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SECONDO CRITERIO DI DIAGONALIZZABILITA’:

è

∶→ ⟹ è ⟺ { () = () ∀

dim =

Osservazioni:

• ℎ=1

() () ∑ )

è ⟺ ∶= è ⟺ ( = ℎ

• ≥ () ≥ () ≥ 1

dimostrazione del secondo criterio di diagonalizzabilità:

è

⟸{

() = () ∀ ()

1) , … , ,

1

⟹ )

2) ∑ ( =

=1

) )

⟹ ∑ ( = ∑ ( = ⟹ è

=1 =1 )

⟹ è ⟹ ∑ ( =

=1

()) ) ) ) ) )

deg ( = ⟹ ≥ ∑ ( ⟹ ( ≥ ( ∀ ⟹ = ∑ ( ≥ ∑ ( =

=1 =1 =1

) () ) )

⟹ ∑ ( = ⟹ ⟹ ( = ( ∀ = 1, … ,

=1

Matrici diagonalizzabili:

∈ (, , ℝ) ⟹ è ⟺ =

≠ ∈ ℝ

à 26

cioè: ′

è

•

ℝ

è ⟺

è

• è ⟺ (è è

−1

∶ =

Diagonalizzare una matrice significa, se possibile:

trovare matrici −1

∶ =

Teorema: 1) ⟺ è

∶ ℝ → ℝ ⟹

= ∈ (, , ℝ)

, , −1

2) =

, … ,

⋯ 0 1

1

con , … ,

⋮ ⋱ ⋮

( ),

= 1

0 ⋯ ℎ

dimostrazione 1):

⟸ è ⟹ ∃ ⟹ , ⟹

⟹ ⟹ ∃ , ⟹ è

ℎ .

Una base formata da autovettori si ottiene unendo i vettori che compongono le basi dei singoli

autospazi.

PARTE 8:

Prodotto scalare in :

ℝ

1 1

… …

⟨,

( ) ( )

= , = ∈ ℝ ⟹ ⟩ = = + ⋯ + ∈ ℝ ∶=

1 1

Osservazioni:

• ⟨,

, ∈ ℝ ⟺ ⟩ = 0 à ⊥

• (il vettore nullo è ortogonale a tutti i vettori)

⟨, ⟩ = 0 ⟹ ⊥ ∀ ∈ ℝ

Proposizione: valgono le seguenti proprietà:

∀, , ∈ ℝ ; ∀ ∈ ℝ

1. ⟨, ⟨,

⟩ = ⟩

2. ⟨ ⟨, ⟨,

+ , ⟩ = ⟩ + ⟩ (bilinearità del prodotto scalare)

3. ⟨, ⟨,

⟩ = ⟨, ⟩ = ⟩

4. ⟨, ⟩ ≥ 0 (il prodotto scalare è definito positivo)

5. ⟨, ⟩ = 0 ⟺ = 27

Osservazione:

2),3) ⟨ ⟨ ⟨

⟹ + ⋯ + , ⟩ = , ⟩ + ⋯ + , ⟩

1 1 1 1

Norma:

1

… 2 2

‖‖ (

( ) √⟨,

= ∈ ℝ ⟹ = ⟩ = √ + ⋯ + ∶= )

1

In particolare:

•

‖‖ ≥ 0 ∀ ∈ ℝ

• ‖‖ = 0 ⟺ =

(la norma di un vettore non nullo è sempre strettamente positiva )

‖‖ > 0 ∀ ≠ ∈ ℝ

DISUGUAGLIANZA DI SCHWARZ:

|⟨, ‖‖‖‖

1) ⟩| ≤

, ∈ ℝ ⟹ |⟨, ‖‖‖‖

2) ⟩| = ⟺ , .

Osservazioni:

• 2

‖‖ ||

√⟨,

= ∈ ℝ ⟹ = ⟩ = √ = è

• la norma di un vettore ne esprima la lunghezza.

Angolo tra due vettori: |⟨, |⟨,

⟩| ⟩|

. ℎ

[0,

, ≠ ∈ ℝ ⇒ ≤ 1 ⟹ ∃! ∈ ] ∶ cos =

‖‖‖‖ ‖‖‖‖

.

⇒ è ⟼ cos è

Proposizione:

, … , ≠ ∈ ℝ

1

⟹ , … , . . ∧ ≤

1

⟩

(⟨ , = 0 ∀ = 2, … , )

dimostrazione: ⟨ ⟩ ⟨, ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

+ ⋯ + = ⟹ + ⋯ + , = ⟹ , + ⋯ + , =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2

⟨ ⟩ ‖ ‖

⟹ , = ⟹ = ⟹ = ℎè ≠ ℎ

1 1 1 1 1 1 1

⟨ ⟩ ⟨, ⟩

+ ⋯ + , = = ⟹ = ∀ ⟹ , … , . .

1 2 2 2 1

Basi ortogonali:

, … , ≠ ∈ ℝ

1

( )

⟹ , … , ℝ

1

⟩

(⟨ , = 0 ∀ ≠ )

(Una base ortogonale è dunque una base formata da vettori a due a due ortogonali) 28

In modo analogo:

, … , ≠ ∈

1

( )

⟹ , … ,

1

⟩

(⟨ , = 0 ∀ ≠ )

dim =

Basi ortonormali:

0 ∀ ≠

⊆ ℝ ( )

, … ,

1 ⟨ ⟩

⟹ ⟺ , = {

( ) 1 ∀ =

, … ,

1

è, è , ,

′

è ℎ ( ).

E , base canonica di è ortonormale

ℝ ∟.

n

Proposizione:

⊆ ℝ ⟨, ⟩

1

( )

Dettagli
Publisher
FedeStar98
A.A. 2017-2018
76 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/03 Geometria
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher FedeStar98 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Geometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Roma La Sapienza o del prof Savo Alessandro.