Appunti Analisi dei dati

CLASSIFICAZIONE DEI METODI DI ESTRAZIONE COMUNALITA’ A’A (3 FAMIGLIE) E MATRICE

CORRELAZIONE FATTORI VARIABILI A

a) Si richiede che n/p sia non inferiore a 2, : quanto più aumenta questo rapporto, tanto più si

avranno dei risultati sicuri. NON ESAGERARE NEL N. FATTORI

b) Si estraggono fattori fino a quando viene spiegata una certa quota di varianza . Un criterio per

valutare se il numero p dei fattori comuni considerati è considerare solo i primi p fattori se la

quota di varianza cumulata estratta da questi è maggiore di p. dato che la somma

degli autovalori della matrice con le comunalità rappresenta la varianza dei fattori conservati ( ES.

METODO FATTORI PRINCIPALI O CORRELAZIONE CANONICA)

c) Se l’analisi è svolta su una matrice di correlazione , si considerano solo gli autovalori maggiori o

uguali a 1. La rappresentazione degli autovalori rispetto all’ordine di estrazione (screen plot)

consente di individuare con immediatezza gli autovalori più importanti. Se questa mostra una forte

inclinazione all’altezza dei primi fattori e un successivo appiattimento, allora il criterio afferma che

gli ultimi fattori possono essere ignorati ( ES. METODO FATTORI PRINCIPALI O CORRELAZIONE

CANONICA.

d) gli elementi della matrice dei residui possono fornire un’indicazione sul grado di accuratezza

raggiunta dai p fattori considerati nel riprodurre la matrice delle varianze e covarianze tra le q

variabili standardizzate ( ES.METODO MINRES) e) Per la maggior parte dei metodi di estrazione dei

fattori, è, poi possibile trovare un test statistico per verificare l’opportunità o meno di estrarre un

ulteriore fattore dopo i primi p,. Bartlett suggerisce un test che può essere impiegato

indipendentemente dal metodo di estrazione dei fattori usato. L’ipotesi nulla è che p fattori sono

sufficienti a descrivere un certo campo in sostituzione delle q variabili originarie.

Altrimenti significa che le q variabili costituiscono, di per sé, le dimensioni minime del fenomeno

considerato e l’analisi fattoriale non potrebbe fare altro che confermarle. È pertanto inutile in

questo caso effettuare l’analisi fattoriale. Per decidere il numero di fattori se l’ipotesi nulla è

rifiutata per p fattori si procede aumentando Se è maggiore del valore del corrispondente al livello

di probabilità scelto e per detti gradi di libertà, si dovrà rifiutare l’ipotesi nulla per p fattori e

procedere all’estrazione di un successivo fattore, dopodiché sarà nuovamente calcolato .

11.B MODELLO FATTORIALE: Metodo della massima verosimiglianza

Quando si hanno dati di tipo inferenziale, utilizzando il metodo della massima verosimiglianza, si

utilizza questa formula introdotta anche nelle lezioni precedenti:

Va a cercare una struttura ignota di valori della popolazione partendo da valori noti che sono la

struttura di matrice di correlazione o varianze e covarianze. 01/06/2021

“PARTE B”

11.B MODELLO FATTORIALE: Identificazione dei fattori

La potenza dell’analisi dei fattori è alta, poiché si ha una pretesa fortissima perché significa stimare

delle cause comuni non osservate che sottostanno a ciò che avviene nella realtà.

Il concetto di identificazione è stato introdotto originariamente da Koopmans e Reiersol. Nell’analisi

fattoriale la funzione di distribuzione del vettore casuale dipendente è completamente determinata

se la distribuzione delle variabili indipendenti è nota e se i parametri sono specificati

numericamente. Tale specificazione viene chiamata “struttura”. Una struttura allora può essere

considerata come una realizzazione di un modello, e un modello in questo senso può essere

considerato come l’insieme di tutte le possibili strutture con le assunzioni. Ad ogni struttura

ammissibile è associata esattamente una distribuzione condizionata del vettore casuale

dipendente. Due strutture dello stesso modello sono dette equivalenti (all’osservazione) se

generano la stessa distribuzione per le variabili dipendenti: si dice che tali strutture non sono

identificabili. Analogamente una struttura è identificabile se non esiste nessun’altra struttura

equivalente dello stesso modello. Se un parametro ha lo stesso valore in tutte le strutture

equivalenti, si dice che è identificabile. I parametri che invece possono assumere valori diversi in

strutture equivalenti non sono identificabili.

RIASSUNTO: definizioni

Sotto il profilo teorico sono state individuate da numerosi studiosi condizioni necessarie ed altre

sufficienti per la loro identificabilità, ma tali condizioni sono applicabili solo in situazioni particolari

e spesso sono formulate solo in termini matematici e rischiano di non corrispondere ai problemi

affrontati nella realtà. In altre parole gli assunti del modello fattoriale non sono sufficienti in

termini per determinare in modo univoco i parametri per un modello: al di là delle rotazioni dei

fattori per ottenere soluzioni uniche si devono costruire delle restrizioni sulla matrice A tali per cui

venga superato il problema di soluzioni e tali restrizioni sono da formularsi non in termini teorici

ma pratici in funzione dei problemi affrontati Si apre qui la fondamentale distinzione tra modelli

esplorativi e confermativi.

