Appunti di Fisica Tecnica (Irraggiamento)

Irraggiamento

L’irraggiamento è il trasferimento di energia tra due corpi per mezzo di onde elettromagnetiche. Poiché le

onde elettromagnetiche non hanno bisogno di materia per diffondersi, l’irraggiamento può avvenire anche

nel vuoto. La presenza del vuoto impedisce lo scambio per conduzione e per convezione. L’irraggiamento

altro non è che il meccanismo di emissione legato all’energia emessa in conseguenza delle oscillazioni e

delle transizioni degli elettroni. La radiazione termica è quindi la potenza emessa da un corpo a causa della

sua temperatura. Una teoria interpreta la radiazione come la propagazione di un insieme di particelle dette

fotoni o quanti, un’altra come propagazione attraverso onde elettromagnetiche di frequenza , lunghezza

e velocità , secondo la relazione:

Nello spettro della radiazione elettromagnetica si susseguono, in ordine crescente di lunghezza d’onda

raggi gamma, raggi X, raggi ultravioletti, radiazione visibile, infrarossi, microonde e onde radio.

1. Definizione di radianza spettrale direzionale, potere emissivo spettrale e potere

emissivo totale.

Considerando una calotta semisferica, la radianza spettrale direzionale è definita come:

è la superficie apparente, cioè la superficie nella direzione alla normale considerata: in questo

modo si annulla l’effetto della prospettiva.

è l’angolo solido. Infatti, data l’area infinitesimale , l’angolo solido è definito come:

Il potere emissivo misura la potenza emessa sotto forma di radiazione per unità di superficie. In particolare

il potere emissivo spettrale è definito come la potenza di lunghezza d’onda emessa nello spazio in tutte

le direzioni nella calotta emisferica, per unità di superficie e per unità di intervallo di lunghezza d’onda.

Il potere emissivo totale , invece, è definito come la potenza alla quale viene emessa la radiazione per

unità di superficie in tutte le direzioni e a tutte le lunghezze d’onda.

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2. Definizione delle proprietà di un corpo nero.

Il corpo nero funge da riferimento rispetto al quale vengono confrontate le proprietà radiative delle

superfici reali. Esso è una superficie ideale e gode di tre proprietà fondamentali:

1. Per ogni temperatura T e per ogni lunghezza d’onda λ il corpo nero emette più di ogni altra

superficie reale;

2. Il corpo nero assorbe tutta la radiazione incidente indipendentemente dalla lunghezza d’onda e

dalla direzione di provenienza;

3. Il corpo nero è un emettitore Lambertiano (diffuso): non dipende da e da .

Considerando una cavità con un foro, la radiazione che entra perde gradualmente tutta la sua energia ogni

volta che subisce una riflessione contro le pareti della cavità. Il foro può essere paragonato ad un corpo

nero, mentre la cavità approssima il suo comportamento (altro esempio: portone chiesa in estate).

3. Legge di Plank e legge di Wien.

Il potere emissivo spettrale di un corpo nero è stato determinato da Planck nella seguente legge:

dove sta per corpo nero, la sua temperatura assoluta. Le due costanti e sono definite a partire

dalle costanti di Plank e Boltzmann e dalla velocità della luce.

Il grafico della legge di Planck è caratterizzata da una serie di curve a campana, il cui massimo si sposta in

basso e verso destra al diminuire della temperatura. Tale spostamento è determinato dalla Legge dello

spostamento di Wien. Infatti, derivando la Legge di Planck rispetto a e ponendo il risultato uguale a zero,

si ottiene che:

In particolare, al di fuori dell’atmosfera, il Sole emette radiazione come un corpo nero a 5600 K e il nostro

occhio si è incentrato sul del Sole.

4. Legge di Stefan-Boltzmann.

Sostituendo la Legge di Planck nella formula del potere emissivo totale si ottiene:

nota come legge di Stefan-Boltzmann, la cui costante vale:

Questa legge consente di calcolare la quantità di radiazione emessa in tutte le direzioni e su tutte le

lunghezze d’onda, partendo dalla conoscenza della temperatura del corpo nero.

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5. Definizione di emissività e corpo grigio.

Il grafico del potere emissivo di corpo reale è una curva frastagliata e più bassa rispetto a quella che

descrive il potere emissivo di un corpo nero. Per questo motivo è utile definire l’emissività spettrale

come il rapporto tra il potere emissivo spettrale di una superficie e quello di un corpo nero alla stessa

temperatura e alla stessa lunghezza d’onda.

L’emissività totale è definita invece come il rapporto tra il potere emissivo totale di una superficie e

quello di un corpo nero alla stessa temperatura.

Un corpo grigio è un corpo reale di emissività totale : il suo grafico risulta simile a quello di un corpo nero

alla stessa temperatura, con un punto di massimo alla stessa lunghezza d’onda. In generale i metalli hanno

emissività piuttosto bassa e crescente con la temperatura, mentre i non metalli (in cui vanno inclusi anche

gli ossidi metallici) hanno emissività relativamente elevata e decrescente al crescere della temperatura.

