Appunti Sistemi energetici e macchine a fluido I sulla termodinamica

TRASFORMAZIONE ISOENTROPICA

Una trasformazione isoentropica è una trasformazione che avviene quando l’entropia del sistema è

costante, ovvero quando: ⅆ = + = 0

Potremmo studiare la trasformazione in due modi:

• Quando è ADIABATICA e REVERSIBILE:

= = 0

• Quando è IRREVERSIBILE COMPENSAZIONE:

+ = 0

Il caso più semplice da ottenere e analizzare è il primo; quindi, quando sia il calore che il lavoro

persi sono nulli.

ANALISI DELLA TRASFORMAZIONE:

ⅆ = ⅆ + ⅆ

ⅆ = 0 ⅈ ⅈ ; ⅆ = ⅆ; =

ⅆ

ⅆ + =0

; ( ) ( )

+ ⅆ( ) + ( ) = 0; ⅆ( ) + ⅆ = 0; () + = ;

−1

( ) = ; = ; =

Preso: =

Avremo che: −1

= ; = ;

=

Una trasformazione isoentropica si basa dunque sul fatto che il prodotto tra la pressione e il volume

specifico elevato all’esponente k rimane costante nel tempo.

In questa trasformazione, sono valide le relazioni:

−1

2 1 2 2

( ) ( ) ( )

= = = 1

1 2 1

La relazione:

−1

2 2

= ( )

1

1

È data da:

=

1

K

2 1

= ; { ( )

2

= ⋅ 2 1

2

−

2 2 1

( ) ( ) ( )

1 1 2

1−

2 1

( ) =( )

1 2

−1

2 2

= ( )

1

1

TRASFORMAZIONE ISOTERMICA

Una trasformazione isoterma è una trasformazione che avviene a temperatura costante.

=

TRASFORMAZIONE ISOBARA

Una trasformazione isobara è una trasformazione che avviene a pressione costante.

ⅆ = ⅆⅈ = ⅆ

ⅆ

ⅆ =

ⅆ

∫ ⅆ = ∫

0 0

−

0

=

0

TRASFORMAZIONE ISOCORA

Una trasformazione isocora è una trasformazione che avviene a volume costante. Il grafico della

trasformazione isocora cresce più velocemente rispetto al grafico della trasformazione isobara

poiché il valore di c è sempre maggiore del valore di c .

p v

ⅆ = ⅆⅈ = ⅆ

ⅆ

ⅆ =

ⅆ

∫ ⅆ = ∫

0 0

−

0

=

0

DEFINIZIONE DI CALORE SPECIFICO

Il calore specifico è la quantità di calore da fornire in modo tale che nell’unità di massa la

temperatura cambi di 1°C.

Preso come riferimento il diagramma T-s:

• TRASFORMAZIONE ISOENTROPICA: è adiabatica e

̅̅̅̅̅

reversibile. Non vi è scambio di calore. = 0

• TRASFORMAZIONE ISOTERMA: non cambia mai la sia

̅̅̅̅̅

temperatura: = ∞

• ̅̅̅̅̅

TRASFORMAZIONE ISOBARA: =

• ̅̅̅̅̅

TRASFORMAZIONE ISOCORA: =

Ricordando che > .

Da queste constatazioni si può concludere che, per una trasformazione reversibile, più è rapida la

trasformazione e meno calore sarà necessario per far cambiare la temperatura di 1°C.

VALORI DI CALORI SPECIFICI: − =

+

= = =1+

=

−1

=

−1

TRASFORMAZIONE POLITROPICA

Una trasformazione politropica è una trasformazione REVERSIBILE di un gas perfetto con calore

specifico c costante.

Dal punto di vista ingegneristico però, le trasformazioni reversibili non ci risultano utili da

analizzare. Dal punto di vista ingegneristico è interessante studiare le trasformazioni

IRREVERSIBILI.

Quando una trasformazione è irreversibile, vuol dire che è presente un lavoro perso a causa delle

dissipazioni. Questo lavoro però nonostante abbia origine meccanica, finisce con l’avere una fine

termica. Questa proprietà potremmo sfruttarla a nostro vantaggio.

Il calore generato all’interno non si riesce a distinguere dal calore fornito o scambiato (ovvero il

lavoro “perso” nelle trasformazioni irreversibili). Pertanto, per poter studiare la trasformazione

irreversibile, facciamo entrare l’irreversibilità sottoforma di calore scambiato.

