Appunti di Geometria

GEOMETRIA

ALGEBRA LINEARE

Introduzione:

• Lo studio delle quattro operazioni e risoluzioni di equazioni

Due metodi principali per risolvere:

• SOSTITUZIONE
  • trovare una incognita nella prima equazione e sostituire il risultato nell'altra equazione
  • esiste almeno una soluzione, allora le equazioni sono compatibili (se è compatibile con tutte)
  • se è compatibile ma c'è una sola soluzione, due possibilità:
  • o una sola soluzione
  • o infinite soluzioni
  • perché rappresenta 3 rette in un piano
• CONFRONTO
• Deduciamo che i sistemi lineari (di equazioni) lineari rappresentano oggetti geometrici (punti, rette, piani e l'uso analogico tridimensionale) geometria multidimensionale

N.B. Sistemi lineari

• possono essere compatibili
• determinato o indeterminato

es. ax = b, a, b ∈ Q

Numeri

• N, Z, Q (quotienti di numeri interi)
• numeratore e denominatori diversi da 0 (possono essere positivi e negativi)
• per α ∈ R (numeri reali)

Funzioni

• f: D → Y associamo ad ogni elemento d ∈ X un elemento y ∈ Y detto immagine
• Dominio
• Molto importante: la composizione
  • si ha due funzioni f e g
  • il dominio della prima è uguale al dominio della seconda
  • allora posso fare la composizione tra le due
  • p°f
  • (p°f)(x) = p(f(x))

molto importanti sono le identiche

• il dominio coincide con il codominio

OPERAZIONI TRA INSIEMI

Sono tre:

• Unione (tutti elementi che stanno in elemento e insieme)
• Intersezione (elementi che stanno in entrambi gli insiemi)
• Prodotto cartesiano (prodotto tra due insieme, insieme di tutte le coppie)

...

GEOMETRIA

ALGEBRA LINEARE

Introduzione: lo studio delle quattro operazioni e risoluzione di equazioni.

• sostituzione
• confronto

Se una neostante nella prima equazione e sostituire il risultato nell'altra equazione.

Se esiste almeno una soluzione, allora le equazioni sono compatibili (se l'insieme delle soluzioni non trova contraddizioni).

Deduciamo che i sistemi lineari (di equazioni) lineari rappresentano oggetti semantici (punti, rette, piani e il loro analog tradizionale).

NUMERI

N, Z, Q (numeri interi positivi e negativi) possono essere rappresentati da una porzione delle loro rispettive proprietà, per Q ∈ R (numeri reali).

FUNZIONI

f: X → Y associare ad ogni elemento di X un elemento di Y (domini e codomini).

Molto importante è la loro composizione. Le due funzioni g ∘ f con g: Y → Z. Il dominio della prima è uguale al codominio della seconda. Posso fare la loro composizione (g ∘ f)(x) = g(f(x)).

Molto importanti sono le funzioni IDENTICHE. Il dominio coincide con il codominio.

OPERAZIONI INSIEMI

Sono tre:

• UNIONE (tutti elementi che stanno in almeno un insieme)
• INTERSEZIONE (elementi che stanno in entrambi gli insiemi)
• PRODOTTO CARTESIANO (prodotto tra due insiemi, insieme di tutte le coppie)

Algebra Lineare

Definizione: Un campo (notato K, è una tripletta (K, +, ·), dove + è l'addizione e · è la moltiplicazione, e hanno 6 seguenti proprietà:

• K × K → K (x, y) → x + y
• K × K → K (x, y) → x · y

Proprietà:

Addizione ha quattro proprietà: 4 assiomi

• Associativa x + (y + z) = (x + y) + z
• Commutativa x + y = y + x
• Neutro (esiste 0: elemento neutro dell'addizione)
• Sottrazione 8 ha sempre un qualcosa che annulla un dato elemento. (esiste è unico) x + x' = 0 dove x = -x

Moltiplicazione ha quattro proprietà:

• Associativa x(y · z) = (x · y) · z
• Commutativa x · y = y · x
• Neutrale (esiste 1: elemento neutro -1)
• Divisione x ha sempre un qualcosa che moltiplica per x dà 1 (esiste è unico) x · x⁻¹ = 1 dove x⁻¹ = 1/ x

oltre a queste bisogna introdurre Distributiva (relazione tra le due operazioni) ∀ x, y, z ∈ K x(y + z) = xy + xz

Conseguenze degli assiomi

1. 0 · x = 0: zero moltiplicato per qualsiasi cosa fa zero
2. xy = 0 ⇒ x = 0, y = 0 se un prodotto vale zero; allora uno dei due fattori vale zero

Teoria delle Equazioni Lineari

(ha coefficienti su un campo) esempio numeri arbitrario di equazioni e di incognite

{ xᵢ + q₁₂y + q₁₃z = b₁2x