Appunti di lezione

Analisi Matematica I - Raffaella Lilia

Teorema 9:

(X ∪ Y)^c = X^c ∩ Y^c

Dimo:

z ∈ (X ∪ Y)^c ⇒ z ∉ X ∪ Y ⇒ z ∉ X e z ∉ Y

(X ∪ Y)^c ⊆ X^c ∩ Y^c

Sta nel campo mincitari perché è auto in S ma non in X

Dimostrazione al contrario:

z ∈ X^c ∩ Y^c ⇒ z ∈ X^c, z ∈ Y^c ⇒ z ∉ X ∪ Y ⇒ z ∈ S

X^c ∩ Y^c ⊆ (X ∪ Y)^c

Esempio:

(X ∩ Y)^c = X^c ∪ Y^c

Dim:

z ∈ (X ∩ Y)^c ⇒ z ∈ S

z ∉ X ∩ Y ⇒ z ∈ S ⇒ z ∈ X^c, z ∉ X, z ∉ Y

z ∈ X^c ∪ Y^c ⇔ z ∈ X^c, z ∈ Y^c

X^c ∪ Y^c ⊆ (X ∩ Y)^c

Dimostrato

Funzione:

Sia (X, Y, β)

f associa ad ogni elemento di X uno ed un solo elemento del secondo (Y).

1. Ad ogni ragazzo dell'aula assegno un iPhone. Non è ben definita perché 1. Non tutti i ragazzi hanno un iPhone 2. un ragazzo può averne più di uno.
2. Ad ogni ragazzo dell'aula associo il suo compagno

Questo va bene

Funzione iniettiva

f si dice iniettiva se ad elementi distinti di X associo elementi distinti di Y.

Es. Ad ogni ragazzo associo il proprio codice fiscale.

Funzione suriettiva

f si dice suriettiva se ogni elemento del secondo insieme (Y) è corrispondente di almeno un elemento del primo insieme (X).

Es. Ad ogni ragazzo presente in aula associo una sedia, appena esco l'aula è piena se l'aula non è piena e ci sono sedie vuote non è più suriettiva.

Funzione biunivoca

Amenegata a (X,Y,f) f_f^-1: y ∈ Y ∃ x ∈ X : y = f(x) f_f è sottoinsieme di f ⇒ f_f ⊆ Y

Esempio

L'insieme dei cognomi associati ai nomi non è suriettiva ma se ad ogni posto libero diventa suriettiva (uso un sottoinsieme di cognomi).

(X,Y,f) ≠ (X, f_f)

Una terna si dice biunivoca (o biettiva) se è sia iniettiva che suriettiva.

Sia (X,Y,f) BIUNIVOCA e f: X → Y (f definita in X con valori in Y) esse sono la stessa cosa.

f^-1: Y → X è l'inverso f^-1 associa ad ogni y ∈ Y l'unico x ∈ X tale che f(x) = y

f^-1 si può fare solo se la funzione è biunivoca.

Lemma

x, y ∈ ℝ⁺

x = C₁C₂C₃...C_n …

y = D₁D₂D₃...D_m

x + y ?

Dobbiamo fare la somma:

s₀ = c₀ b

s₁ = p_ce₁ + D₁b

s₂ = p_ce₂e₁ + D₁D₂

… s_n = C₁C₂...C_n + D₁D₂...D_m ∀n ∈ ℕ

Sappiamo che x < C₁₊₁ ∀n ∈ ℕ …

idem per y < D₁ an ^...n …

Quindi posso dire che s_n < (C_n+1) + (D_n+1) = C + D + 2 ∀n ∈ ℕ

C + D + 2 = M

s_n i stabilizzata e quindi individua un numero reale → s_n=_cns

Riassumendo:

x, y ∈ ℝ⁺

x + y è numeri reale ⇒ individuato dalla successione stabilizzata (s_n

x·y ?

Passiamo ora al prodotto

q_n = { (°e₂ e₁ C₁...C_n) (D₁D₂...D_m)ⁿ } _(m)

Sempre con x, y ∈ ℝ⁺

23 m=5 P u evita 25 cifre decimali ma con questo blocco alla u-esima cifra in questo caso alla quinta

(P_u)_a P_u è stabilizzata ⇒ P_u ∈ εP

^x/_y ?

x, y ∈ ℝ⁺ y ≠ 0

qu_n = ( p_c e₁ e₂...C_n )^(u) / D₁D₂...D_m

anche qui è stabilizzata ⇒ q_n ¹₉

3 esempio:

(xⁿ - yⁿ) = (x - y)(x^n-1 + x^n-2y + ... + y^n-1) ∀n ∈ N

n = 2

x² - y² = (x - y)(x + y).

Ipotesi Induttiva P_n h ≥ 2 VERA

Tesi Induttiva P_n+1 è VERA

Ipotesi

(xⁿ - yⁿ) = (x-y)(x^n-1 + x^n-2y + ... + y^n-1)

Tesi

(xⁿ⁺¹ - yⁿ⁺¹) = (x-y) [(xⁿ + x^n-1y + x^n-2y² + ... + yⁿ)]

= xⁿ⁺¹ - xⁿy + xⁿy - x^n-1y² + ... + yⁿ⁺¹ - yⁿ =

= xⁿ(x-y) + y(x-y)(x^n-1 + x^n-2y + ... + y^n-1) =

= (x-y) [xⁿ + x^n-1y + y² + ... + yⁿ]

3 esempio:

P_u ∑_k=1ⁿ k² = n(n+1)(2n+1)/6

n = 2

1 + 2 + 3/6 = 7/6 VERO

P_n è VERA

Ipotesi

∑_k=1ⁿ k² = n(n+1)(2n+1)/6

Tesi

∑_k=1ⁿ⁺¹ k² = (n+1)(n+2)(2n+3)/6

∑_k=1ⁿ⁺¹ k² = ∑_k=1ⁿ k² + (n+1)² = (n(n+1)(2n+1)/6) + (n+1)² =

= n(n+1)(n)(n+1)/6 + (n+1)(2n+1) + 6(n+1)² =

Divido la sommatoria in due somme per applicare l'ipotesi induttiva:

[(n+1)(2n+1) + 6(n+1)²]/6 = [(n+1)(2n² + 7n + 6)/6] = (n+1)(n+2)(2n+3)/6

√x^2k = |x| k pari x≠0

Vogliamo provare che |x| coincide con l'unica soluzione positiva di y^k=x^2k. Basta provare che ∀x∃ ε ordinariam y^k=x^k

|x|:_{{x≥0} <c. x>: {}

f: ℝ→ℝ f(x)=√x se rispett ha legge è ben definita per

che con x<0 non ha significato.

Se x è dispari ha legge è ben definita in tutto ℝ

g: ℝ→ℝ g(x)=^k√x

la legge è ben definita sia per n pari che per n dispari.

Campo di esistenza

1. f: [0,+∞[→ℝ
2. f(x)=³√x +1
3. ³√3x²-x+5

C.E.: ℝ

C.E.= {x∈ℝ: 3x-45-x≥0} Δ=-4.60 -59

Risultato in tutto ℝ perché il primo e il terzo elemento hanno lo

stesso segno.

f(x)=√x²-x-4

(1) 2x≥0x-1≥0x-2≥0x≥1

(2) 2x≥02x≥1x≥½

a