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PROGETTO DI MACCHINE TERMICHE
PER LE MACCHINE MOTRICI SI PRENDERA' l > 0 QUANDO FATTO DAL SISTEMA FLUIDO.
VICEVERSA NELLE MACCHINE OPERATRICI SI PRENDERA' l > 0 QUANDO FATTO SUL FLUIDO.
1. EFFLUSSI DA CONDOTTI A SEZIONE VARIABILE
1.1. EQUAZIONI FONDAMENTALI:
SFEE.:
l = \dfrac{c_1^2}{2} - \dfrac{c_2^2}{2} + g(z_1 - z_2) + h_1 - h_2 + q_e
( E.R. DEL LAVORO IN FORMA T.D. )
IL CALORE RICEVUTO DAL FLUIDO E':
dq̅ = du̅ + pdv̅
(CALORE) (CALORE SVILUPPATO PER)
q̅ = dh̅ - vdp̅ (SCAMBIATO) (DISSIPAZIONI VISCOSO (> SEMPRE))
h_1 - h_2 + q_e = h_1 - h_2 + q_R = h_1 - h_2 + h_2 - h_1 - \int^2_1 vdp - R = - \int^2_1 \dfrac{dp}{\rho} - \int^2_1 dR
l = \dfrac{c_1^2}{2} - \dfrac{c_2^2}{2} + g(z_1 - z_2) - \int^2_1 \dfrac{dp}{\rho} - \int^2_1 dR
( E.R. DEL LAVORO IN FORMA MECCANICA )
LA SOLUZIONE DIPENDE DALLE EQ. COSTITUTIVE CHE IMPIEGO:
FLUSSO INCOMPRIMIBILE → p = cost
l = \dfrac{-Δc_2 - Δϕ_2 - vΔϕ}{p} - R → ( SE LA COMPOSIZIONE NON CAMBIA )
GAS PERFETTO → p = ρRT
dp = dp(RT) + dR(PT) + dT(PR) : \left| P \right|
\dfrac{dp}{\rho} = \dfrac{dT}{T} + \dfrac{dp}{p}
- CONTINUITA': \dot{m} = p_{\infty} CA = cost → \dfrac{dA}{A} + \dfrac{dc}{c} + \dfrac{dp}{p} = 0
- FLUSSO ISENTROPICO: p = cost \rarr;
p = cost → \dfrac{dp}{p} = k \dfrac{dp_s}{p}
- VELOCITA' DEL SUONO VEL. ALLA QUALE SI PROPAGANO LE ONDE DI PRESSIONE DOPOLI
( FINCHÉ VALE L'IPOTESI DI ISENTROPICITÀ )
INFATTI LE ONDE D'URTO SI PROPAGANO A VEL. SUPERIORI A QUELLE DEL SUONO.
E = p \dfrac{dp}{\rho_s}
VELOCITÀ CARATTERISTICA ADIABATICA
E_{\Theta} = \left( \dfrac{-dp}{\rho_s} \right)^2
^2 = \left( \dfrac{dp}{d\rho_s} \right)_s = k \dfrac{p}{\rho} = KRT
- Nr. di Mach:
Ma = c⁄a
- Calcolata rispetto a condizioni TD di riferimento
- Se è calcolata rispetto alle condizioni locali → Ma locale
In pratica il Ma locale dipende dalla T locale (oltre che dalla a e dal tipo di fluido)
1.2. Definizioni
Considerando la sfera per un gas con l - qe = 0 =>
c12⁄2 + gz1, h1 = c22⁄2 + gz2
- Entalpia dinamica ho
- Si conserva l'entalpia totale
ho = h + c2⁄2
hr = h + c2⁄2 entalpia di ristagno
Oss: Per le turbomacchine sarà sempre hoa = ha
- Gas ideale: Δh = cpΔT cp = kR⁄k-1
In termini di entalpia di ristagno si mette allora:
hR = cp Tr
= cp Tr( 1 + c2⁄2cpTr )
= cp T ( 1 + c2⁄2cpT )
TR = T ( 1 + k-1⁄2 Ma2 ) = T ⋅ ξ
hR = h ( 1 + k-1⁄2 Ma2 ) = h ⋅ ξ
Oss: Nei sist. adiabatici si conserva ha = TR
l = c12 - c22⁄2 + g(z1 - z2) - ∫ 1⁄p dp -∫ 1⁄ρ dR
Se l = R = 0
c22⁄2 + gz2 + p2⁄ρ = c22⁄2 + gz2 + p2⁄ρ
Si conserva la pressione totale: po = p1 + c2⁄2 + ρ gz
Per turbomacchine si conserva la Po = p1 + c2⁄2 → press. dinamica
Scambi di l o qe non hanno alcun effetto su Po ma le assumzioni visco-se invece sì. La Po è il vero indicatore dell'energia meccanica di un fluido →
Se dR≠0 h2 e Ta si conservano comunque ma Po invece no!
