Fisica Terrestre e laboratorio - Appunti prima parte

5/03/2013

CAMPO GRAVITAZIONALE

Campo di attrazione che viene esercitato dalla Terra ed di

un'altra massa. Attrazione fra masse.

L'accelerazione gravitazionale, viene definita a partire dalle

legge di gravitazione universale

LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE

M = massa totale del Pianeta

d = densità media

Immagino di scomporre la Terra

in tanti elemenini di massa

infinitesima (dm).

Ogni elemento (dm) esercita

una forza gravitazionale sulla

massa m posta in B alla

distanza b

Una volta stabilita la posizione del punto P, r non

varia più. La distanza b, invece, varia perché dipende

da quale elemento (dm) sto considerando, e varia

anche la distanza r'

N_1 . M_2

j₂₁ = ----- = F

d² j₂₁

G =.

G => costante di gravitazione universale

¹¹

G = 6,67 . 10 [N m²]

-----

[kg²]

Applico la legge di gravitazione universale e dico per

ricavare la forza di ogni elemento infinitesimo esercitata

sulla massa m.

Questa forza "infinitesimale" è detta

df_g = G . dm . m

-----

b²

Ora devo ricavare la forza di attrazione di tutta la Terra la massa puo andare essere espressa come il prodotto tra la densità (ρ) e il volume (V)

dmi = ρ · dV

dV = volume dell'elemento dm

Ora un ponticello dalla massa, divido la forza per unità di massa

df_g / = df /

Creo un’accelerazione (accelerazione di gravità)

N.B. eseguo l'analisi dimensionale per verificare questa affermazione

(1 / kg) · m² / kg_s² = m³ / kg s²

kg / kg _m / kg_s²

( / r²) = ( / r²)

Ora per ottenere la g_j totale, devo integrare sul volume dell’intera Terra.

g = ∫_V G₂ · dV / b₂

Assumere per la Terra una configurazione nè di massa puntiforme (nel suo centro di massa).

G è una costante quindi posso portarla al di fuori dell’integrale

g₁ = G ∫ dV / b₂ dV = G / r² ∫ dV = GM / r²

∫₀ˉ∫_r f dϕ ∫_r dϑ f(v.r)^-1/2 sinϑ cosα dr

sviluppo di potenziale l'integrale in dϕ Poiché non mi è legato

medesimo metodo

∫ 2πG ∫₀ dϕ ˉ∫_r(r)^-1/2 sin ϑ cos α dr

Introdico il teorema dei cosini

consider ∆CPA

CR² = CP² + CR² - 2CP⋅CR⋅cosα

v² = r² + b² - 2 r b cosα

da questa espressione ricavo il cosα

-cos α = ² - r² - b² / 2rb

che deve tornare il cosΘ

cos α = r² + b² - v² / 2vb

b² = r² + ² - 2r cos Θ

-cos Θ = b² - r² - ² / 2 r

cos Θ = ² + r² - b² / 2 r

conudio

Θ = 0 → r =

ϕ = π → r ≠

Posso pensare di sostiture l’integrale in dϕ con un integrale

in dΘ dati momenti che connetto i limiti di integrazione anche al

momento di b

Differenzio entrambi i membri rispetto a b, ottenendo

Perturbazione ridotta

I₂ ≈ 10^-3

• momento di inerzia delle leve
• sistema rispetto all'oscillatore
• I_n2 = rispetto ad asse su piano quotombso
• momento di inerzia della massa terrestre

C = ∫_v (x² y²) dv

A = ∫_v (x² + z²) dv = ∫_v (y² + z²) dv

g² ≈ 10 m³/s²

Il contributo dato delle componenti visuali può essere vice positiva deo negatina.

