Appunti di Geometria

GEOMETRIA

ALGEBRA LINEARE

INTRODUZIONE:

• lo studio delle quattro operazioni
• risoluzione di equazioni

CONFRONTO:

due metodi principali per risoluzione:

• sostituzione
• ...

c'è una incognita nella prima equazione e si sostituisce il risultato nell'altra equazione.

c'è sempre una soluzione, allora le equazioni sono compatibili (le 2 equazioni sono compatibili ma c'è una sola soluzione). Due possibilità:

• una sola soluzione
• infinite soluzioni

(perché rappresenta l'intersezione di 3 rette in un piano)

NUMERI

• N, Z, Q (numeri interi, razionali)
• (numeri diversi da 0)
• R (numeri reali)

FUNZIONI

• associare ad ogni elemento di x un elemento y
• dominio

molto importante: COMPOSIZIONE

(di due funzioni: dominio della prima è uguale al dominio della seconda, vuole poter fare tra le due composizioni)

(f°g)(x) = f(g(x))

molto importante per le IDENTICHE

il dominio coincide con il codominio

OPERAZIONI K INSIEMI

sono tre:

• unione (tutti elementi che stanno in almeno un insieme)
• intersezione (elementi che stanno in entrambi gli insiemi)
• prodotto cartesiano (prodotto tra due insiemi, insieme di tutte le coppie)

ALGBERA LINEARE

definizione:

Un CAMPO è una terna ^{_{( K, +, ⋅ )}}, dove "⁺" è l'addizione e "^⋅" è la moltiplicazione, e hanno le seguenti proprietà:

• + : K x K → K ( x, y ) → x + y
• ⋅ : K x K → K ( x, y ) → x ⋅ y

PROPRIETÀ

ADDIZIONE ha quattro proprietà: 4 ASSIOMI

1. ASSOCIATIVAx + ( y + z ) = ( x + y ) + z
2. COMMUTATIVAx + y = y + x
3. NEUTRALE(lo zero, x ha sempre elemento neutro dell'addizione)
4. SOTTRAZIONE(x ha sempre un qualche che annullato un dato elemento) es: x'¹ = 1/xdove x + x' = x

MOLTIPLICAZIONE ha quattro proprietà:

1. ASSOCIATIVAx ( y ⋅ z ) = ( x ⋅ y ) ⋅ z
2. COMMUTATIVAx ⋅ y = y ⋅ x
3. NEUTRALE(Questa volta "elemento neutro" è 1)
4. DIVISIONE(x ha sempre un qualcosa che moltiplicata per x da x)(se esiste è unico)x ⋅ 1/x = 1dove x' = 1/x

oltre a questo bisogna introdurre la DISTRIBUTIVA (relazione tra le due operazioni)

∀ x, y, z ∈ K

x ( y + z ) = x ⋅ y + x ⋅ z

Consequenze degli assiomi

1) 0 ⋅ k = 0 zero moltiplicato per qualsiasi cosa fa zero

(c'è anche dimostrazione ma non la chiedo)

2) xy = 0 ⇒ x = 0, o y = 0 se un prodotto vale zero

^{_{Allora uno dei due fattori vale zero}}

(anche qui c'è la dimostrazione ma non la chiedo)

TEORIA DELLE EQUAZIONI LINEARI

(ha coefficienti su un campo)

esempio: numero arbitrario di equazioni e di incognite

• x₁ + y + z = 2
• (la seconda equazione) 2x - 3y = 5

x = x₁, y = x₂, z = x₃

In generale:

sommetoria di prodotti

^Σ_j=1 a_ij x_{j = bi i = 1, ...m con m, n ∈ ℕ, ai ∈ K}

ho m incognite e m equazioni ⇒ m x n ∈ ℕ

conseguente delle proprietà:

• supponiamo A sia cioè ∃ B t.c. A ∙ B = B ∙ A = matrice identità
• invertibile allora i due determinanti producono i due propri et cioè det (P ∙ B) ∙ det (I_n) = 1
• det (A) ∙ det (B) = 1;
• se una matrice è invertibile allora il suo determinante non è 0
• reciprocamente se det (A) ≠ 0 allora A è invertibile

conseguente da 2^a.

• se in una matrice faccio la somma di una colonna moltiplicata per un elemento di R in un'altra colonna allora il determinante non cambia:
• det A’ = det A
• il determinante di una matrice che ha due colonne uguali è zero (dalla 2^a )
• det (A¹) = -det (A) ⇔ 2det (A¹) = 0, det (A⁰) = 0.

“Tutto questo detto per le colonne vale anche per le righe”

ESEMPIO:

A =

• 1 2 3
• -2 0 1
• 4 1 0

det (A) = ?

per farlousare il contrario precedente per ottenere 0 in tutte le posizioni di un tipo o colonna meno di una.esempio facciamo questo sulla prima riga.