Appunti di lezione

Esercizio 4

(X ∪ Y)^c = X^c ∧ Y^c

Dimostrazione

z ∈ (X ∪ Y)^c ⇒ z ∈ S z ≠ X ∪ Y ⇒ z ∈ S z ≠ X, z ∉ Y

(X ∪ Y)^c ⊆ X^c ∧ Y^c

Dimostrazione al contrario

z ∈ X^c ∧ Y^c ⇒ z ∈ X^c, z ∈ Y^c ⇒ z ∈ S z ∉ X ∪ Y ⇒ z ∈ (X ∪ Y)^c

X^c ∧ Y^c ⊆ (X ∪ Y)^c

Esempio

(X ∩ Y)^c = X^c ∪ Y^c

Dim. z ∈ (X ∩ Y)^c ⇒ z ∈ S z ∉ X ∩ Y ⇒ z ∈ S z ∉ X, z ∉ Y z ∈ X^c ∪ Y^c ⇔ z ∈ X^c, z ∈ Y^c

X^c ∪ Y^c ⊆ (X ∩ Y)^c

Dimostrato

Funzione

Sia (X,Y,β) l'associazione ad ogni elemento di X uno ed un solo elemento del secondo (Y).

1. Ad ogni ragazzo dell'aula assegno un proprio (non è ben definita perché 1. Non tutti i ragazzi hanno un proprio 2. Un ragazzo può avere più di uno)
2. Ad ogni ragazzo dell'aula assegno il suo compagno. Questo va bene

(X ∪ Y)^c = X^c ∧ Y^c

Dimostrazione

z ∈ (X ∪ Y)^c => z ∈ S z ∉ X ∪ Y => z ∈ S z ∉ X z ∉ Y

(X ∪ Y)^c ⊆ X^c ∧ Y^c

z ∈ X^c ∧ Y^c z ∈ X^c

Dimostrazione al contrario

z ∈ X^c ∧ Y^c => z ∈ X^c, z ∉ Y^c => z ∈ S

X^c ∧ Y^c ⊆ (X ∪ Y)^c

Esempio

(X ∩ Y)^c = X^c ∪ Y^c

Dim. z ∈ (X ∩ Y)^c => z ∈ S z ∉ X ∩ Y => z ∈ S z ∉ X z ∉ Y z ∈ X^c ∪ Y^c z ∈ X^c, z ∈ Y^c

X^c ∪ Y^c ⊆ (X ∩ Y)^c

Dimostrato

Funzione

Sia (X,Y,β) l'ancora ad ogni elemento di X uno ed un solo elemento del secondo (Y).

1. Ad ogni ragazzo dell'aula assegno un fiore (non è ben definita perché 1. ma tutti i ragazzi hanno un fiore 2. un ragazzo può avere più di uno)
2. Ad ogni ragazzo dell'aula assegno il suo compagno. Questo va bene

Funzione iniettiva

f si dice iniettiva se ad elementi distinti di X associa elementi distinti di Y.

Es. Ad ogni ragazzo associo il proprio codice fiscale

Funzione suriettiva

f si dice suriettiva se ogni elemento del secondo insieme (Y) è corrispondente di almeno un elemento del primo insieme (X).

Es. Ad ogni ragazzo presente in aula associo una sedia, riempio l’aula piena se l’aula non è piena e ci sono sedie vuote non è più suriettiva.

Funzione biunivoca

Ammesso a (X,Y,f) f_sup = {y₁ ∈ Y : ∃ x ∈ X : y₁ = f(x)}

f_sup è un sottoinsieme di Y => f_sup ⊆ Y

Esempio

L’insieme che cognomi associati ai votini non è suriettiva, ma se al posto X uso f_sup diventa suriettiva (uso un sottoinsieme di cognomi).

(X,Y,f) ≠ (X,f_sup,f)

Una funzione si dice biunivoca (o biiettiva) se è sia iniettiva che suriettiva.

Sia (X,Y,f) biunivoca e f : X –> Y (f definita in X con valori in Y) sono la stessa cosa.

f^-1 : Y –> X è l’inversa

(X,Y,f^-1)

f^-1 associa ad ogni y∈Y l’unico x∈X tale che f(x)=y.

f^-1 si può fare solo se la funzione è biunivoca.

N → Z → Q = { ^μ/_ν; μ, ν ∈ Z, ν ≠ 0 }

Esempio

3,5^* = ^35,5/₉₀...tanti o quanti sono le cifre dell'anti periodo ...Q è un campo ...

1. Proprietà commutativa x+y = y+x ∀ x, y ∈ X
2. Proprietà associativa (x+y)+z = x+(y+z) ∀ x, y, z ∈ X
3. Elemento neutro 0: x+0 = 0+x = x ∀ x ∈ X esiste x' ∈ X | x + x' = 0

Per il prodotto

5. Proprietà commutativa x・y = y・x ∀ x, y ∈ X
6. Proprietà associativa (x・y)・z = x・(y・z) ∀ x, y, z ∈ X
7. Elemento neutro rispetto al prodotto x・1 = 1・x = x ∀ x ∈ X x ≠ 0 ∃ x'⁻¹ ∈ X' x・x'⁻¹ = 1 x'⁻¹ è reciproco di x non inverso
8. Proprietà distributiva x(y + z) = x・y + x・z ∀ x, y, z ∈ X

d²: 1+1 = 2

Dimostrazione per assurdo

Dimostriamo che x² = 2 non ha soluzioni in ℚ

Supponiamo ......... pari quindi 2 è pari ... o e sono entrambi pari il che contraddice il fatto che _=1> Insieme dei numeri reali

Diciamo numero reale sia lo , che ogni numero _z, R ➔ numeri reali ^R+ ➔ tutti numeri reali positivi