Appunti di Geometria e Algebra lineare

CAP 1

*def E₃ insieme dei vettori applicati in O, è gruppo abeliano,

perchè gode di associativa, commutativa, < del neutro, < opposto

SISTEMI DI RIFERIMENTO

*def se M ∈ E₃ allora {rom(M)= λ α ∈ E₃ | u= λM, α ∈ R}

fondamentalmente è una scrittura opzionale < 0

2 vettori u,v in E₃ sono l.i. se u ∈ (rom(M))

*def E₃ sono i.l.i. D roma (M, u, o)

{w ∈ E₃ | αM + βu = w , α, β ∈ R} = γ

È fondamentalmente rappresentata primo γ su cui giacciono le due semirette

2 diff tramite doppia inclusione dimostra che {rom (M, u)= γ }

• se o₂ = u
• ∀ S ∈ γ

σ₂ ∈ {rom(M, u)}

∀ S ∈ γ

o₁ ∈ {rom(M, u)}

infatti σ₁ se gi in qualunque vettore e decomponibile come o₁ + o₂

α = ε₁ : 0₁ + ε₂ : 0₂ β₀: 1 = βu < γ (c {rom(M, u)}) 0₁

Add z come M ∈ u₁ W ∈ E₃ allora rom(M, u ; w) =

• {z ∈ E³ | z=α M + βU + γ W, α β y <β R}

che caer {stell}_u

• dim (tramite doppia inclusione)

rom (M, u, w) ⊂ E₃ chiaramente intersecato un pso allo │

• se S' ∈ E³, o₅ derivante come o₁ + o₂
• per o₅ = α0 + β0 + γ0

e o₅ : = o₇

d₃: diamo BASE di ℰ³: treca di vettori (M, Đ, w) di ℰ₃ t.i.: tripla: felicemente (perno M, Đ, w) ℰ₃

ogni vettore OP scrivibile come OP = αM + βĐ + γw con α, β, γ ∈ ℝ univocamente determinati rapporto vengono coordinate del VETTORE sulla base scelta

[OP]_β = (α β γ)^t

d₄: se ||u|| = 1 con u ∈ ℰ², u è detto VERSORE dello spazio

procedo con la NORMALIZZAZIONE di un qualunque vettore M per formare il VERSORE ASSOCIATO:

versore: u_M = u / ||u|| con u ≠ Ο£

d₅: detto BASE ORTONORMALE di ℰ³: nota la tripletto {î, ĵ, k̂}

d₇: definisco RIFERIMENTO CARTESIANO (O, î, ĵ, K) e relativi ASSI CARTESIANI OX = [ predom(î) ]; OY = predom ( ĵ ) Oₑₓ = predom (k̂)

PIANI CARTESIANI x0y = predom ( î, ĵ ) x0z = predom (k̂, .)

[EQ. RETTE]

d₆: vettore associato a una γretta retta con spazio di ottiene unici estende / proiettori un RETE particolore detto DIRETTORE dν della indirizzazione e talebale gra dΥ ed P, M ∈ M

(EQ. PARAMETRICA)

↳ retta passante per O

OP = αM

retta fuori passante per o

OP = αM + OP

retta passante per Ⓐ, Ⓑ distinte

OP = OA + α(OB - OA)

[EQ. CARTESIANA]

intersezione tra due piani incidenti: (retta e il piano sono collineari)

r:

1. a₁x + b₁y + c₁z = 0
2. a₁x + b₂y + c₂z = 0

CAP (2)

def: lo spazio _n prodotto cartesiano A R con se stesso n volte, cioè insieme di tutti i VETTORI NUMERICI (con n-upla coordinata)

Associativa (M + N) + Z = M + (N + Z)

Elemento neutro -> Nullo 0_n è 0_n

(M + 0_m = M ∀M ∈ Rⁿ)

Elemento opposto

M ∀M ∈ Rⁿ Es. M + N = 0

Commutativa → gruppo abeliano → prodotto esterno di moltiplicazione con λ ∈ R

Omogeneità λ(βM) = (λβ)M = β(λM)

Distrbutiva α(M + β) = αM + βM

α(M + N) = αM + αN

Neutralità di λ = 1

→ λM = λM = 1M = M

def i: dato uno spazio V in cui vagon le proprietà sopra

elementa all'operazione interna di addizione e esterna di moltiplicazione per uno scalare fatta che (VA +) è gruppo abeliano, allora

V e detto SPAZIO VETTORIALE REALE (a componente reali)

alle proprietà sopra dette ne corrispondo altre

Regola di Cancellazione M + N = M + W → M = W ∀M, N, W ∈ V.

Comportamento dello scalare 0 0 · M = 0_n ∀M ∈ V

Comportamento dello scalare 1 (−1)(−1) = −N

∀M ∈ V

Comportamento di 0_y α0_n = 0_n ∀α ∈ R

Legge di Annullamento del prodotto αM = 0 → α = 0 V M = 0

Corollario αM = βM ⟺ α = β

∀α, β ∈ R ∀M ∈ V

def: la W ≠ 0 (non vuoto) e detto sotto-spazio vettoriale