di

attrito ( e quindi lo skin friction); a tale scopo si ricorre al BILANCIO INTREGRALE DELLA QUANTITA’ DI

MOTO (EQ. INTEGRALE DI VON KARMAN) , che assume la seguente forma una volta definiti i seguenti

parametri: 1

Spessore di spostamento dello s.l.

Spessore della quantità di moto

L’eq. integrale, che assume la seguente forma, è utile perché semplici formulazioni analitiche per il profilo

di velocità forniscono stime per il coefficiente di attrito ( e quindi dello skin friction alla parete e di

conseguenza del coefficiente di drag).

La separazione dello strato limite superficiale e la formazione della scia dipendono dalla geometria del

corpo e dal numero di Reynolds.

I PROFILI AERODINAMICI (es. alari) sono studiati in modo tale da non presentare separazione lungo la

sezione, ma solo in corrispondenza della coda dove i vortici che si generano sono così piccoli che la scia

risulta essere molto sottile. Tuttavia, se il profilo alare ha un angolo di attacco pronunciato rispetto alla

direzione del flusso, la separazione e la formazione della scia vorticosa variano sensibilmente a tal punto

da compromettere le prestazioni del profilo stesso.

I corpi tozzi presentano dei punti di separazione che dipendono dalla forma del corpo, mentre il processo

di formazione della scia dipende dal numero di Reynolds.

PROFILI ALARI. Poiché i profili delle turbomacchine “nascono” in conseguenza a quelli alari, soffermiamoci

su quest’ultimi riprendendo alcuni concetti fondamentali a partire dalla terminologia: 2

Nota (n. di Mach nei profili alari): quando il numero di Mach della corrente si avvicina a 1, condizioni di

flusso sonico saranno raggiunte in qualche punto del profilo. Molto spesso si hanno quindi sul profilo

Mach critici M=1. Quando il numero di Mach della corrente supera quello critico, un’onda d’urto si forma

sul profilo, questa rappresenta una forte discontinuità di pressione ( in aumento a valle!) ed interagisce

anche con lo strato limite causando un suo ispessimento e favorendone la separazione. La resistenza

associata all’onda e la separazione comportano quindi un forte aumento della resistenza. È importante

richiamare anche i concetti di lift e di drag: sappiamo che quando l’angolo di attacco del flusso non è nullo

si genera una depressione sul ventre del profilo e una sovrapressione sul dorso. La risultante delle forze

di pressione F presenta in generale due componenti, una in direzione normale a quella del flusso

indisturbato e una parallela ad essa. La componente normale L è detta PORTANZA AERODINAMICA e il

suo verso è quello che va dal lato in pressione a quello in depressione del profilo. La componente D nel

verso del moto relativo è detta RESISTENZA AERODINAMICA. In particolare è necessario notare che la

resistenza è composta da una RESISTENZA DI FORMA D associata alla distribuzione di pressione sul profilo

p

e una RESISTENZA VISCOSA D legata agli sforzi di taglio sulla superficie del profilo. L e D vengono espresse

f

attraverso i COEFFICIENTI DI LIFT E DRAG : 1 2

= ∙ ∙ ∙ ∙

2

1 2

= ∙ ∙ ∙ ∙

2

Con S area di una superficie di riferimento. Per i profili alari viene in genere assunta l’area di pianta (corda

profilo x lunghezza ala). È qui riportata una figura che riassume l’andamento di D e D in funzione di C e

f p D

spessore/corda. 3

In prima approssimazione si può stimare che, per i profili tradizionali:

• Il centro di spinta del profilo è circa a ¼ di corda

• La massima depressione avviene entro il 20% della corda

• La transizione avviene dopo il punto di minima pressione

Per ridurre la resistenza furono introdotti i profili laminari NACA (C =0.0035/0.0061) grazie ai quali ci fu

D

una riduzione del coeffieciente di Drag. In particolare questi profili cercano di limitare la diffusione agendo

sul gradiente di pressione avverso lungo la direzione del profilo: si cerca un’accelerazione più dolce e si

evita una brusca decelerazione.

NOTA: il profilo alare deforma il campo di moto, impone una curvatura al flusso e crea quindi un gradiente

di pressione responsabile di portanza e resistenza.

NOTA: il coefficiente di resistenza su corpi aerodinamici aumenta quando lo strato limite diventa

turbolento perché su questi corpi le forze tangenziali contribuiscono in maniera rilevante all’azione di

trascinamento e gli sforzi tangenziali dello s.l. turbolento sono maggiori di quelli dello strato limite

laminare. Su un corpo tozzo (es. cilindro o sfera) il coefficiente di resistenza invece diminuisce

all’aumentare della turbolenza perché la corrente può percorrere una maggiore distanza prima che si

verifichi il distacco.

NOTA: l’unico parametro che veramente infuenza il valore del coefficiente di portanza è la forma

dell’oggetto.

Sono molto importanti i grafici che riportanto l’andamento dei coefficienti di lift e drag in funzione

dell’angolo di attacco del flusso sul profilo. In linea di massima è possibile approssimare tutta la curva ad

una retta ad eccezione del tratto finale dove, a causa di fernomeni di separazione, viene raggiunto un

punto massimo per il coefficiente di portanza. Il punto C è quello che segna lo STALLO aerodinamico.

Lmax

Successivamente allo stallo si ha una brusca caduta del coeffieciente di portanza. 4

Molto utili sono anche i diagrammi polari che riportanto nella forma polare i coefficienti di portanza e

resistenza:

Introdurre il concetto di ala ad allungamento finito complica le cose: l’ipotesi che facevamo che la

distribuzione di pressione per un profilo alare è costante per tutte la altre infinite sezioni non è più valida.

2

Uno dei parametri più importanti per l’ala finita è il cosiddetto aspect ratio AR= in cui S è la superficie

alare e b è l’apertura alare. In un profilo alare di dimensioni finite è necessario tenere conto della

cosiddetta RESISTENZA INDOTTA. La resistenza indotta è strettamente legata alla tridimensionalità

dell’ala. L’ala infatti non può essere analizzata considerando solo la sua sezione bidimensionale bensì

come un oggetto a tre dimensioni immerso in un fluido. Alle estremità alari l’aria tenderà a fluire dalla

zona ad alta pressione alla zona di bassa pressione generando dei vortici detti TRAILING VORTEX: questi

vortici hanno una componente discendente di velocità detta componente di DOWNWASH che riduce la

portanza dell’aereo. La generazione di questi vortici verrà pagata in termini di resistenza detta resistenza

indotta. È chiaro che dire differenza di pressione tra dorso e ventre vuol dire portanza. La resistenza

indotta si genera quando l’ala genera portanza: se C =0 allora C =0 e viceversa. Pertanto maggiore è il

L indotta

coefficiente di lift e maggiore è la resistenza indotta, minore è il coefficiente di lift ( quindi minore è

l’angolo di attacco) minore è la resistenza indotta. In generale non solo i vortici di estremità diminuiscono

il coefficiente di lift a parità di angolo di attacco α, ma aumentano anche il coefficiente di drag come si

evince dalla seguente figura a destra: 5

Considerando due ali di pari superficie alare e diverso allungamento, quella con maggiore allungamento

presenta una minore resistenza indotta (figura di sinistra). Un’ulteriore modo per ridurre la resistenza

indotta è quello di creare piccole alette verticali posizionate all’estremità alari dette Winglets: questi

hanno il compito di ridurre il tip vortex e di utilizzarlo per ottenere una piccola spinta di avanzamento.

Nelle fasi del decollo ed atterraggio è necessario ridurre la velocità, di conseguenza è necessario

incrementare il valore del coefficiente di portanza oppure aumentare la superficie S. Si ricorre quindi

all’uso di SLAT per il bordo di attacco e di FLAP per il bordo di uscita. Come si nota in queste figure questi

dispositivi aumentano di molto il coefficiente di lift ma, inevitabilmente, anche il coefficiente di Drag sale:

CAPITOLO ELEMENTI DI TURBOMACCHINE: Ovviamente è obbligo ricordare il concetto di STADIO: cioè

l’insieme di ROTORE e STATORE. In una macchina MOTRICE si trasforma l’energia del fluido in energia

meccanica all’albero della macchina e nello statore avviene la conversione di energia di pressione in

energia cinetica mentre nel rotore si ricava lavoro sottraendo energia al fluido. In una macchina

OPERATRICE il rotore cede lavoro al fluido e nello statore a valle avviene la conversione di energia cinetica

in energia di pressione. Vedere a pag. 36-37 i vari piani che ci aiutano ad analizzare le macchine.

Il flusso nello stadio di una turbomacchina è tipicamente tridimensionale, instazionario e viscoso, pertanto

potrebbe essere studiato con rigore solo tramite le eq. di Navier-Stokes. Per semplificare l’analisi si fanno

alcune ipotesi:

• FLUSSO STAZIONARIO

• FLUSSO MONODIMENSIONALE

Sulla base di queste ipotesi è possibile definire il concetto di TRIANGOLO DI VELOCITA’, che consente di

riassumere in forma vettoriale le interazioni dinamiche fra fluido e macchina. Si utilizzano due punti di

vista: quello di un osservatore assoluto, solidale con lo statore e quello di un osservatore in moto relativo

con il rotore. In questo modo si possono distinguere le seguenti velocità:

⃗ ⃗⃗⃗ ⃗

= + 6

con: ⃗

• velocità assoluta del fluido

⃗⃗⃗

• velocità relativa del fluido

⃗ ⃗

• =

⃗ ×

velocità di trascinamento o periferica di rotazione della girante.