12.B MODELLO FATTORIALE: Esplorativo e Confermativo

Come si è accennato il modello fattoriale può essere adoperato secondo due ottiche totalmente

diverse: come analisi di tipo esplorativo oppure come analisi di tipo confermativo Nel caso

esplorativo il ricercatore non ha ipotesi teoriche sulla struttura sottostante ai dati osservati e usa

l'analisi dei fattori proprio per indagare la struttura latente: ma le soluzioni non sono uniche anche

al di là delle rotazioni. Nel caso confermativo, il ricercatore ha informazioni a priori sulla struttura

dei dati sottostanti comuni e vuole verificare l'adeguatezza della struttura proposta. Deve con

queste informazioni anche ottenere soluzioni uniche

Abbiamo tre tipi di parametri:

parametri fissi a cui sono stati assegnati valori dati (cioè 0 assumendo che i relativi fattori comuni

non contribuiscano a determinare la variabile collegata)

parametri incogniti vincolati, che sono ma uguali a uno o più parametri;

parametri liberi che sono incogniti e non vincolati ad essere uguali a nessun altro parametro.

Nel contesto esplorativo, f1 f2 ed f3 rappresentano i fattori non direttamente osservabili e spesso

supposti ortogonali; ognuna delle xi è una variabile osservabile che rappresenta misura dei fattori. I

legami fra le variabili ed i fattori sono costruiti tramite i pesi fattoriali λi . Gli ei rappresentano

invece i termini di errore, supposti fra loro indipendenti.

Le correlazioni fra i fattori sono nulle: Φ =Φ =Φ =0 (23)

12 13 23

Si noti che nella analisi esplorativa le variabili xi possono rappresentare più di un fattore

contemporaneamente, ed è possibile stabilire in che misura ogni variabile sia influenzata dal

fattore sottostante solo dopo aver stimato i coefficienti λ . Al contrario, nell’analisi confermativa il

i

fattore f è misurato solo dalle variabili x e x , e tutti gli altri legami sono annullati. Si noti che i

1 1 2

fattori possono essere fra loro collegati.

Nel caso confermativo , invece, il ricercatore dispone di informazioni a priori circa la struttura

comune sottostante i dati e desidera, dunque, verificare l’appropriatezza della struttura ipotizzata

confermandola o smentendola. Lo studioso parte, perciò, da un modello in cui alcuni elementi di A

ed alcuni elementi di Φ sono fissati a priori, ad esempio alcuni aij sono posti uguali a zero (anche ad

uno) ipotizzando che i relativi fattori comuni non concorrano nel determinare la variabile in esame.

L’analisi fattoriale confermativa si avvale della stima di massima verosimiglianza come metodo di

estrazione dei fattori, a patto che le variabili in esame abbiamo una distribuzione normale

multivariata

Si introducono perciò negli input delle nostre analisi vincoli sui parametri fissi o vincolati e nelle

rotazioni oblique vincoli di incorrelazione fra i fattori comuni

13.B MODELLO FATTORIALE: Indeterminatezza

Teorema del ’55: Gli scores dei punteggi fattoriali non sono unici anche quando il modello è

completamente identificato. Ciò significa come ha dimostrato Guttman (1955) che anche se il

modello è perfettamente e univocamente identificati i punteggi fattoriali possono essere diversi e

con uguale struttura identificativa anche correlati negativamente. In altre parola partendo dalla

stessa matrice di correlazione delle variabili osservate e avendo ricavato sia nel modello esplorativo

che anche in un modello confermativo, una sola matrice di correlazione tra fattori comuni e

variabili A esistono infinite soluzioni interne di punteggi fattoriali indistinguibili sul piano logico e

addirittura in certi casi correlate fra loro negativamente (cioè il punteggio fattoriale non è

attendibile) . CONCLUSIONI MODELLO FATTORIALE:

COMPONENTI PRINCIPALI VS ANALISI FATTORIALE

Alcuni autori trattano l’analisi delle componenti principali come un tipo particolare di analisi dei

fattori, in quanto in entrambi i casi si vanno ad individuare variabili non osservabili, latenti, in una le

componenti principali e nell’altra i fattori comuni e quelli specifici. Inoltre, nella pratica tali metodi

che a volte portano a risultati molto simili. In realtà, questi due tipi di analisi differiscono

sensibilmente. Proviamo a sottolinearne le differenze.

1) Innanzitutto, nelle componenti principali abbiamo bisogno di p componenti per spiegare la

varianza totale delle p variabili originarie e la somma delle varianze delle p componenti è

esattamente uguale alla somma delle varianze delle p variabili di partenza. Nell’analisi fattoriale si

tenti di ricavare da uno spazio a p dimensioni (quello delle variabili osservate), uno spazio a m + p

dimensioni (quello dei fattori comuni e specifici) con i problemi di unicità soluzioni descritti.

MODELLO FATTORIALE VS MODELLO LINEARE MULTIEQUAZIONALE

1) In entrambi i modelli si spiega la varianza delle variabili dipendenti mediante la varianza delle

indipendenti, ma l'analogia si ferma qui.

2) Nel modello multiequazionale le variabili dipendenti X sono combinazioni lineari delle variabili

dipendenti Y e si cerca semplicemente di "descrivere" il legame tra Y e X. Nel modello fattoriale si

vuole individuare le cause latenti Φ di Y e quantificarle (unitamente alle cause specifiche). 3)In

questo senso gli e sono residui dovuti a una non completa approssimazione (anche in campo

descrittivo), gli ε sono "cause specifiche" suscettibili di interpretazione ( comprendenti anche

l’errore stocastico)

MODELLO FATTORIALE E PATH ANALYSIS