Appunti di Fisica tecnica industriale sull'irraggiamento

A B B B B B B A A A B B A B

(1-α )G

A A

Sposto i termini G a sinistra:

A +(1−a )q +(1−a )q

q q

B B A B B A

= =

→G

- G – (1-α )(1-α )G = q + (1 – α )q

A B A A B B A A )(1−a ) + −a

1−(1−α α a a

B A B A A B

Il calore netto trasmesso per irraggiamento da AB è: q = q – α G

AB a A A

A

( )

+

q 1−a q

¿

B B

¿

(α +a −a )−α ¿

q a

A B A A B A

( )

+

q 1−a q

B B A

=q −α =¿

q A → B A A +a −a

α a

B A A B

Per la legge di Kirchoff: α=ε 4 4

Per la legge di Stefan-Boltzmann: q =ε σT e q =ε σT

A A B B

4 4 4 4

−ε (σ −σ )

ε ε σ T ε σ T ε ε T T

B A A A B B B A A B

= =

q A → B + −ε + −ε

ε ε ε ε ε ε

B A A B B A A B 10

Divido sia sopra che sotto per ε ε :

A B

T

4 4

(¿¿ −T )

A B ( )

σ X

1 1

+ −1

ε ε

A B =¿

q A → B

Il denominatore della relazione (X) indica una somma di ‘resistenza’ legata allo

scostamento del comportamento delle superfici dal comportamento di corpo nero.

OSS: nel caso di superfici nere ε =ε =1 da cui:

A B

T

4 4

(¿¿ −T )

A B

=σ ¿

q A →B

Interponendo tra le superfici uno schermo sottil e opaco (di cui possiamo trascurare la

resistenza conduttiva), e applicando lo stesso bilancio usato, si osserva un aumento di

tale resistenza termica.

T

4 4

(¿¿ −T )

A B

σ 1 1 1

+ +2 −2

ε ε ε

A B S

=¿

q A → B

Ovvero lo scambio di calore per irraggiamento si dimezza, nonostante lo schermo

abbia conduttanza nulla.

Scambio di energia tra superfici cilindriche grigie.

Si consideri un cilindro B posto all’interno di un cilindro

cavo A con T >T .

A B

Le superfici S e S sono diverse (non hanno la stessa area,

A B

per cui non possiamo confrontare direttamente le potenze

radiative, ma è necessario tenere di conto

dell’orientamento fra le superfici.

Si ricorda infatti che lo scambio radiativo tra due superfici

dipende dalla geometria dei corpi, orientamento relativo

alle due superfici, temperatura e proprietà radiative del

corpo.

La potenza emessa dalle due superfici è data dalla legge di Stefan-Boltzmann:

A4

Per il corpo A: q =E =S ·ε ·σ·T

A A A A B4

Per il corpo B: q =E = S ·ε ·σ·T

B B B B

Introduciamo il concetto di fattore di vista

energia uscente dalcorpoo A che colpisce il corpo B

=

F AB radiosità di A

È una grandezza puramente geometrica che tiene conto dell’orientazione delle

2

superfici (F=A/r ) 11

Il fattore di vista gode di due proprietà:

=F

F

- Relazione di reciprocità: AB BA

Se una superficie A irradia verso una superficie B, allora la stessa quantità di

energia irradiata da B colpisce A.

N

∑

- =1

F

Regola della somma: AB

B=1

Se una superficie A irradia verso altre superfici, la somma di tutte le frazioni di

energia irradiata deve essere uguale a 1, ovvero tutta la radiazione che lascia A

deve essere intercettata dalle altre superfici.

Nel nostro caso:

+ =1 =1−F

F F F L

  ’energia emessa da A colpisce B, ma in parte

AA AB AA AB

ricade su A

=1

F  tutta l’energia uscente da B colpisce A

BA =E +(1−α )G e

J

La radiosità di A e B sono rispettivamente: A A A A

=E +(1−α )

J G

B B B B

Allora le energie incidenti sulle superfici B e A sono:

- dato che non tutta J colpisce B, l’en. incidente che colpisce B è data da J per il

A A

fattore di vista:

=F =F +(1−α )

G · J · E G

B AB A AB A A A

- l’energia incidente che colpisce A è data da tutta la radiosità proveniente da B

+ una parte della radiosità di A che non ha colpito B, ma è tornata su A stessa

(F ·J )

AA A ( )

=J + =E +(1−α ) + + )

G F · J G F ·( E 1−α G

A B AA A B B B AA A A A

Sostituiamo la prima nella seconda:

F

¿ +(1−α )

AB · E G ( )

[¿ ]+ + )

F ·( E 1−α G

A A A AA A A A

=E +(1−α )· ¿

G A B B

Raccolgo il termine evidenziato fuori e ottengo:

¿

[ ]

( )