• ̇

Reversibile: = ⅆ

• ̇

Irreversibile: = ⅆ +

Per una trasformazione irreversibile avremo che:

ⅆ = ⅆ + ⅆ = ⅆ

= + =

ⅆ = ⅆ + ⅆ = ⅆ = ⅆ + ⅆ

ⅆ + ⅆ = ⅆ

ⅆ()

( )

− − ⅆ = 0

All’equazione qui sopra vado a sostituire con:

ⅆ() = ⅆ + ⅆ

Facendo tutti i passaggi otterremo: = −

− ⅆ ⅆ

+ =0

−

−

=

−

Sostituendo i valori di m e R: ⅆ ⅆ

+ =0

ⅆ( + ) = 0

+ =

=

Equazione finale:

−1

2 1 2 2

( ) ( ) ( )

= = = 1

1 2 1

VALORI DI m NELLE TRASFORMAZIONI

ISOENTROPICA: ⅆ = ⅆ + ⅆ = ⅆ = 0

(calore specifico nullo)

= 0

= =

ISOTERMA: ⅆ = ⅆ + ⅆ = ⅆ =

ⅆ

= = calore specifico infinitamente grande.

ⅆ −

= ⅈ =1

−

→±∞

ISOBARA: ⅆ = ⅆⅈ − ⅆ = ⅆ

ⅆⅈ = ⅆ

ⅆ = 0

=

=0

ISOCORA: ⅆ = ⅆ − ⅆ = ⅆ

ⅆ = ⅆ

ⅆ = 0

=

−

= = ±∞

0

I DIAGRAMMI E I LORO NOMI

• DIAGRAMMA DI GIBBS: T-s

• DIAGRAMMA DI CLAPEYRON: p-v

Nel diagramma di GIBBS le trasformazioni sono così

rappresentate.

Nel diagramma di CLAPEYRON le

trasformazioni sono così rappresentate.

Nello spazio che si crea nel grafico tra la trasformazione isobara e isocora non si può avere una

trasformazione politropica. La ragione per cui una trasformazione politropica non può avvenire

nello spazio tra una trasformazione isocora e isobara nel diagramma di Gibbs è che le condizioni di

volume costante (isocora) e pressione costante (isobara) sono casi particolari di trasformazioni

politropiche con esponenti specifici:

Per (m = 0 ), la trasformazione è isobara (pressione costante).

• Per (m = la trasformazione è isocora (volume costante).

• ∞),

Pertanto, nello spazio tra una trasformazione isocora e una isobara, non esiste una trasformazione

politropica con un valore di ( m ) che possa soddisfare entrambe le condizioni

contemporaneamente. Ogni trasformazione politropica avrà un valore di ( m ) che definisce una

specifica relazione tra pressione e volume, ma non può rappresentare simultaneamente entrambe le

condizioni di volume e pressione costanti.

CONSIDERAZIONE:

Presa la prima equazione della termodinamica euleriana nel sistema di riferimento fisso in una

trasformazione politropica avremo che: 2

+ = +

2

2 2 22 12

−

− = ∫ ⅆ + = ∫ ⅆ + ( )

2

1 1

Il valore del VOLUME SPECIFICO MEDIO è: 2 ⅆ

∫

1

̅ =

2

∫ ⅆ = ̅ ⅆ =

1 22 12

−

− = +( )

2

MACCHINE MOTRICI

Nelle TURBOMACCHINE, le trasformazioni possono essere considerate quasi adiabatiche poiché

il flusso passa molto velocemente e, anche se sono presenti scambi di calore, avvengono in tempi

brevissimi e possono essere trascurabili.

Ipotizzata una trasformazione POLITROPICA, quindi ipotizzando che il fluido sia comprimibile,

posso trascurare il termine . 2

+ = + +

2

Trascuro il termine : 2

+ = +

2 2

( )

+ = − +

2 1

−1 2 2

2

(

+ = − 1) +

−1 2

1 2

2

(

+ = − 1) +

−1 2

1

−1 2

2

(( )

+ = − 1) +

1

−1 2

1

Da cui mi ricavo il RAPPORTO DI COMPRESSIONE, scritto come:

2 =

1

Quindi sostituendo l’equazione al rapporto di compressione avremo che:

2

−1

(

+ = − 1) +

1

−1 2

CONSIDERAZIONE:

Preso il valore di temperatura media e il secondo principio della termodinamica avremo che:

2

∫ ⅆ = =

1

Quindi, il valor