In questo modo il generico volumetto di fluido ha una velocità assoluta che è sempre data dalla somma

vettoriale della velocità relativa e di trascinamento. Normalmente si preferisce considerare i triangoli di

velocità all’ingresso e all’uscita del canale rotorico, essendo l’elemento della macchina che scambia lavoro

con il fluido.

I vettori velocità assoluta V vengono disegnati tangenti al profilo delle pale statoriche, oppure tangenti

alla linea media della pala (“camber line”) o del canale stesso.

I vettori velocità relativa W vengono disegnati tangenti al profilo della pala rotorica, oppure alla linea

media della pala o del canale del rotore.

In generale, la direzione assiale viene presa come riferimento nelle macchine assiali per definire gli angoli

α dei vettori velocità assoluta e gli angoli β dei vettori velocità relativa; la direzione radiale viene presa

come riferimento nelle macchine radiali per definire gli angoli α dei vettori velocità assoluta e gli angoli β

dei vettori velocità relativa.

Ogni vettore velocità del triangolo può essere scomposto in tre componenti su assi di riferimento scelti,

in particolare sono di interesse le seguenti:

• Direzione assiale, parallela all’asse di rotazione della macchina

• Direzione radiale, perpendicolare all’asse di rotazione della macchina

• Direzione tangenziale, tangente alla circonferenza di raggio r concentrica con l’asse di rotazione

della macchina

Molto usata spesso è la componente MERIDIANA, somma delle componenti assiale e radiale se entrambe

non nulle.

È chiamata PALETTATURA l’insieme delle palette opportunamente calettate sulla girante e distribuite

lungo una circonferenza concentrica con l’asse di rotazione; lo sviluppo della palettatura sarà parallelo

all’asse di rotazione per macchine assiali o perpendicolare all’asse per macchine radiali.Con riferimento

alla seguente figura riportiamo la nomenclatura essenziale per la palettatura ed il profilo: 7

• BORDO DI INGRESSO, rivolto verso il fluido entrante; BORDO DI USCITA rivolto verso il fluido

uscente

• DORSO (lato convesso o estradosso) e VENTRE ( lato concavo o intradosso)

• LINEA MEDIA (camber line) linea intermedia tra dorso e ventre

• CORDA c, segmento che unisce gli estremi della linea media

• SPESSORE s, distanza tra dorso e ventre misurata, punto per punto, sulla perpendicolare alla linea

media.

• ANGOLI GEOMETRICI DI INGRESSO E DI USCITA β e β : angoli formati dalle tangenti alla linea

1g 2g

media, all’ingresso e all’uscita, con una direzione di riferimento ( in figura la verticale)

• ∆

DEFLESSIONE GEOMETRICA O INARCAMENTO DEL PROFILO (CAMBER ANGLE), β = β - β ;

g 2g 1g

dipende dal tipo di profilo scelto

• ANGOLI CINEMATICI, o di flusso, di ingresso e di uscita β e β : sono gli angoli formati dalle

1f 2f

direzioni del flusso, all’ingresso e all’uscita, con la stessa direzione di riferimento assunta per la

definizione degli angoli geometrici.

• INCIDENZA i=β - β : è l’angolo formato tra la direzione della velocità del flusso in ingresso e la

1g- 1f

direzione della tangente alla linea mediana all’ingresso del profilo. È imposta dal progettista della

macchina al fine di ottimizzare le prestazioni. Se i>0 si parla di incidenza positiva

• DEVIAZIONE δ=β β : è l’angolo formato tra la direzione della tangente alla linea mediana

2g— 2f

all’uscita del profilo e la direzione della velocità del flusso in uscita. Dipende dal tipo di profilo

scelto e, per quanto riguarda le schiere, dalla loro solidità ovvero dal numero di pale presenti su

una data girante.

•

ANGOLO DI CALETTAMENTO : è l’angolo formato dalla corda del profilo con una direzione di

riferimento e definisce l’inclinazione con cui la pala è collocata sulla girante. Anche questo è

imposto dal progettista al fine di ottimizzare le prestazioni.

• PASSO p (PITCH): è la distanza fra due punti omologhi di due pale successive presenti in una

schiera.

• =

SOLIDITA’ (solidity): per un dato profilo dipende dal numero di pale presenti sulla schiera e

definisce le dimensioni dei canali attraversati dal flusso

Le considerazioni precedenti, fatte per una schiera assiale di macchina operatrice, sono del tutto generali

e valgono analoghe considerazioni per schiere assiali di macchine motrici o per macchine radiali.

Una corrente che investe con una data incidenza positiva un profilo, determina una distribuzione di

pressione agente sulla superficie tale per cui si avrà una depressione sul dorso (SUCTION SIDE) e una

sovrappressione sul ventre (PRESSURE SID