=E + +F

G 1−α · F ·¿

A B B AB AA

Ricordando che F = 1 – F ottengo:

AA AB

¿

[ ]

( )

=E + +1−F

G 1−α · F ·¿

A B B AB AB

¿

[ ]

=E + −α +1−F ¿

G F F ·

A B AB B AB AB

[ ]

( ) ( )

=E + −E + −α +

G α F E F 1−α G 1−α G

A B A B AB A B AB A A A A

Sposto i membri evidenziati a sinistra raccolgo i membri con G a sx e i membri con E a dx:

 A A 12

1−α

¿

¿

( ) ( )

− =E +¿

1+α F 1−α 1−α

B AB A A B

¿

G A 1−α

¿

¿

(1+ −α −1+ )=E +¿

G α F α F α

A B AB A B AB A B

1−α

¿

¿

(α + −α )=E +¿

G α F α F

A A B AB A B AB B

1−α

¿

¿ ¿

B F E

AB A

¿

+¿

E B =¿

G A Q = E - α G

Il calore netto scambiato tra i corpi A e B è: AB A A A

Sostituisco G nell’equazione:

A

1−α

¿

¿ ¿

B F E

AB A

¿

+¿

E B

= −α ¿

Q E

A → B A A

1−α

¿ 4

¿ ¿

B F S · ε · σ · T

AB A A A

¿ 4 +¿

S · ε ·σ · T

B B B 4

=S −α ¿

Q · ε · σ · T

A → B A A A A

E

¿

1−α

¿

( )

+α −α −α ¿

E · α F α F

A A B AB A B AB A

=¿

Q A → B

Sostituisco E , E :

A B 1−α

¿

¿ ¿

B F E

AB A

¿

( )

+α −α −α −α ¿

E · α F α F E

A A B AB A B AB A B A

=¿

Q A → B 13

( )

+ −α −α + −α

E · α α F α F α α F E

A A B AB A B AB A A B AB A B

=

Q A → B (α + −α )

α F α F

A B AB A B AB

−α

E · α F E

A B AB A B

=

Q A → B (α +α −α )

F α F

A B AB A B AB

Divido sia numeratore che denominatore per α ·α

A B

S 4 4

[¿¿ −S ]

σ A · F · T · T

AB A B B

(1−α )F

1 A AB

+

α α

B A

=¿

Q A → B

Il fattore F può essere calcolato considerando che se T =T allora non vi è scambio di

AB A B

calore (Q =0)

AB S B =1

F

=

- F

A4 B4

Q =0 se (S ·F ·T - S ·T )=0 se e solo se



AB A AB B BA

AB S A

Ovvero se tutto ciò che viene emesso da B raggiunge A

Sostituendo F in

AB

S

4 4

[¿¿ −S ]

σ B · T · T

A B B

(1−α ) F

1 A AB

+

α α

B A

=¿

Q A → B

Che può essere riscritta come:

T

4 4

(¿¿ −· )

A T B

σ ( ) (1−α )

1−α 1

B A

+ +

S α S F S α

B B A AB A A

=¿

Q A → B

Al denominatore abbiamo tre resistenze termiche:

- Primo e terzo termine sono dovute alle superfici A e B, poiché non sono corpi

neri α<1

- Il secondo termine è relativo alla geometria del problema.

Questa è la formula valida per qualsiasi superfici grigie (ε=α) formanti una

cavità chiusa.

Caso superfici piane parallele:

S =S =S raccolgo 1/S a denominatore e quindi lo porto a numeratore



A B 14

T 4 4

(¿¿ −· )

A T B

Sσ ( )

1−ε 1−ε

1 1

B A

+ −

S ε F ε

B AB A

=¿

Q A → B

F =1 (tutta l’energia che esce da A colpisce B)

AB T 4 4

(¿¿ −· )

A T B

Sσ 1 1

+ −1

ε ε

B A

=¿

Q A → B

Caso superfici cilindriche concentriche:

S /S =r /r raccolgo S



A B A B A

T

4 4

(¿ ¿ −· )

A T B

σ ( )

S 1−ε 1−ε

1 1

A B A

+ −

S S ε F ε

A B B AB A

=¿

Q A →B

T 4 4

( ¿¿ −·T )

A B

S σ

A ( )

S 1−ε 1 1

A B + +

S ε ε F

B B A AB

=¿

Q A → B

F =1 (tutta l’energia che esce da A colpisce B)

AB T 4 4

(¿¿ −· )

A T B

S σ

A ( )

r 1−ε 1

A B +

r ε ε

B B A

=¿

Q A → B

Caso superfici sferiche concentriche:

A2 B2

S /S =r /r raccolgo S come prima



A B A

T 4 4

( ¿¿ −·T )

A B

S σ

A ( )

S 1−ε 1 1

A B + +

S ε &epsilon