Considere una terra sferica

Considero l'incremento infinitesimale (Che viene computato dal campo — per questione una variazione di un incremento infinitesimale (d'G)

- \frac{GN J_{2}}{a} - \frac{1}{2} \omega^{2} a^{2} = \frac{GN}{a} (x^{3} \beta) + \frac{GN J_{2}}{a} (x + 3 \beta)

- \frac{1}{2} \omega^{2} a^{2} - \frac{GN J_{2}}{a} - \frac{GN J_{2}}{a} = \int f \left( - \frac{GN}{a} - \frac{3 GN J_{2}}{a} \right) = \frac{GN J_{2}}{a}

-\frac{1}{2} \frac{GN J_{2}}{a} - \frac{1}{2} \omega^{2} a^{2} - \frac{GN J_{2}}{a} = - \frac{GM \beta}{a}

! multiplicare per (-1)

\frac{1}{2} \frac{GN J_{2}}{a} + \frac{1}{2} \omega^{2} a^{2} - \frac{GN J_{2}}{a} = \frac{GM \beta}{a}

\frac{3}{2} \frac{GN J_{2}}{a} + \frac{1}{2} \omega^{2} a^{2} = \frac{GM \beta}{a}

\beta = \frac{a}{GM} \left[ \frac{3}{2} \frac{GN J_{2}}{a} + \frac{1}{2} \omega^{2} a^{2} \right]

\beta = \frac{3}{2} J_{2} + \frac{1}{2} \frac{\omega^{2} a^{3}}{GN}

inscrutable perché J_{2} è multiplo per f

G = 6.67 \times 10^{-11} \frac{Nm^{2}}{kg^{2}}

J_{2} = 1.08270 \times 10^{-3}

\omega = 7.1 \times 10^{-5} \frac{rad}{sec}

M = 5.973 \times 10^{24} kg

a = 6.378 \times 10^{6} m

\beta = 3.3579 \times 10^{-3}

Anomalie gravimetriche

Un campo di gravità riflette la distribuzione delle masse all’interno della Terra.

Δg = g_o^ab - g_r^if

Prima di tutto bisogna operare una divisione dello spazio dello stesso livello di riferimento (correzione) del e il livello di riferimento sul quale andrà a decadere la g_rif. Tra tal momento non ci sobbarma di esplicare di distribuire re interperante atte della massa note ho il punto stazione e la superficie di riferimento.

∫(g_o^ab - ∑_gi) - g_r^if

^g_rif

g_o^ab = ^{Gf autre cose}_{V μ²} ⇒ Δg = 0

Questo significa che non vi sono anomalie di gravita ai sotto del punto considerato (o nella sua noianmente) sommando di di sotto della superfice el riferimento una massa anomalo che dideve (la densita p_o)

p V₁ p V g_ade V₂

V_tot = V₁ + V₂

g^ab = G ∫^p dV cosα = G ∫^p dV cosα + G ∫^p dV cosα

V₁ r² V₂ r²

Scampungg l'integrale e nella somma di due integrali, uno rifinis di volume V₁ e l'altro rifinito di volume V₂

Va scomporre questo pistone in tanti cilindretti, di raggio r.

Costruisco un cilindro di altezza infinitesima _dz, raggio r.

Per poco mi sposto _dr e mi costruisco un altro anello.

Ho costruito un anello.

Considero una porzione di anello.

qui:

^G∮_pìstìna

^{p₀ ⋅ dV}

_e²

= ^G∮_pìstòne dz dr v dθ

_{[r² + (z+b)²]}

√(r² ) + (z+b)

= √(r² + (z+b)²) ⋅ cosα

cosα =

-- (z+b)

= G(θ₂ - θ₁) ∫_v₂^v₁ dv [ -1/√(Nz² + v²) + 1/v_k₂ ]=

= G(ρ₂ - θ₁) ∫_v₂^v₁ ( - r/√(Nz² + v²) ) dv =

= G(ρ₂ - θ₁) [v₂ - v₁ - √(v₂² + h²) + √(v₁² + h²)]

d/dr (√Nz²+h²) - d/dt (v² + h²)² = ½(v + h)(v² + h²)½ · 2v = - v/√Nz² + h²

S(²/₀) = G(ρ₂ - ρ₁) [(v₂ - v₁) - √v₂² - h² + √v₁² + h²]

Formula di Nessel → Moit

Ve applicati per ogni settore che he una topografia e non sono tutti sommati

S(²) dif = ∫^v₁_{settore 1} + …… + ∫^j_{settore m}

le misueme come vale onde per rimoti residui con h = eltetto propefo medamento