Possiamo
Sia
Cerchiamo
Allora:
Per
Per
Matematicamente
A
A
A
Quindi
Essa
A
Grafico Matematico
L’andam. di
nella realtà
A
P1
Ma
Però
Ma
Ricavo
Dalla 3 si può anche trovare Ma2 in funzione di Ma1:
p1 - pa = ϱ1 c12 - ϱ0 c02 = ϱ1 c1 - ϱ1 c02 / P1
1 - y = - (1 + KMa22 - kMa12)
1 + KMa22 / (1 + KMa12)
Dopo vari passaggi sostituendo l'espressione per g(Ma12)
si arriva alla:
Ma22 = K - 1 / 2K Ma12 (K - 1)
Relaz. che ci dà subito il na o Ma a valle dell'onda d'urto in funzione del Ma prima di essa.
Oss: limMa2→Ma∞ Ma22 = K - 1 / 2K = 0,413 → 0,378 → valore asintotico (minimo) di Ma2
Siccome abbiamo tutte formule necessarie si può calcolare e graficare il
γc di compressione
T2 - T1 = γc - 1 = y γc - 1 = T2 - T1
Questo si può programmare in Excel al variare di M1 usando le formule:
g = 1 + KMa22 / 1 + KMa12
Invece il grafico Ma2 - Ma1 appare così:
Ma2
Lo scostamento relativo all'asintoto
è di ~ 10% per Ma1 = 4,5
~ 2% per Ma1 = 3
NB: per Ma1 compresi fra 1 e 2 k γc è ≥ 0,0! Questo dato ritornerà utile
quando si tratteranno i compressori assiali!
Quindi:
- La pressione critica è più alta nel caso reale rispetto al caso ideale →
- Il bloccaggio avviene prima → infatti anche la vel. è inferiore visto che Mcrit < 1
- La pressione sonica Ps è più bassa nel caso reale rispetto al caso ideale →
- Devo consumare più pressione (salto P2 - Ps) per accelerare fino alle condizioni soniche →
- Pensa che una parte della pressione è stata dissipata per attrito.
Conclusioni:
- Condizioni soniche e critiche hanno valori e definizioni diverse
- I condotti reali devono essere maggiorati di ~7÷20% rispetto a quelli ideali →
- Le sez. di passaggio.
2) Lezioni sulle varie tipologie di macchine operatrici e loro caratteristiche
- Principali
- Volumetriche
- Alternative
- Rotative
- Dinamiche
- Centrifughe (radiali)
- Assiali
- Miste
- Sia pompe che
- Compressori
- Volumetriche
3) Forze agenti su una particella fluida all'interno di un vano palare
Si considera un elemento di fluido e le forze agenti su di esso,
Ipotesi | Stato stazionario → ω = cost, β = cost
- β = uniforme nel volume
|dFc| = dm · ω²r = ρdV ω²r
dFc = ρ 2ωdc dω ω²r (1)
Alla forza centrifuga si oppongono le forze di pressione:
dFp = P · rdo - (Pt dP)x(t+dχ) de + 2 (ρ+dp2) dr · sindσ2
(Le componenti circonferenziali sulle facce laterali si controbilanciano)
Quindi si considerano solo le componenti radiali per le quali
Si ipotizza una variazione lineare con r dentro dr)
dFp = ρ rdo - ρrde - ρrde - nρdo - dρδdx - dnpdω + Ptρdte + d2x dρdo δ
dFp = -r dρdo (2)
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