6. Coefficienti di trasmissione, riflessione e assorbimento.

Considerando la potenza fornita da una irradiazione incidente ad una superficie, si ha che una parte di

essa viene riflessa, un’altra parte assorbita e un’ultima trasmessa. Applicando la conservazione

dell’energia:

Dividendo tutto per la potenza incidentale, si ottengono i coefficienti di riflessione , assorbimento e

trasmissione , tali per cui la loro somma sia l’unità.

Se una superficie non è trasparente (opaca), allora il suo coefficiente di trasmissione è nullo. In tal caso, la

potenza incidentale può subire una riflessione speculare, cioè con un angolo di riflessione uguale a quello di

incidenza o una riflessione diffusa, cioè subisce una riflessione su più direzioni. Nella realtà, si ha una

riflessione che è una combinazione delle due, cioè una radiazione diffusa per la maggior parte nella

direzione della riflessione speculare.

7. Legge di Kirchhoff.

Si consideri un piccolo corpo di area A, emissività e coefficiente di assorbimento , alla temperatura T e

contenuto in una cavità alla stessa temperatura. Tale cavità rappresenta un corpo nero, qualunque siano le

caratteristiche della superficie interna ad essa. Allora, la radiazione incidente sulla superficie del corpo è

uguale alla radiazione emessa dal corpo nero.

La radiazione assorbita è:

La radiazione emessa è:

Poiché il corpo è in equilibrio termico con la cavità, la potenza termica netta scambiata deve essere nulla,

cioè la radiazione emessa dal corpo deve essere uguale a quella assorbita:

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Semplificando:

Quindi, la radiazione che proviene dal corpo, somma della radiazione emessa più quella riflessa, è pari alla

radiazione di un corpo nero alla stessa temperatura. Tale relazione è detta Legge di Kirchhoff. Se così non

fosse, i due corpi alla stessa temperatura non sarebbero in equilibrio termico, violando il secondo principio

della termodinamica. In conseguenza della di tale legge, la relazione insieme alla consente

di determinare tutte e tre le proprietà di una superficie opaca conoscendo solo una di esse.

8.a. Irraggiamento tra parete nera e grigia affacciate.

Si considerino una parete nera e una parete grigia affacciate, rispettivamente alla temperatura e .

Allora la prima parete emette una potenza:

La seconda parete, invece emette una potenza:

Il primo termine è dovuto alla radiazione propria della parete, il secondo alla radiazione riflessa, in seguito

all’irraggiamento dovuto alla prima.

In totale si ha che:

Ponendo, per la legge di Kirchhoff, che :

Se entrambe le pare fossero state nere allora la potenza scambiata sarebbe stata semplicemente:

8.b. Irraggiamento tra due pareti nere con schermo interposto.

Siano date due pareti nere affacciate tra le quali sia interposto uno schermo S con bassa emissività . Tale

schermo è una superficie grigia trasparente. In condizioni stazionarie:

Le formule tengono già conto della radiazione di riflessione. Se allora posso ricavare e in

questo modo ricavare il flusso tra le due pareti, sostituendo il valore ricavato in una delle due equazioni

precedenti. Importante notare che il flusso totale non è la somma dei flussi delle due zone a destra e a

sinistra dello schermo.

9. Definizione di fattore di vista.

Considerando due qualsiasi superfici infinitesimali, la frazione di radiazione emessa da i che va verso j,

dipende dalla distanza tra le due superfici, dalla loro dimensione e dal loro orientamento.

Integrando:

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La stessa equazione può essere scritta in un modo equivalente:

dove è detto fattore di vista ed è definito come la frazione della radiazione che lascia la superficie i e

che viene intercettata dalla superficie j.

Svolgendo lo stesso procedimento, ma partendo dalla superficie j, si ottiene analogamente:

10. Regola della reciprocità e della somma per il fattore di vista.

In base a quanto detto prima, si ottiene che:

Risulta quindi che . Questa proprietà prende il nome di relazione di reciprocità.

Inoltre, per le superfici che formano una cavità, si può applicare la regola della somma:

Questa proprietà deriva dal fatto che necessariamente tutta la radiazione che lascia la superficie i deve

essere intercettata dalle altre superfici della cavità.

Casi particolari

Per due superfici infinite affacciate, .

Date tre superfici che formano una superficie che ha come sezione un triangolo rettangolo isoscele, sia ha:

dove il numero 3 indica l’ipotenusa. e per simmetria si ha che .

Applicando quindi la regola della reciprocità:

Date due superfici rettangolari ortogonali unite per uno spigolo, di cui la seconda divisa in A e B, si ha:

Se le due superfici fossero ortogonali ma non unite:

dove 4 corrisponde allo spazio tra le due superfici e 3 alla somma delle superfici 4 e 2.

Esempio: due corpi cilindrici coassiali

Si considerino due corpi cilindrici coassiali di temperatura e , entrambi neri. Si ha che:

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La potenza scambiata sarà allora:

Nell’ultimo passaggio si è utilizzata la relazione di reciprocità. Infatti: