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Estratto del documento
5-6 Assiomi della probabilità e spazi equiprobabili
lunedì 14 febbraio 2022
17:13
Insiemi
La probabilità è definita su insiemi :
- L' insieme Y degli esiti di un esperimento casuale (spazio universo o spazio degli esiti)
- L'insieme F degli eventi ovvero un insieme di sottoinsiemi F che godono di 2 proprietà:
1. A ϵ F →
ĀϵF
Ā = il complementare di A
2. (A ϵ F) and (B ϵ F) →
(A + B) ϵ F
dove il + è l’unione
F deve sempre contenere Y e l'insieme vuoto {0}
Evento: intuitivamente , ciò che può essere oggetto di scommessa.
Esiti disgiunti: A e B sono disgiunti se non possono verificarsi simultaneamente
Evento certo : si verifica certamente
Evento impossibile : l'insieme vuoto
Unione: somma di eventi C=A+B è l'evento che si verifica , se si verifica A oppure B
Intersezione: è il prodotto di eventi C=AB è l'evento che si verifica se si verificano sia A che B
Definizione assiomatica di probabilità
P(.): F |-> [0,1] è una qualsiasi funzione che ad ogni evento A ϵ F associa un numero reale P(A) in
modo tale che
1. P(A)>= 0
2. P(Y) =1 (l’evento ha probabilità = 1)
3. AB={0} →P(A+B)=P(A)+P(B) (proprietà di additività semplice)
Y= evento certo
Dimostrare utilizzando gli assiomi che P(croce)=1-p(testa)
Corollari
P(A)=1 -P(Ā)≤1
IMAD A Pagina 1
P({0})=0 l’evento impossibile ha probabilità zero
B⊂A → P(B)≤P(A) B è contenuto in A
A , … A disgiunti
e A= A +…+ A allora P(A) = P(A ) + …+ P(A )
P(A+B) = P(A)+P(B) – P(AB) ≤ P(A)+ P(B)
Spazi con infiniti risultati
Proprietà per definire un insieme un insieme di BOREL o sigma -algebra:
1. A ϵ F → Ā ϵ F
Ā = il complementare di A
2. (A ϵ F) and (B ϵ F) → (A + B) ϵ F dove il + è l’unione
2’. Ai ϵ F , i=1,2,…, inf →
ϵF
Se Y ha cardinalità infinita e (manca pezzo controllare)
3. Se A i = 1,2,…,inf sono disgiunti e A =
ϵ F, allora P(A) =
( ) proprietà di
additività completa
Qualcuno sviluppa la teoria della probabilità anche senza la 3 : analogia con postulato rette parallele.
Spazi con esiti equiprobabili
- Cardinalità finita
Definizione: Y è equiprobabile se, essendo Y={s1,s2,---,sn} la probabilità di un evento A
composto da r eventi elementari è
P(A) =
per ogni A dove r sono i casi favorevoli e n i casi possibili
- Cardinalità infinita
Definizione: Y è equiprobabile
(i) Su di esso è definita una misura geometrica m(.) (lunghezza, area, volume,…)
(ii) m(Y) ≠0
( )
(iii) P(A)= ( ) per ogni A
Probabilità =0 ≠ Impossibile
guardare perché
Definizione di esperimento casuale
Tre elementi :
1) l'insieme Y degli esiti
2) L'insieme F degli eventi
3) La legge di probabilità P(-) , definita su F
IMAD A Pagina 2
7-8 Probabilità condizionata e Indipendenza
lunedì 14 febbraio 2022
17:15
Probabilità Condizionata
Definizione: Siano A e M due eventi con P(M) ≠0. La probabilità di A condizionata da M è
P(A|M) =
(
)
( )
Dove AM è l'evento congiunto e M è l'evento condizionatore.
Capire esempio biglie
Te
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I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Mariao di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Identificazione di modelli e analisi dei dati e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Pavia o del prof De Nicolao Giuseppe.
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